国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012） 数论部分 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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《中等数学》编辑部 编

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出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308145534

版次：1

商品编码：11786092

包装：平装

开本：16开

出版时间：2015-10-01

用纸：胶版纸

页数：376

内容简介

　　本书按照高中数学竞赛大纲要求，精选了世界各地数学奥林匹克竞赛的试题。本分册是初等数论部分，对所有问题作了详细讲解，旨在提高学生的解决问题和分析问题的能力。

前言/序言

《数学的星辰：全球奥林匹克竞赛数论精粹（2002-2012）》 一、引言：奥林匹克的数海，智慧的启航 数学奥林匹克竞赛，以其独特的魅力和对思维深度、广度、创造力极致的考量，吸引着全球无数热爱数学的学子。它不仅是一场智力的较量，更是一次对数学美学和深刻理解的探索之旅。在浩瀚的数学星空中，数论以其古老而又充满活力的特质，占据着举足轻重的地位。从古希腊毕达哥拉斯学派对数的神秘崇拜，到如今数论在密码学、计算机科学等领域的广泛应用，数论的魅力经久不衰，其深度和复杂性也使得它成为数学奥林匹克竞赛中一个经久不衰的热点。 本书《数学的星辰：全球奥林匹克竞赛数论精粹（2002-2012）》并非简单地罗列试题，而是精选了2002年至2012年间，国内外顶尖数学奥林匹克竞赛中具有代表性、能够体现数论核心思想与解题技巧的精华试题。我们致力于为广大数学爱好者，特别是准备参加各类数学竞赛的学生、对数论有着浓厚兴趣的读者，呈现一场数论思维的盛宴。本书旨在通过对这些经典试题的深入剖析，引导读者领略数论的深邃奥秘，掌握解决复杂数论问题的通用策略与技巧，激发对数学更深层次的探索热情。 二、本书内容概览：数论的璀璨星图 本书的编排紧密围绕数论的各个核心分支，力求全面而深入地展现数论在奥林匹克竞赛中的风采。我们精选的题目覆盖了以下几个主要领域： 1. 整除性与同余理论：数论的基石与骨架 整除性与同余理论是数论的基石，也是最常出现在奥林匹克竞赛中的内容。本书将重点收录大量涉及以下概念的题目： 整除性判定与性质： 各种形式的整除关系，例如证明一个数能否被另一个数整除，或者证明某个表达式具有特定整除性。我们会涵盖各种经典的整除性判别法，以及利用数学归纳法、性质推导等方法来证明整除性。 线性同余方程组： 中国剩余定理及其推广应用，解决一系列相互关联的同余问题。本书将展示如何运用中国剩余定理求解复杂的问题，以及一些非标准形式的同余方程组的解法。 模运算的性质与应用： 模运算在计数、组合数学以及密码学等领域都有广泛应用。我们会精选涉及欧拉定理、费马小定理、威尔逊定理等经典定理的应用题目，以及利用模运算进行简化和分析的技巧。 带余除法与性质： 探讨除数、被除数、商和余数之间的关系，以及由此引申出的性质。例如，利用带余除法来证明一些关于整数性质的命题。 不定方程与整除性： 一些看似复杂的不定方程，可以通过分析其整除性，将其转化为更易于处理的问题。本书将包含一些巧妙利用整除性来求解不定方程的范例。 2. 模运算与数论函数：数的属性与变换 模运算和数论函数是理解数论深刻内涵的两个重要视角。 指数同余与周期性： 涉及指数的同余方程，特别是利用欧拉定理和模幂运算的周期性来简化和求解。我们会探讨循环群、阶等概念在解决指数同余问题中的应用。 原根与阶： 深入研究原根的存在性及其性质，以及数的阶在同余方程解的存在性判定中的作用。 数论函数： 重点关注积性函数（如欧拉 $phi$ 函数、约数和函数 $sigma$、约数个数函数 $d$）的性质及其应用。本书将包含大量利用这些函数解决计数问题、证明等式以及分析数论性质的题目。 莫比乌斯反演： 介绍莫比乌斯函数及其反演公式，以及其在处理和计数问题中的强大威力。 3. 整除性的深度挖掘：平方剩余与丢番图方程 在整除性的基础上，本书将进一步深入探讨更高级的主题。 平方剩余与二次互反律： 介绍平方剩余的概念，以及勒让德符号和雅可比符号的计算。重点讲解二次互反律及其在判断平方剩余问题中的应用。我们会涵盖如何利用二次互反律高效地判断一个数是否为模 $p$ 的平方剩余。 丢番图方程： 探讨形如 $ax + by = c$ 的线性丢番图方程，以及更复杂的非线性丢番图方程的求解技巧。本书将展示如何利用整除性、模运算、变量代换等方法来寻找丢番图方程的整数解。 费马方程及其推广： 涉及一些著名的费马型方程，如 $x^2 + y^2 = z^2$，以及如何利用数论方法证明其特有的性质和解。 4. 整除性与组合数学的交融：数的组合性质 数论的思想常常与组合数学紧密结合，产生出许多令人眼前一亮的题目。 组合恒等式与数论： 一些组合恒等式可以通过数论的方法进行证明，或者反之，利用组合的思想来推导数论的性质。 计数问题中的数论： 在解决计数问题时，常常需要用到整除性、同余等数论概念来化繁为简，或者直接得到答案。 抽屉原理与数论： 抽屉原理在数论中也有着非常重要的应用，例如证明某些数论命题。 5. 