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編輯推薦

適讀人群 ：本書可作為綜閤性大學、理工類大學和高等師範院校的高等代數課程的配套教輔資料
《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》是作者積四十多年在北京大學講授高等代數及相關課程（解析幾何、抽象代數、群錶示論、數學的思維方式與創新等），以及從事科研工作的經驗和心得，深入鑽研，潛心思考而寫成，凝聚瞭作者對高等代數課程建設和教學改革的成果。具有以下特色：

　　1.明確課程主綫。國內外傳統教材沒有明確地提齣高等代數課程的主綫，《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》則鮮明地突齣瞭“研究綫性空間的結構及其態射（即綫性映射）”這條主綫，科學地安排講授體係。

　　2.突齣思維能力。按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”這一數學的思維方式講授數學知識，有利於培養學生的創新能力，使學生在學好數學的同時受到科學思維方式的熏陶和訓練。

　　3.獨到科學見解。例如本書明確地提齣瞭數域K上一元多項式環和n元多項式環的通用性質，並且把它們運用到研究綫性變換的Jordan標準形和有理標準形等課題中，起到瞭清晰闡述問題的重要作用。

　　4.代數與幾何交融。高等代數與幾何有密切聯係，這是人們的共識，本書力求使高等代數與幾何水乳交融。

　　5.嚴謹科學，可讀性強。本書自然清晰、深入淺齣、水到渠成地引齣重要概念，闡述講解準確、清晰、詳盡、嚴謹。

　　6.內容精華，配套豐富。每一節均精心配有豐富的例題和習題；書中特彆設置“閱讀材料”和“小窗口”欄目，介紹高等代數相關知識的拓展或應用，開闊學生的視野；書末附有習題解答或提示；另外在超星學術視頻網站上有本書配套講課錄像。

內容簡介

本書為《高等代數》（丘維聲著, 科學齣版社2013 年3 月齣版）配套的習題解答與提示, 匯集瞭該書的全部習題, 計算題給齣瞭答案, 證明題給齣瞭關鍵性的提示, 並且對於相當一部分習題給齣瞭詳解, 這些解法都很有特色, 是高等代數課程的組成部分.
本書可作為綜閤性大學、理工科大學和高等師範院校的高等代數課程教學參考書或配套輔導資料.

作者簡介

丘維聲，北京大學數學科學學院教授，博士生導師，首屆全國高等學校***教學名師，美國數學會MathematicalReviews評論員，中國數學會組閤數學與圖論專業委員會首屆常務理事，“國傢教委高等學校數學與力學教學指導委員會”（一、二屆）成員，中國高等教育學會教育數學專業委員會副理事長，《數學通報》副主編。長期從事高等代數、解析幾何、抽象代數、綫性代數、群錶示論、數學的思維方式與創新等課程的教學工作（主持的“高等代數及習題”課程曾被評為北京大學優秀主乾基礎課），從事代數組閤論、群錶示論、編碼和密碼的研究，發錶學術論文46篇。承擔國傢自然科學基金重點項目2項，主持國傢自然科學基金麵上項目3項。齣版著作40部，譯著6部，發錶教學改革論文22篇。

　　獲奬情況

　　榮獲一屆全國高等學校***教學名師奬（2003年），三次被評為北京大學很受學生愛戴的十佳教師（1999年，2001年，2006年），獲寶鋼教育奬優秀教師特等奬（1997年），北京市高等教育教學成果一等奬（1997年），北京大學楊芙清-王陽元院士教學科研特等奬（2006年），三次獲北京大學教學優秀奬（1985年，1986年，1996年），被評為全國電大優秀主講教師（1986年），北京市科學技術先進工作者（1977年）。

