高等代数中的典型问题与方法（第二版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李志慧，李永明 编

图书标签:

• 高等代数
• 代数
• 数学
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• 大学教材
• 问题解决
• 方法技巧
• 第二版
• 数学分析
• 线性代数

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030481016

版次：2

商品编码：11932787

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-05-01

用纸：胶版纸

页数：373

字数：492000

正文语种：中文

编辑推荐

　　本书与北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数（第四版）》配套，选取大量国内知名高校硕士研究生高等代数入学试题，对高等代数中各种类型的闯题进行了全面、系统的总结和归纳，全方位解除学生的解题困惑。

内容简介

　　《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》是为正在学习高等代数的读者、正在复习高等代数准备报考研究生的读者，以及从事这方面教学工作的年轻教师编写的，《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》与北京大学数学系几何与代数教研组编写的《高等代数（第三版）》相配套，在编写上也遵循此教材的顺序，全面、系统地总结和归纳了高等代数中问题的基本类型、每种类型的基本方法，对每种方法先概括要点，再选取典型而有一定难度的例题，逐层剖析.对一些较难理解的问题，在适当的章节做了专题研究，进行了较深入的探讨和总结，如：线性变换的对角化、矩阵分解等问题，以消除读者长期以来对其抽象问题在理解上含糊不清的疑虑，从而更深入地领会问题，
　　《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》大量采用全国部分高校历届硕士研究生高等代数入学试题，并参阅了50余种教材、文献及参考书，经过反复推敲、修改和筛选，在长期教学实践的基础上编写而成，《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》共分9章，45节，126个条目，约320个典型问题，涉及多项式、行列式、线性方程组、矩阵、二次型、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧氏空间，

内页插图

目录

第二版前言
第一版前言
常用符号

第1章 多项式
1．1 多项式的概念与运算
一、多项式的基本概念
二、多项式的运算2
练习1．1
1．2 多项式的整除
一、带余除法和综合除法
二、整除
三、昀大公因式及其求法
四、多项式的互素
练习1．2
1．3 多项式的因式分解
一、不可约多项式
二、k重因式
三、多项式函数
四、一般数域上的因式分解及根的性质
五、复数域上多项式的因式分解及根的性质
六、实数域上多项式的因式分解及根的性质
七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质
练习1．3
1．4 注记

第2章 行列式
2．1 用定义计算行列式
练习2．1
2．2 求行列式的若干方法
一、三角化法
二、用行列式的性质化为已知行列式
三、滚动相消法
四、拆分法
五、加边法
六、归纳法
七、利用递推降级法
八、利用重要公式与结论
九、用幂级数变换计算行列式
练习2．2
2．3 利用降级公式计算行列式
练习2．3
2．4 有关行列式的证明题
练习2．4
2．5 一个行列式的计算和推广
一、Dn的计算
二、问题的推广

第3章 线性方程组
3．1 线性相关性（Ⅰ）
一、线性相关
二、线性无关
三、综合性问题
练习3．1
3．2 矩阵的秩
练习3．2
3．3 线性方程组的解
一、线性方程组的几种表示形式
二、线性方程组有解的判定及解的个数
三、线性方程组解的结构
练习3．3

第4章 矩阵
4．1 矩阵的基本运算
一、矩阵的加法和数乘
二、矩阵的乘法
三、矩阵的转置
四、矩阵的伴随
……
第5章 二次型
第6章 线性空间
第7章 线性变换
第8章 λ-矩阵
第9章 欧几里得空间
练习答案

