信息与计算科学丛书：分数阶微分方程的有限差分方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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孙志忠，高广花 著

图书标签:

• 分数阶微分方程
• 有限差分方法
• 数值分析
• 计算数学
• 科学计算
• 偏微分方程
• 信息与计算科学
• 数学模型
• 工程应用
• 数值方法

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030454720

版次：1

商品编码：11770865

包装：精装

丛书名： 信息与计算科学丛书

开本：16开

出版时间：2015-08-01

用纸：胶版纸

页数：232

字数：322000

正文语种：中文

内容简介

《分数阶微分方程的有限差分方法》力求对分数阶微分方程的差分方法做个简明介绍。《分数阶微分方程的有限差分方法》分为6章。第1章介绍了4种分数阶导数的定义。第2章讨论求解时间分数阶慢扩散方程的有限差分方法。第3章研究时间分数阶波方程的有限差分方法。第4章考虑求解空间分数阶偏微分方程的有限差分方法。第5章关心求解一类时空分数阶微分方程的有限差分方法。第6章介绍求解一类时间分布阶微分方程的有限差分方法。

内页插图

目录

第1章 分数阶导数及其数值逼近
1．1 分数阶导数的定义和性质
1．1．1 分数阶积分
1．1．2 Crunwald-Letnikov（C-L）分数阶导数
1．1．3 Riemann-Liouville（R-L）分数阶导数
1．1．4 Caputo分数阶导数
1．1．5 Riesz分数阶导数
1．1．6 积分下限处分数阶导数的性态
1．2 分数阶导数的Fourier变换
1．3 分数阶常微分方程
1．3．1 R-L型分数阶常微分方程的求解
1．3．2 Caputo型分数阶常微分方程的求解
1．4 分数阶导数的数值逼近
1．4．1 R-L分数阶导数的C-L逼近
1．4．2 Riesz分数阶导数的中心差商逼近
1．4．3 Caputo分数阶导数的L1插值逼近
1．4．4 Caputo分数阶导数的Alikhanov超收敛点插值逼近
1．5 分数阶常微分方程的差分方法
1．5．1 基于G-L逼近的方法
1．5．2 基于L1插值逼近的方法
1．5．3 基于Alikhanov超收敛点插值逼近的方法
1．6 补注与讨论
习题1

第2章 时间分数阶慢扩散方程的差分方法
2．1 一维问题基于G-L逼近的空间二阶方法
2．1．1 差分格式的建立
2．1．2 差分格式的唯一可解性
2．1．3 差分格式的稳定性
2．1．4 差分格式的收敛性
2．2 一维问题基于G-L逼近的空间四阶方法
2．2．1 差分格式的建立
2．2．2 差分格式的唯一可解性
2．2．3 差分格式的稳定性
2．2．4 差分格式的收敛性
2．3 一维问题基于L1插值逼近的空间二阶方法
2．3．1 差分格式的建立
2．3．2 差分格式的唯一可解性
2．3．3 差分格式的稳定性
2．3．4 差分格式的收敛性
2．4 一维问题基于L1插值逼近的空间四阶方法
2．4．1 差分格式的建立
2．4．2 差分格式的唯一可解性
2．4．3 差分格式的稳定性
2．4．4 差分格式的收敛性
2．5 二维问题基于G-L逼近的ADI方法
2．5．1 差分格式的建立
2．5．2 差分格式的唯一可解性
2．5．3 差分格式的稳定性
2．5．4 差分格式的收敛性
2．6 二维问题基于L1插值逼近的ADI方法
2．6．1 差分格式的建立
2．6．2 差分格式的唯一可解性
2．6．3 差分格式的稳定性
2．6．4 差分格式的收敛性
2．7 多项时间分数阶慢扩散方程的差分方法
2．7．1 差分格式的建立
2．7．2 差分格式的唯一可解性
2．7．3 差分格式的稳定性
2．7．4 差分格式的收敛性
2．8 补注与讨论
习题2

第3章 时间分数阶波方程的差分方法
3．1 一维问题的空间二阶方法
3．1．1 差分格式的建立
3．1．2 差分格式的唯一可解性
3．1．3 差分格式的稳定性
3．1．4 差分格式的收敛性
3．2 一维问题的空间四阶方法
3．2．1 差分格式的建立
3．2．2 差分格式的唯一可解性
3．2．3 差分格式的稳定性
3．2．4 差分格式的收敛性
3．3 二维问题的ADI方法
3．3．1 差分格式的建立
3．3．2 差分格式的唯一可解性
3．3．3 差分格式的稳定性
3．3．4 差分格式的收敛性
3．4 二维问题的紧ADI方法
3．4．1 差分格式的建立
3．4．2 差分格式的唯一可解性
3．4．3 差分格式的稳定性
3．4．4 差分格式的收敛性
3．5 多项时间分数阶波方程的差分方法
3．5．1 差分格式的建立
3．5．2 差分格式的唯一可解性
3．5．3 差分格式的稳定性
3．5．4 差分格式的收敛性
3．6 补注与讨论
习题3

