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Manfred Einsiedler & T... 著

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• Measure Theory
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• Mathematical Physics

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出版社： Springer

ISBN：9781447125914

商品编码：1137292653

包装：平装

外文名称：Ergodic Theory- With a...

出版时间：2012-11-05

页数：481

正文语种：英语

图书基本信息

Ergodic Theory: With a View Towards Number Theory
作者： Manfred Einsiedler; Thomas Ward;
ISBN13： 9781447125914
类型： 平装
语种： 英语（English）
出版日期： 2012-11-05
出版社： Springer
页数： 481
重量（克）： 680
尺寸： 22.86 x 15.494 x 3.048 cm

商品简介

This text is a rigorous introduction to Ergodic theory, developing the machinery of conditional measures and expectations, mixing, and recurrence. It describes some recent applications to number theory, and goes beyond the standard texts in this topic.

现代数论的宏伟画卷：从基础结构到前沿应用 本书是一部深入探讨现代数论核心概念、前沿发展及其在不同数学分支中应用的权威著作。它并非聚焦于某一特定领域或理论，而是力求描绘一幅涵盖数论广阔疆域的全面图景，从其奠基性的结构原理出发，逐步引向那些驱动当代数学研究的复杂问题。 全书的叙事逻辑是构建性的，首先为读者夯实坚实的数论基础，随后引导其探索经典理论的深刻内涵，最终触及当前研究热点及其与其他领域的交汇点。本书的深度和广度，使其既能作为研究生及高年级本科生的教材，亦能为专业研究人员提供一个系统回顾和深入思考的平台。 第一部分：基础的构建——代数与分析的交融 本部分着重于建立数论研究所需的基本工具箱，强调代数结构与分析方法的有机结合。 第一章：整数环的代数结构 本章从环论的视角重新审视整数 $mathbb{Z}$ 及其扩展。我们将详细讨论唯一分解整环（UFD）的性质，并深入探究离散赋值环（DVR）和完备化在数论中的关键作用。特别关注局部化技术如何揭示全局结构的信息，例如p-adic数的引入及其在解析延拓中的重要性。讨论将涵盖理想论的基础，包括分数理想的概念，为后续讨论伽罗瓦理论和类域论奠定基础。 第二章：解析方法的基石——狄利克雷级数与黎曼函数 解析数论的魅力在于其强大的工具箱。本章聚焦于解析函数与算术函数的联系。狄利克雷级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{a(n)}{n^s}$ 的收敛性、欧拉乘积的性质将被细致分析。核心将放在黎曼 $zeta$ 函数 $zeta(s)$ 上，不仅讨论其在 $s=1$ 处的极点和函数方程，还将全面回顾魏尔斯特拉斯乘积表示以及希尔伯特-波利亚猜想的背景，尽管本书不涉及遍历理论，但对 $zeta(s)$ 零点分布的分析方法将侧重于经典复分析工具。此外，狄利克雷 L-函数在二次型和模形式理论中的应用将被初步引入。 第三章：同余式与二次剩余 本章回归初等数论的核心——同余式理论，但将其置于更广阔的代数框架下。二次剩余问题被提升到高次剩余和高斯和的层面。勒让德符号和雅可比符号的性质将被详尽推导，并展示高斯和的精确计算方法，这对于理解后文的符号理论至关重要。非欧几何中的双曲结构与同余子群的关系仅作概念性提及，以保持本部分的纯代数/解析侧重。 第二部分：经典理论的深化——域扩张与结构定理 第二部分将读者带入代数数论的中心，探讨数域、环的结构以及控制这些结构的群论工具。 第四章：代数数论导论：数域与环 本章详细阐述了数域 $mathbb{Q}(alpha)$ 的结构，包括其判别式、环 $mathcal{O}_K$ 的确定，以及理想在扩张中的行为。重点讲解了素数的分解定律（完全分裂、部分分裂、惯性），这些定律是连接分析论证和代数结构的桥梁。理想类的定义和计算方法将贯穿本章，为理解类群的大小（类数）做准备。 第五章：伽罗瓦理论与阿贝尔化 这是代数数论的灵魂。本章系统地介绍了有限扩张的伽罗瓦群 $Gal(L/K)$。对惯性群、分裂群的深入分析，揭示了数域结构如何由其上层的伽罗瓦群所决定。本章的重点在于局部伽罗瓦理论，即对 $mathbb{Q}_p$ 上的扩张 $K_p$ 的结构分析，包括未宕分正规子群和上层群的结构，以及如何利用这些局部信息来理解全局的整体结构。 第六章：类域论的远景 本章旨在为理解现代代数几何数论的深刻成果提供必要的背景。虽然不会深入探讨极复杂的构造，但会清晰地阐述主定理 (Main Theorem) 的内涵：如何通过局部域的 $(cdot, K_infty)$ 符号来构造全局域的阿贝尔扩张。库默尔理论（Kummer theory）将被用于解释 $K$ 的阿贝尔扩张如何由 $K$ 的分数环上的代数结构所决定。 第三部分：解析工具的延伸与现代课题的边缘 第三部分将目光投向解析数论中那些超越 $zeta$ 函数的工具，并探讨它们在解决具有挑战性的算术问题时的效力。 第七章：自守形式与模空间 本章引入了自守形式的概念，将其视为数论中某种意义上的“泛化解析函数”。重点讨论了 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 模形式的傅里叶展开（$q$-展开）以及它们与数论函数的联系。费德曼-谢尔伯格迹公式的初步介绍，展示了如何利用群作用的迹来获得关于数论对象的深刻信息，例如素数的分布。模空间的代数结构和其上几何对象的算术意义将被概述。 第八章：筛法与渐近估计 筛法是处理涉及“互素性”或“避免某些因子”的计数问题的强大技术。本章将详述布伦奇-泰特筛法 (Brun-Titchmarsh inequality) 的思想，并介绍更精细的圆法 (Circle Method) 在解决哥德巴赫猜想等加性问题中的应用。重点在于理解筛法如何量化“遗漏”的元素，以及如何通过选择合适的筛函数来优化估计的精度。 第九章：Diophantine 近似与超越数 本章关注代数数与实数之间的“距离”问题。它将从Diophantine 近似的经典理论开始，介绍Dirichlet 近似定理的几何意义。随后，重点转向Roth 定理及其在有理逼近代数数时的局限性。尽管本书不对超越数理论本身进行全面覆盖，但会探讨如何利用 Diophantine 近似的结果来证明特定数（如 $log 2$ 或 $e$）的超越性，从而展示数论工具在辨别数之本性上的威力。 全书力求在保持数学严谨性的同时，清晰地展现数论的内在联系与活力，为读者构建一个扎实且具有前瞻性的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