其他数论主题：拓宽视野，深入探索 除了上述核心内容，本书还将触及一些其他重要的数论主题，以期为读者提供更全面的视野： 质数分布与性质： 探讨质数的分布规律，如哥德巴赫猜想、素数定理的简单应用，以及与质数相关的各种性质和证明。 整环与域（初步）： 在一些高级题目中，可能会涉及到数域、整数环等概念的初步应用，帮助读者建立更广泛的数学视野。 数论的代数方法： 介绍一些利用群论、环论等代数工具来解决数论问题的思路。 三、本书的特色与价值：引领读者走向数论的深邃 1. 精选经典，代表性强： 本书所选题目均来自国内外顶级数学奥林匹克竞赛，具有极高的代表性和借鉴意义。它们不仅考查了读者对数论基础知识的掌握程度，更着重于考察解决复杂问题的思维能力和创新能力。 2. 解法详尽，思路清晰： 对于每一道试题，本书都提供了详尽的解题步骤和思路分析。我们不仅给出了最终的答案，更重要的是，深入剖析了得出答案背后的逻辑推理过程、关键的数学思想以及可能存在的多种解法。这有助于读者理解“为什么”这样做，而不仅仅是“怎么做”。 3. 技巧归纳，方法总结： 在每个章节的题目解析中，我们都会提炼出解决该类问题所常用的数学技巧和解题方法，并进行总结。例如，在讨论整除性问题时，会总结利用因式分解、同余性质、性质证明等常用方法；在讲解同余方程组时，会总结中国剩余定理的多种应用场景。 4. 难度循序，循序渐进： 本书的题目难度设计上，力求兼顾基础和拔高。从相对基础的整除性问题，到更为复杂的平方剩余、丢番图方程等，难度逐步提升，旨在帮助读者循序渐进地掌握数论知识。 5. 启发思考，培养能力： 本书不只是一个习题集，更是一个引导读者思考的平台。我们鼓励读者在阅读解析之前，尝试独立思考，探索自己的解题思路，即使思路不完美，也能从中获得宝贵的经验。通过对不同解法的对比，读者可以培养分析问题、比较优劣、选择最优解的能力。 6. 拓展视野，激发兴趣： 通过接触不同国家、不同风格的奥林匹克题目，读者可以拓宽数学视野，了解不同文化背景下的数学思想。这些精妙的题目本身就蕴含着数学的独特魅力，能够极大地激发读者对数论乃至整个数学的兴趣。 四、目标读者：徜徉在数论的海洋 本书适合以下人群阅读： 中学生： 正在准备参加中国数学奥林匹克（CMO）、国际数学奥林匹克（IMO）以及各省市级数学竞赛的同学们。 大学生： 对数论有浓厚兴趣，希望深入学习和掌握数论知识的大学生，特别是数学、计算机科学等相关专业的学生。 数学爱好者： 任何对数论充满好奇，希望通过挑战经典问题来提升数学思维能力的读者。 竞赛教练与教师： 作为教学参考，为学生提供高质量的数论训练素材和解题思路。 五、结语：智慧的火花，永恒的探索 数论的魅力在于其简洁的语言下隐藏着的深刻奥秘。它如同一个璀璨的宇宙，等待着有志者去探索。本书《数学的星辰：全球奥林匹克竞赛数论精粹（2002-2012）》便是为每一位怀揣探索之心者准备的一份指南。我们希望，通过对这些经典题目的学习和钻研，读者不仅能够掌握数论的知识和技巧，更能点燃智慧的火花，培养严谨的数学思维，并在探索数学的道路上，获得持久的动力和无尽的乐趣。 愿本书成为您在数论星海中，一次难忘的启航。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学竞赛题目是检验和提升数学思维的绝佳途径，而数论更是其中最富魅力和挑战性的分支之一。这本《国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012） 数论部分》堪称是这一领域的集大成之作。它严格筛选了过去十年间国内外顶尖数学竞赛中的数论题目，这些题目不仅覆盖了数论的各个重要分支，而且难度适中，能够有效区分和培养出具有数学天赋的学生。我特别关注的是书中对于这些题目解法的呈现方式。它不仅仅罗列出标准答案，而是着重于讲解解题的思路、技巧以及思考过程。我发现，很多时候，即使我初步想到了一个方向，书中的解析也能为我提供更优、更简洁的解法，或者指出我思路中的盲点。这种“精雕细琢”的解析，对于我这样希望深入理解数论本质的学生来说，价值连城。这本书让我能够在一个更加宏观的视角下审视数论的发展和变化，也让我有机会接触到那些在竞赛中具有划时代意义的解题方法。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期从事数学竞赛指导的教师，我深知优质题源和高质量解析对于培养学生能力的重要性。这本《国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012） 数论部分》正是这样一本难得的教材。它精选的题目质量极高，几乎每一道题都代表了那个时期数学奥林匹克数论部分的最高水平，能够有效锻炼学生的分析能力、逻辑推理能力和创新思维能力。书中对这些经典题目的解析，更是做到了深入浅出，既保留了数学的严谨性，又照顾到了不同水平学生的理解需求。我发现，书中对于一些复杂问题的分解、转化，以及巧妙运用数论基本定理和性质的演示，都非常具有启发性。它不仅仅是给出了“是什么”，更重要的是阐述了“为什么”以及“如何想到”。这对于培养学生的解题策略和迁移能力起到了至关重要的作用。我常常将书中的一些题目和解析作为课堂讨论的素材，学生们在学习后普遍反映，对数论的理解更加深刻，解题的信心也得到了极大的提升。这本书无疑为我们一线教师提供了一个宝贵的教学资源库，它帮助我们更有效地引导学生攻克数论的难关，发现数学的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