第4章 空间分数阶微分方程的差分方法
4．1 一维问题基于位移G-L逼近的一阶方法
4．1．1 差分格式的建立
4．1．2 差分格式的唯一可解性
4．1．3 差分格式的稳定性
4．1．4 差分格式的收敛性
4．2 一维问题基于加权位移G-L逼近的二阶方法
4．2．1 差分格式的建立
4．2．2 差分格式的唯一可解性
4．2．3 差分格式的稳定性
4．2．4 差分格式的收敛性
4．3 一维问题基于加权位移G-L逼近的四阶方法
4．3．1 差分格式的建立
4．3．2 差分格式的唯一可解性
4．3．3 差分格式的稳定性
4．3．4 差分格式的收敛性
4．4 二维问题基于加权位移G-L逼近的四阶ADI方法
4．4．1 差分格式的建立
4．4．2 三个引理
4．4．3 差分格式的唯一可解性
4．4．4 差分格式的稳定性
4．4．5 差分格式的收敛性
4．5 补注与讨论
习题4

第5章 时空分数阶微分方程的差分方法
5．1 一维问题的空间二阶方法
5．1．1 差分格式的建立
5．1．2 差分格式的唯一可解性
5．1．3 两个引理
5．1．4 差分格式的稳定性
5．1．5 差分格式的收敛性
5．2 一维问题的空间四阶方法
5．2．1 差分格式的建立
5．2．2 差分格式的唯一可解性
5．2．3 差分格式的稳定性
5．2．4 差分格式的收敛性
5．3 二维问题的空间二阶方法
5．3．1 差分格式的建立
5．3．2 差分格式的唯一可解性
5．3．3 差分格式的稳定性
5．3．4 差分格式的收敛性
5．4 二维问题的空间四阶方法
5．4．1 差分格式的建立
5．4．2 差分格式的唯一可解性
5．4．3 差分格式的稳定性
5．4．4 差分格式的收敛性
5．5 补注与讨论
习题5

第6章 时间分布阶慢扩散方程的差分方法
6．1 一维问题空间和分布阶二阶方法
6．1．1 差分格式的建立
6．1．2 差分格式的唯一可解性
6．1．3 两个引理
6．1．4 差分格式的稳定性
6．1．5 差分格式的收敛性
6．2 一维问题空间和分布阶四阶方法
6．2．1 差分格式的建立
6．2．2 差分格式的唯一可解性
6．2．3 差分格式的稳定性
6．2．4 差分格式的收敛性
6．3 二维问题空间和分布阶二阶方法
6．3．1 差分格式的建立
6．3．2 差分格式的唯一可解性
6．3．3 差分格式的稳定性
6．3．4 差分格式的收敛性
6．4 二维问题空间和分布阶四阶方法
6．4．1 差分格式的建立
6．4．2 差分格式的唯一可解性
6．4．3 差分格式的稳定性
6．4．4 差分格式的收敛性
6．5 二维问题空间和分布阶二阶ADI方法
6．5．1 差分格式的建立
6．5．2 差分格式的唯一可解性
6．5．3 差分格式的稳定性
6．5．4 差分格式的收敛性
6．6 二维问题空间和分布阶四阶ADI方法
6．6．1 差分格式的建立
6．6．2 差分格式的唯一可解性
6．6．3 差分格式的稳定性
……
参考文献
索引
《信息与计算科学丛书》已出版书目