目錄

引言的習題 1
第一章 綫性方程組的解法 2
習題1.12
習題1.22
習題1.33
補充題一 3
第二章 行列式 5
習題2.15
習題2.25
習題2.35
習題2.46
習題2.56
習題2.67
補充題二 7
第三章 綫性空間 8
習題3.18
習題3.28
習題3.38
習題3.49
習題3.59
習題3.611
習題3.711
習題3.811
習題3.913
習題3.1014
習題3.1114
習題3.1215
補充題三 16
第四章 矩陣的運算 18
習題4.118
習題4.220
習題4.321
習題4.422
習題4.524
習題4.625
習題4.729
習題4.830
補充題四 31
第五章 一元多項式環 33
習題5.133
習題5.234
習題5.334
習題5.436
習題5.539
習題5.639
習題5.742
習題5.844
習題5.946
補充題五 48
第六章 綫性映射 50
習題6.150
習題6.251
習題6.353
習題6.456
習題6.561
習題6.666
習題6.774
習題6.881
習題6.986
習題6.1093
習題6.1194
習題6.12102
習題6.13107
補充題六 112
第七章 雙綫性函數，二次型 119
習題7.1119
習題7.2121
習題7.3125
習題7.4130
習題7.5133
習題7.6138
補充題七 142
第八章 具有度量的綫性空間 145
習題8.1145
習題8.2147
習題8.3155
習題8.4160
習題8.5170
習題8.6181
習題8.7182
習題8.8188
習題8.9190
補充題八 191
第九章 n元多項式環 192
習題9.1192
習題9.2193
習題9.3195
補充題九 198
參考文獻 200

精彩書摘

第一章綫性方程組的解法
習題1.1
1. (1) (1,.2, 3).; (2) (2, .1, 1, .3).; (3) (.8, 3, 6, 0).; (4) (.2, 1, 3, .1).,提示：第(4)小題的第一步：把第二行的(.1)倍加到第一行上,使得矩陣的左上角元素為1.
2.(1)給A1,A2,A3分彆投資65 , 35 ,7.5韆元.
(2)相應的綫性方程組的解是(.5,10,5),單位為韆元,這不是可行解.因此投給A3的錢不能等於投給A1與A2的錢的和.
習題1.2
1. (1) 無解; (2) 有無窮多個解, 一般解是
其中x3是自由未知量;
(3) 有無窮多個解, 一般解是
..
..
. ...
11 23
x1 = . 7 x3 +7 , 51
x2 ,
= .7 x3 . 7
x1 = x3 . x4 . 3, x2 = x3 + x4 . 4,
其中x3,x4是自由未知量.
2. 原綫性方程組有解當且僅當a = .1, 此時它的一般解是
...
..
18 1
x1 = . 7 x3 +7 , 12
x2 = .7 x3 +7 ,
其中x3是自由未知量.
3. 原綫性方程組有解當且僅當a = . 2,此時方程組有唯一解.(詳細參考文獻[1]的第19頁例2.).3
4. 原綫性方程組有解當且僅當c =0 且d = 2, 此時它的一般解是
.. .
x1=x3+x4+5x5. 2, x2 = .2x3. 2x4. 6x5+3,
其中x3,x4,x5是自由未知量.
5.(1)l1,l2,l3有唯一的公共點P.1 , 1
.2 2
(2)令l4:4x. 4y = .3,則l1,l2,l4沒有公共點.(詳見參考文獻[1]的第19～20頁例3.)
6.不存在二次函數,其圖像經過點P、Q、M、N.

7. (1) 有非零解. 它的一般解是


..
. .
.
x1 = .3x4,x2=x4,x3=2x4,
其中x4是自由未知量.(詳見參考文獻[1]的第21～22頁例5.)
(2)方程個數3小於未知量數目4,因此齊次綫性方程組有非零解.它的一般解是
..
..
.
55
x1=x4,
41
10
x2=x4,
41 33
x3x4,
= .41
其中x4是自由未知量.
8.總利潤的最大值為1.35萬元,最小值為1.25萬元.投給A1,A2,A3的錢分彆為0,5,5(萬元)時,總利潤達到最大值1.35萬元.(詳見參考文獻[1]的第20～21頁例4.)
習題1.3
1. 類似於本節例1 的證法.

2. 類似於例1 的證法.