这本《Ergodic Theory: With a View Towards Number...》真是一本让人欲罢不能的数学瑰宝！我花了整整一个夏天才勉强啃完第一遍，但那种醍醐灌顶的感觉至今难以忘怀。作者的叙述风格极其严谨，每一个定义、每一个定理的推导都像是精心雕琢的艺术品。尤其是在处理那些涉及遍历性和数论之间微妙联系的章节时，那种层层递进的逻辑构建，简直让人拍案叫绝。我记得最清楚的是关于“庞加莱回归定理”的讨论，作者不仅给出了标准的测度论证明，还巧妙地引入了几何直观的阐释，这对于像我这样更偏爱几何思维的读者来说，简直是雪中送炭。书中的例题设计得非常巧妙，它们不仅仅是简单地重复理论，而是真正将抽象的概念具象化，强迫你思考在不同条件下理论的边界和适用范围。说实话，这本书的难度绝对不低，它要求读者对基础的拓扑、测度论有扎实的掌握，但正是这种挑战性，使得当你真正理解某个复杂的证明时，那种成就感是无与伦比的。它不仅仅是一本教科书，更像是一次智力上的马拉松，终点线后的风景壮阔无比。我强烈推荐给任何真正想深入理解动力系统核心思想的数学爱好者，准备好迎接一次深刻的思维洗礼吧。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和细节处理堪称教科书级别的典范。首先，数学符号的使用非常一致和规范，这在如此复杂的理论体系中至关重要，它极大地减少了阅读时的歧义。其次，章节之间的逻辑过渡是极其平滑的，作者似乎非常擅长构建“知识阶梯”，每上升一个台阶，都会回顾前一阶段的关键结论，并自然地导出新章节需要引入的概念。我特别赞赏作者在引入新概念时所使用的“渐进式定义”：先给出一个直观的、非严格的描述，让读者先建立感性认识，然后再给出严格的数学定义和必要的拓扑条件。这种教学设计极大地提升了学习效率。在练习题部分，这本书同样表现出色。它不是简单地重复定理的特例，而是设计了一系列需要读者进行创造性思考的“探究性问题”，有些甚至需要查阅更专业的文献才能找到线索，这使得这本书非常适合作为研究生课程的教材，因为它鼓励了学生主动探索和研究。它不仅仅是知识的传授，更是思维方式的培养。