前言/序言

信息与计算科学丛书：分数阶微分方程的有限差分方法 引言 在现代科学与工程的众多领域，从材料科学、生物医学到信号处理和控制理论，分数阶微积分（Fractional Calculus）作为一种强大的数学工具，正扮演着越来越重要的角色。与传统整数阶微积分相比，分数阶微积分能够更精确地描述具有记忆效应、非局域性和奇异性的复杂系统行为，从而为分析和解决这些系统中的问题提供了更细致和普适的视角。然而，分数阶微分方程（Fractional Differential Equations, FDEs）的解析解往往难以获得，这使得数值解法成为研究和应用的关键。在众多数值方法中，有限差分方法（Finite Difference Method, FDM）因其概念直观、实现相对简便且在特定问题上具有良好的精度和效率，一直受到研究者的青睐。 本书《信息与计算科学丛书：分数阶微分方程的有限差分方法》旨在为读者系统地介绍和深入探讨分数阶微分方程的有限差分数值求解方法。我们希望通过本书，能够为从事相关领域研究的学者、工程师以及对这一前沿计算方法感兴趣的广大学子提供一套全面、深入且具有实践指导意义的学习资源。本书将重点关注如何将经典的有限差分思想应用于各类分数阶算子，并在此基础上构建求解分数阶微分方程的数值格式，分析其稳定性和收敛性，并探讨实际应用中的挑战与策略。 本书内容概述 本书内容设计循序渐进，从基础概念的引入到复杂问题的求解，力求为读者构建一个扎实的知识体系。 第一部分：分数阶微积分基础回顾与有限差分法的引入 在深入探讨分数阶微分方程的有限差分方法之前，有必要对分数阶微积分的核心概念以及有限差分法的基本原理进行简要回顾。 分数阶微积分的历史与发展： 追溯分数阶微积分的起源，介绍其发展历程中的重要里程碑和关键人物。 分数阶积分的定义： 详细阐述几种常用的分数阶积分定义，如Riemann-Liouville定义、Caputo定义、Grünwald-Letnikov定义等。深入理解不同定义的数学形式及其物理意义，特别是在描述连续介质和非局域现象方面的优势。 分数阶微分的定义： 基于分数阶积分的定义，推导相应的分数阶微分定义，并讨论其与整数阶微分在性质上的异同。 分数阶微积分的性质： 介绍分数阶微积分的一些基本性质，如线性性质、积分的连续性和可微性等，为后续数值方法的推导奠定基础。 有限差分法的基本思想： 回顾有限差分法在求解常微分方程和偏微分方程中的基本思想，包括如何用差商逼近导数，以及网格划分、时间步长等基本概念。 第二部分：格林纳维奇-古特里（Grünwald-Letnikov）定义下的有限差分方法 Grünwald-Letnikov定义是一种直接将整数阶差分推广到分数阶的定义，其形式直观，易于转化为有限差分格式，是早期研究分数阶微分方程数值解的重要方法之一。 Grünwald-Letnikov分数阶微分的定义与性质： 详细介绍Grünwald-Letnikov分数阶微分的公式，并通过算例说明其计算方式。 基于Grünwald-Letnikov定义的有限差分近似： 推导使用Grünwald-Letnikov定义求解分数阶导数（包括左侧和右侧导数）的有限差分格式。重点分析其近似误差和截断误差。 时间分数阶微分方程的有限差分法： Caputo型时间分数阶微分方程： 重点介绍Caputo型定义在物理模型中的重要性，以及如何基于Grünwald-Letnikov定义近似Caputo型分数阶导数。 全离散化格式的构建： 针对不同类型的时间分数阶微分方程（如常系数、变系数、非线性），推导相应的全离散化有限差分格式。 稳定性与收敛性分析： 对构建的有限差分格式进行严格的数学分析，包括冯·诺依曼（von Neumann）方法或能量方法进行稳定性分析，以及利用截断误差分析和不等式技巧进行收敛性分析。 空间分数阶微分方程的有限差分法： 对称分数阶导数的近似： 介绍对称分数阶导数在描述空间非局域性中的应用，并推导其有限差分近似。 基于网格点的差分格式： 讨论如何处理空间离散化中的边界条件和非局域性特征。 稳定性与收敛性分析： 分析空间分数阶微分方程有限差分法的稳定性和收敛性。 时空分数阶微分方程的有限差分法： 联合时间和空间的分数阶导数，介绍其有限差分法的构建与分析。 第三部分：Caputo分数阶微分方程的有限差分方法 Caputo定义在描述具有初始条件的分数阶微分方程时更为方便，其导数定义与物理初始条件直接相关。因此，针对Caputo定义开发高效的数值方法至关重要。 Caputo分数阶微分的性质与计算： 梳理Caputo分数阶微分的数学性质，以及其与Grünwald-Letnikov定义的关系。 Caputo型时间分数阶微分方程的数值求解： 精确处理时间非局域性： 重点讨论如何在数值格式中精确或高精度地处理时间分数阶导数的卷积性质，以及累积效应。 L1和L2格式： 详细介绍基于梯形求积公式和高阶求积公式发展出的L1和L2等格式，分析其精度和计算效率。 隐式和显式格式： 探讨不同类型时间步进格式的优缺点，以及如何选择合适的格式以保证稳定性和效率。 实际算例与结果分析： 通过具体的Caputo型分数阶微分方程模型（如分数阶扩散方程、分数阶波动方程）进行数值模拟，展示算法的有效性，并对结果进行深入分析。 Caputo型空间分数阶微分方程的数值求解： 介绍如何将Caputo定义应用于空间分数阶微分算子，并推导相应的有限差分格式。 第四部分：其他分数阶微分算子的有限差分方法 除了Grünwald-Letnikov和Caputo定义，还有一些其他分数阶微分算子在特定问题中也具有重要的应用。 Riemann-Liouville定义下的有限差分方法： 探讨基于Riemann-Liouville定义推导有限差分格式的难点与解决方案。 广义分数阶微积分的有限差分方法： 简要介绍更广义的分数阶微积分框架，以及如何将其数值化。 第五部分：分数阶微分方程有限差分法的应用与进阶 在掌握了基础的有限差分方法后，本书将进一步探讨其在具体问题中的应用，以及一些更高级的数值技术。 实际应用中的挑战与策略： 高维问题： 讨论如何处理高维分数阶微分方程的有限差分求解。 非线性问题： 介绍求解非线性分数阶微分方程的数值技巧，如迭代方法、Newton方法等。 复杂边界条件： 讨论如何处理分数阶微分方程中的非标准边界条件。 不规则区域： 简要提及在不规则区域上求解分数阶微分方程的有限差分方法。 精度提升与加速技术： 高阶精度格式： 介绍如何构建更高阶的有限差分格式，以提高计算精度。 多网格法与迭代求解： 讨论如何将多网格法和高效的迭代求解器应用于求解大型稀疏线性系统，以加速计算。 与其他数值方法的比较： 简要比较有限差分法与其他求解分数阶微分方程的数值方法（如有限元法、谱方法）的优缺点。 软件实现与案例研究： 编程语言与库： 推荐常用的编程语言（如Python, MATLAB, C++）和相关的科学计算库，指导读者如何实现算法。 典型应用案例： 通过具体的工程和科学问题，如分数阶粘弹性材料力学、分数阶电化学模型、分数阶生物扩散模型等，详细展示有限差分方法的应用过程，并对模拟结果进行物理解释。 结语 本书的写作宗旨是力求清晰、严谨，并兼顾理论与实践。我们希望通过对分数阶微分方程有限差分法的系统梳理和深入讲解，帮助读者建立对这一强大数值工具的全面认识，掌握其核心思想和技术，并能够将其应用于解决自己研究和工作中的实际问题。分数阶微积分及其数值方法是计算科学领域一个充满活力的研究方向，本书的出版旨在为该领域的进一步发展贡献力量，并激发更多研究者和工程师的兴趣。 目标读者 本书适合以下读者： 信息与计算科学、应用数学、物理学、工程学等相关专业的本科高年级学生和研究生。 从事分数阶微积分理论研究、数值方法开发及相关领域应用研究的科研人员。 在材料科学、生物医学、信号处理、控制工程等领域需要处理分数阶微分方程的工程师和技术人员。 对分数阶微积分和数值计算有浓厚兴趣的读者。 本书假定读者具备一定的微积分、线性代数和基础数值分析知识。对于分数阶微积分的概念，本书将进行必要的铺垫和回顾，但读者若能提前了解一些基本概念，将有助于更顺畅地阅读。