補充題一
naisaja1a2an
j=1
1 11 11. xi
bi
=
ai . bj
i=1,2,,n,其中s=1+
···
.
(詳見參考文
+++
,
···
獻[1]的第25～26頁的補充題一的第1題.)
2.
n
..
.. ....
1 2
i =1, 2, ,n . 1;···. bi+bi+1bjxi = ,
n(n+1)
n
j=1
..
..
2
n(n+1)
nj=1
bj
..
+ b1
..
.xn =
1
n
. bn
(詳見參考文獻[1]的第26～27頁的第2題.)
3. 一般解是：
.x1 + n,.
= .xn+2.···. x2n x2=xn+2. 1,
x3=xn+3. 1,
.
.
············
xn.1 = x2n.1 . 1, xn=x2n. 1 . xn+1=.xn+2.···. x2n+n+1,
其中xn+2,xn+3,,x2n是自由未知量.(詳見參考文獻[1]的第27頁的第3題.)
···

第二章行列式
習題2.1
1.(1)6,偶排列;(2)11,奇排列;(3)15,奇排列;(4)15,奇排列;(5)18,偶排列;(6)36,偶排列.
2.τ(n(n. 1) 321)= 1 n(n. 1).當n=4k或4k+1時,n(n. 1)321是偶排列,當···2 ···
n=4k+2或4k+3時,是奇排列.(詳見參考文獻[1]的第32頁例2.)1
3.(1)
(n . 1)(n . 2); (2) n . 1.

4. . 12 nk(n . . 1) . 1 r.(詳見參考文獻[1]第32頁例3.)

5. . ai . 2 k(k+1).(詳見參考文獻[1]第32頁例4.)


2
i=1
6. (1) 11; (2) 0; (3) 0; (4) λ2 + a2; (5) λ2 + 4.
習題2.2
1. (1)(.1)n.1a1a2an.1an;(2)(.1) 12 (n.1)(n.2)a1a2an.1an.
······
2.0.(詳見參考文獻[1]的第37頁的例3.)
3. x 的4 次多項式. x4 項的係數為7,x3 項的係數為.5.(詳見參考文獻[1]的第37～38頁例4.)

4.詳見參考文獻[1]的第38頁的例5.

5. 提示：在|A| 的錶達式中,每一項或者等於1,或者等於.1.設有k項等於1,則有(n!. k) 項等於.1.


習題2.3
1. (1) .500.(詳見參考文獻[1]的第44～45頁例1)(2)160.
. n.
2. (.1)n.1bn.1 . ai . b.i=1

3.(1)利用性質3.(2)利用性質3.


4. (1) a1 . a2b2. a3b3.···. anbn.(提示：把第2列的(.b2)倍加到第1列上,··· ,把第n列的(.bn)倍加到第1列上.)
(2)當n.3時,行列式的值為0;當n=2時,行列式的值為(a1. a2)(b2. b1);當n=1時為a1+b1.
習題2.4
1. (1) 100; (2) 726.

2. (1)(λ . 1)(λ . 3)2; (2) (λ + 2)2(λ . 2)2 .

3.Dn=n+1.(詳見參考文獻[1]第56頁的例5.)

4. Dn = an+1. bn+1.(詳見參考文獻[1]第56頁例6.)


a . b
5.Dn=(n+1)an .(詳見參考文獻[9]第435～436頁第4題的解答.)

6. (.1)n.1 21(n+1)nn.1 .(詳見參考文獻[1]的第57～58頁例7.)

7. (.1) 12n(n.1) 21(n+1)nn.1 .(提示：把第n. 1行的(.1)倍加到第n行上,把第n. 2


行的(.1) 倍加到第n . 1行上,依次類推,把第1行的(.1)倍加到第2行上;然後把第2,3,,n列都加到第1列上.)
···
8. .2(n . 2)!.(提示：把第1行的(.1)倍分彆加到2,3,,n行上,然後按第2列
···
展開.)y(x. z)n . z(x. y)n
9. Dn = y . z .(詳見參考文獻[1]的第369頁第7題的解答.)

10.利用性質3.(詳見參考文獻[1]第58頁的例8.)