这本书绝对是我近十年来数学学习道路上的一盏明灯！作为一名对数论抱有浓厚兴趣的学生，我一直在寻找一本能够系统梳理国内外优秀数学奥林匹克数论题目，并且提供深入解析的参考书。这本《国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012） 数论部分》简直就是为我量身定做的。它所涵盖的题目范围非常广泛，从基础的整除性、同余方程，到稍有难度的丢番图方程、数论函数，乃至一些具有挑战性的数论猜想的雏形，几乎囊括了这一时期国际国内数论竞赛的精华。更重要的是，书中对每一个题目的解析都极其详尽，不仅仅给出了标准的答案，更重要的是，它深入剖析了题目的解题思路、关键技巧以及可以推广的通用方法。我尤其喜欢书中对于一些“神来之笔”的解法的解读，它让我明白，解题不仅仅是套用公式，更是思维的艺术。在学习过程中，我发现很多题目看似独立，但通过书中的解析，我能看到它们背后隐藏的联系，这大大拓宽了我的解题视野，也培养了我独立思考和分析问题的能力。这本书的排版清晰，符号规范，阅读起来非常舒适，这对于长时间沉浸在数论世界里的我来说，简直是福音。无论是准备参加奥林匹克竞赛的学生，还是希望提升自身数学素养的爱好者，我都强烈推荐这本书。它不仅仅是一本题集，更是一本引导你走进数论迷人世界、培养数学思维的宝典。

评分☆☆☆☆☆

接触数学竞赛多年，深谙一套好的题目集对于提升学生数论功底的重要性，而《国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012） 数论部分》正是这样一本我寻觅已久的宝藏。本书所精选的题目，无疑代表了该时期奥数数论领域最高水平的思考和技巧，涵盖了从基本的整除性、模运算到更复杂的数论函数、二次剩余等一系列核心知识点，每一道题都经过了精心挑选，确保了其代表性和挑战性。让我尤为赞赏的是，书中对每一道题目的解析都力求精炼而深刻，不仅仅是给出一个正确的答案，更是深入剖析了作者是如何一步步走到这个答案的。它教会我如何审视题目信息，如何联想相关定理，如何在看似无从下手的情况下找到突破口。这种对思维过程的细致呈现，使得这本书不仅是一份题库，更是一本“解题艺术”的教科书。它帮助我理解不同解法之间的优劣，培养了我独立思考和解决复杂问题的能力，对于任何希望在数论领域有所建树的学习者而言，这都是一本不可或缺的参考资料。

评分☆☆☆☆☆

我偶然间翻阅了这本《国内外数学奥林匹克试题精选（2002-2012） 数论部分》，原本只是想随便看看，没想到却被它深深吸引。作为一名已经离开学校多年的数学爱好者，我一直对数论情有独钟，但往往苦于找不到足够有挑战性且解析清晰的材料。这本书的出现，简直是一场及时雨。它所收录的题目，涵盖了从基础概念的巧妙应用到高级定理的灵活运用，每一个题目都像是一个精巧的数学谜题，等待着我去探索。我尤其欣赏书中对解题思路的循序渐进的引导，很多时候，我卡在某个地方，翻阅书籍的解析，总能找到一个豁然开朗的点。它不是直接给出结论，而是逐步引导你思考，让你自己去发现解题的关键。书中的一些题目的解法，更是让我惊叹于数学的简洁与优雅。我喜欢在午后阳光下，一边品味着咖啡，一边钻研书中的题目，那种沉浸在数学世界中的感觉，非常美妙。这本书让我重拾了学习的热情，也让我看到了自己数学潜力的无限可能。

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辅导老师推荐的书目，难度高，质量高

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书不错，纸张质量好！

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很不错的辅导书 价格便宜 送货快

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非常好的一本学习参考书，不错！

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辅导老师推荐的书目，难度高，质量高

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快递不错，书本是正版。

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数学竞赛参考书籍，组合数学部分

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好想回家过年啦就是这样的感觉