评分☆☆☆☆☆

我认为，这本书的出版对于推动分数阶微积分在计算科学领域的应用具有里程碑式的意义。它填补了许多现有教材在这一领域的空白，为广大研究人员和工程师提供了一个系统、全面、深入的学习平台。我曾尝试阅读过一些零散的期刊文章，但始终觉得缺乏一个整体性的框架，而这本书正好弥补了这一点，它将分散的知识点有机地整合在一起，形成了一个完整的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

这本《信息与计算科学丛书：分数阶微分方程的有限差分方法》在我手中已经有一段时间了，每次翻阅都能带来新的启发，仿佛进入了一个由精妙数学构建的深邃世界。我并非这个领域的资深研究者，更多的是一名对计算科学充满好奇的学习者，而这本书恰恰满足了我跨越概念鸿沟的需求。从它诞生的那一刻起，我就预感到它将成为我工具箱里不可或缺的一员。书中对分数阶微分方程的介绍，并非枯燥的理论堆砌，而是循序渐进地引导读者理解其核心思想，从经典的整数阶微分方程出发，巧妙地引入了分数阶的抽象概念，并清晰地阐述了其在现实世界中的广泛应用，例如在材料科学、生物医学信号处理、以及金融建模等领域，这让原本显得遥不可及的数学工具立刻变得鲜活而有意义。