评分☆☆☆☆☆

我必须坦诚，这是一本“硬核”书籍，它不会轻易地向读者妥协。如果你期待的是那种能快速带你入门的“普及读物”，那么你可能会在第三章的测度空间构造部分就感到力不从心。这本书的精髓在于其对“不动点”和“不变子集”的深刻哲学探讨，它探讨的远不止是数学公式，更是关于随机性、秩序与混沌之间永恒的辩证关系。作者在阐述柯尔莫哥洛夫－阿诺索夫（Kolmogorov-Arnol'd-Moser，简称KAM）理论时，那种对稳定性与可积性之间“极限区域”的细致描绘，简直让人感受到数学家对自然界中微小扰动如何影响长期行为的敬畏之心。书中的论证往往是“自下而上”的：从最基本的拓扑空间开始，逐步引入度量、流、信息熵，最后才构建起完整的遍历系统框架。这种构建过程虽然漫长，但一旦建成，其内部的逻辑自洽性就展现出无与伦比的美感。读完这本书，你获得的不仅是关于遍历理论的知识，更是一种面对复杂系统时，应有的耐心和解析的深度。它要求你投入时间、精力和心智，但它所回报的认知升级是无可估量的。

评分☆☆☆☆☆

当我拿起这本书时，我原本以为会看到一本枯燥乏味、充满术语的专业论著，毕竟“遍历理论”这个名字听起来就让人望而却步。然而，出乎意料的是，作者在开篇就展现出一种近乎诗意的叙述方式。特别是关于“弱混合”和“强混合”概念的引入，作者没有直接抛出复杂的$mathcal{L}^2$空间定义，而是先通过一个关于粒子在容器中随机运动的生动比喻，将抽象的概率转移机制形象化了。这种“先入情，后入理”的教学方法，极大地降低了初学者的心理门槛。书中对关键定理的证明，尤其是那些涉及到高维流体动力学的应用部分，作者的处理方式非常干净利落，没有冗余的符号堆砌，而是直击问题的核心逻辑链条。我尤其欣赏的是书中穿插的那些历史背景介绍，它们揭示了这些理论是如何在数学家长期的探索中逐步完善的，这让阅读过程不再是孤立地吸收知识点，而是参与到一场跨越百年的思想对话中。阅读这本书就像是跟着一位经验丰富的向导穿越一片茂密的数学丛林，他总能指出最清晰、最安全的小径，尽管路途艰辛，但沿途的风景绝对值得。

评分☆☆☆☆☆

坦白讲，我购买这本书是冲着它标题中暗示的“通往数论”的视角去的，希望找到遍历理论与解析数论，特别是狄利克雷L函数或自守形式之间隐藏的桥梁。读完后，我必须说，作者在这方面提供的深度和广度超出了我的预期。书中对“模空间”上动力系统的处理，以及如何利用遍历理论中的不变测度概念来研究数论中的分布问题，有着非常深刻的洞察力。作者没有止步于介绍已有的框架，而是展示了如何将遍历理论的工具（比如熵理论）应用到像“素数计数”这样古老的数论问题上，虽然结果可能不如传统方法直接，但其提供的全新视角令人耳目一新。这本书的论证风格非常“几何化”，即便是在处理代数或解析对象时，作者也倾向于将其嵌入到一个流形或动力系统框架中进行考察。对于那些已经熟悉分析数论但想寻求新工具的读者来说，这本书简直是一剂强心针，它提供了一种完全不同的、更具几何张力的分析工具箱。唯一的“缺点”是，它对读者的背景要求较高，如果数论和遍历论的基础不够扎实，很容易在那些结合点的证明中迷失方向。