11.(1)n.3時,行列式的值為0;n=2時,行動式的值為(x1. x2)(y1. y2);n=1時


為1+x1y1..tt.
(2) n! 1+ t +++ .
2 ··· n

12.Dn=(x1+x2++xn).(xi. xj).(詳見參考文獻[1]的第59～60 頁
···
1.j例11.)
13. 3n+1. 2n+1.(提示：先按第1列展開,然後用類似於第4題的解法.)

14..(xi. xj).(詳見參考文獻[1]第59頁例10.)


1.j習題2.5
1.唯一解.(詳見參考文獻[1]的第65～66頁例1.)

2. 當a =1 .且b =0 .時, 有唯一解; 當a =1 且b = 12 時, 有無窮多個解; 當a =1 且


b =.12 時,無解;當b=0時,也無解.(詳見參考文獻[1]的第66～68頁例3.)
3.有非零解當且僅當λ=1或λ=3或λ=5.(詳見參考文獻[1]的第66頁例2.)
4.利用本節定理1和範德濛行列式可得,存在唯一的次數小於n的多項式函數經過所給的n個點.

前言/序言

本書是為《高等代數》(丘維聲著, 科學齣版社2013 年3 月齣版) 配套的習題答案與提示, 計算題給齣瞭答案, 證明題給齣瞭關鍵性的提示, 並且對於相當一部分習題給齣瞭詳解.在習題解答和提示中, 提到的本書" 都是指上述《高等代數》教材.上述《高等代數》教材是作者積40 多年在北京大學從事教學和科研工作的經驗和心得寫成的, 有一些獨到的科學見解, 其主要特色如下：
1. 更加鮮明地突齣瞭研究綫性空間的結構及其態射(即綫性映射)" 這條主綫. 用這條主綫把高等代數課程的教學內容串起來, 形成瞭科學的講授體係.
2. 按照數學的思維方式講授數學知識, 所有重要概念的引入非常自然. 提齣要研究的問題, 引導讀者探索, 猜測可能有的規律, 進行證明, 這樣做使得所有重要定理的引入也很自然,證明的思路非常清晰.
3. 有一些獨到的科學見解. 例如, 明確提齣並且證明瞭域F 上一元多項式環F[x] 和n元多項式環F[x1; x2; …; xn] 的通用性質. 運用多項式環的通用性質清晰且簡捷地研究瞭多項式環的結構; 運用一元多項式環的通用性質研究瞭域F上n 維綫性空間V 上的綫性變換A （花體）的最簡單形式的矩陣錶示. 又如, 抓住瞭實內積空間(或酉空間)的結構的內在本質給齣如下定義：設V 和V′ 是實內積空間(或酉空間), 如果有V 到V′ 的一個滿射sigma保持嚮量的內積不變.
4. 力求使高等代數與幾何水乳交融. 綫性空間和綫性映射的所有重要概念都從幾何空間中的例子受到啓發而引入; 所有重要定理都從幾何空間中的有關結論受到啓發, 猜測在綫性空間中也可能有類似的結論, 然後進行證明; 從幾何空間中的問題受到激勵, 提齣並且研究高等代數的問題, 得齣瞭一般結論後, 又應用到解決幾何空間中的問題.
5. 準確地、科學地闡述概念和定理. 例如, 什麼是數域K 上的一元多項式？什麼是數域K 上的n 級矩陣A 的特徵值？ 級實對稱矩陣A 的特徵值都是實數" 這句話準確嗎？準確地、科學地敘述這個定理應當是： 級實對稱矩陣A 的特徵多項式的復根都是實數."
6. 精心配備每一節的例題和習題. 例題經過精心挑選, 每一節都配置瞭適量的習題. 例題的解答和本書給齣的相當一部分習題的詳解都很有特色, 豐富瞭高等代數課程的內容.正是由於上述《高等代數》教材有以上特色, 因此學習高等代數(或綫性代數) 的讀者都可以來作本書的習題, 這對於學好高等代數(或綫性代數) 肯定會有幫助.
感謝科學齣版社的昌盛編輯和王鬍權編輯, 他們為本書的編輯齣版付齣瞭辛勤勞動.坦誠歡迎廣大讀者對本書提齣寶貴意見.


丘維聲
北京大學數學科學學院
2013年9月

高等代數習題答案與提示 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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