评分☆☆☆☆☆

当然，作为一本技术性很强的书籍，它对读者的数学基础有一定的要求。我曾遇到过一些概念，例如在处理高阶分数阶导数时，需要对一些更复杂的数学工具有所了解。不过，本书作者也深知这一点，所以在一些关键概念的引入上，都力求简洁明了，并提供了大量的参考文献，方便读者进行更深入的探索。对于像我这样的初学者，有时候会感到信息量巨大，需要花费大量时间去消化吸收。但是，每次克服一个难点，都会带来巨大的成就感，也让我对分数阶微分方程和有限差分方法的理解更加透彻。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，《信息与计算科学丛书：分数阶微分方程的有限差分方法》是一部极具价值的学术著作。它不仅为我打开了分数阶微积分计算科学领域的大门，更点燃了我深入探索这个迷人世界的热情。我强烈推荐这本书给任何对分数阶微分方程的数值计算方法感兴趣的读者，无论是学生、研究人员还是工程师，相信这本书都将成为您宝贵的参考书。

评分☆☆☆☆☆

在阅读过程中，我发现书中对算法的实现细节也进行了细致的讲解。无论是时间方向的离散化，还是空间方向的离散化，书中都给出了清晰的步骤和相应的数值技巧。例如，在处理时间分数阶导数时，如何高效地计算那些随着时间步长累积的卷积积分，书中给出了几种优化的策略，这对于提高计算效率至关重要。对于我来说，掌握这些实现技巧，意味着我能够将书中的理论知识转化为实际可行的计算程序，从而真正地应用到我的研究或项目当中。

评分☆☆☆☆☆

从排版和装帧上看，这本书也做得非常出色。纸张的质量上乘，印刷清晰，即使长时间翻阅，也不会感到疲劳。书中大量的公式和图表都得到了很好的呈现，这一点对于理解复杂的数学内容至关重要。我尤其喜欢书中对关键概念和公式的突出显示，这使得我在回顾时能够快速定位到重要的信息。

评分☆☆☆☆☆

随着阅读的深入，我逐渐意识到，这本书并非仅仅是关于“如何计算”，更是在“理解计算背后的科学”。作者在讲解有限差分方法时，非常注重从数学的本质出发，阐述为什么特定的离散化方法能够有效地逼近连续方程的解。对于那些对于误差分析和稳定性理论感到头疼的读者来说，这本书无疑是雪中送炭。书中对局部截断误差和全局截断误差的分析，以及对Von Neumann稳定性分析等内容的详细讲解，都为我理解数值方法的可靠性提供了坚实的基础。我特别欣赏书中对于不同离散化方法的优缺点进行的比较分析，这有助于我根据实际问题选择最合适的方法，避免盲目套用。

评分☆☆☆☆☆

尽管我还没有完全掌握书中的所有内容，但我已经能够感受到它对我思维方式的深刻影响。我开始更加关注问题背后的数学结构，更加善于利用数值方法来解决复杂的计算挑战。这本书让我明白，即使是抽象的数学概念，只要掌握了恰当的工具和方法，就能够被用来解决现实世界中的实际问题，这是一种令人振奋的启示。

评分☆☆☆☆☆

本书最让我印象深刻的是其对有限差分方法的深入探讨。我一直对数值计算的严谨性抱有敬畏之心，而有限差分方法正是连接理论模型与实际计算的桥梁。作者团队在这本书中，不仅详细讲解了各种经典的有限差分格式，如显式、隐式和Crank-Nicolson方法，还针对分数阶微分方程的特殊性，提出了许多创新性的离散化策略。例如，对于 Caputo 分数阶导数，书中详细推导了基于 Grünwald-Letnikov 公式的多步公式，并对其精度和稳定性进行了深入分析。这部分内容对我来说是极具挑战性的，但作者通过大量的图示和算例，将抽象的数学推导变得直观易懂，我甚至会反复阅读其中的公式推导过程，尝试自己动手演算，以期更深刻地理解其背后的数学逻辑。

评分☆☆☆☆☆

这本书还有一个显著的特点是其理论联系实际的紧密性。书中不仅仅停留在理论推导，而是通过大量的工程和科学应用案例，生动地展示了分数阶微分方程在解决实际问题中的强大威力。我尤其对其中关于“记忆效应”的讨论印象深刻，分数阶导数能够巧妙地捕捉到系统过去的状态对当前行为的影响，这在许多物理和工程系统中是至关重要的。书中提供的代码示例，虽然我还需要进一步学习和实践，但它们无疑为我提供了一个很好的起点，让我能够亲手实现书中的算法，并进行验证。

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