前言/序言

　　本书自2008年9月出版以来，得到各地读者的广泛肯定，一些读者向我们提出了宝贵的意见，在此深表感谢.这次再版，对第1章的内容做了较大的调整；增加了1.4节和5.6节，以及若干典型例子，并增加了一些知识点及例子的评析，本书具有以下特色.（1）内容清晰，结构上逐条有序地安排知识点，然后加以准确描述，并运用典型例子加以分析。
　　（2）论证严谨，在例子的求解及证明方面推理严谨。
　　（3）评析新颖，对知识点、例子等进行评析，以剔除疑惑，或在理解层次方面给予拔高；评析的语言易于理解，站在读者思维的角度论述。
　　（4）覆盖面广，知识点的涉及面广，共探讨高等代数中约320个典型问题。
　　（5）习题丰富.精心配套的习题量大，且各有代表性.通过演练可以熟练掌握高等代数的基本方法与技巧。
　　一些读者还问及如何更好地理解本书的书名，下面谈谈我们的理解和编写本书的初衷。全书共分9章，45节，126个条目，约320个知识要点（简称要点），实质上，这些要点就是本书中的典型问题.而“方法”一词指的是以性质、定理等作为原理提炼出来的解决问题的办法，如本书中式（4.15）即是一个原理，由此演变出求矩阵逆的方法，即将这个矩阵与单位阵并列写到一起，然后对该阵施行能将其变为单位阵的一系列初等变换，而对单位阵同时也施行这样的变换，这时单位阵就化为该阵的逆矩阵，因此，这种方法是有原理可循的，实质上，在高等代数中，依据原理产生的求解问题的方法很多，例如，求解一般线性方程组的高斯消元法；计算行列式的方法；求线性变换的特征值与特征向量的方法；二次型化标准形的合同变换方法、配方法及正交变换法等，读者在学习时要仔细体会这些方法的由来.当然，如果从课程特色的角度谈及高等代数研究问题的基本方法，则属于另一个层面上的问题，它表现在：严格的逻辑推理方法；公理化方法；矩阵方法；结构化方法（如线性空间及子空间）；等价分类方法等，这些方法较前面提到的方法更抽象，可以说代表了这门课程的思想方法。有些方法是需要通过读书和多做练习加以理解，以便在今后的研究中能熟练应用。高等代数中这两种不同层面的方法都是需要理解和掌握的。

数学思想的火花：代数理论的精妙解析与应用拓展 书名： 数论前沿：从基础原理到高级应用的探索 书籍简介 本书旨在为数学专业的学生、研究人员以及对数论领域有浓厚兴趣的读者，提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，探讨数论学科的核心理论、前沿进展及其在不同数学分支中的应用。内容聚焦于数论的基石，并逐步拓展到更复杂、更现代的主题，力求在理论的严谨性与应用的直观性之间取得完美的平衡。 第一部分：数论的基石与初探 本部分首先回顾了数论的经典基础，为后续的高级内容奠定坚实的基础。 第一章：整数环的结构与模运算的精妙 本章深入剖析了整数环 $mathbb{Z}$ 的基本代数结构，强调了整除性、素数的定义及其唯一分解定理的严格证明。我们将详细讨论模运算的性质，从最基础的同余关系出发，系统介绍中国剩余定理（CRT）的构造性证明及其在编码理论中的潜在意义。特别地，本章引入了高斯整数环 $mathbb{Z}[i]$ 和爱森斯坦整数环 $mathbb{Z}[omega]$，通过分析这些唯一分解整环（UFD）的性质，帮助读者理解整数环的特殊性，并为二次互反律的学习做好铺垫。我们将探讨欧几里得整环（Euclidean Domain）的概念，并论证 $mathbb{Z}$、$mathbb{Z}[i]$ 和 $mathbb{Z}[omega]$ 均属于此类，这为计算最大公约数（GCD）提供了算法基础。 第二章：初等解析数论：函数与渐近行为 本章将解析数论的工具引入视野。我们着重研究数论函数，如狄利克雷函数（$sigma_k(n), phi(n)$）、加性函数和完全积性函数。重点分析了狄利克雷卷积的性质，并利用其构建了莫比乌斯反演公式及其在函数关系转换中的应用。随后，我们将详细介绍著名的黎曼 $zeta$ 函数。在初等层面，本章展示了欧拉积公式的推导过程，并初步探讨了黎曼 $zeta$ 函数在描述素数分布中的核心作用。我们还会分析素数计数函数 $pi(x)$ 的性质，并讨论切比雪夫函数 $psi(x)$ 和 $ heta(x)$，为后续梅滕斯定理和更精确的素数定理奠定基础。 第二部分：代数数论的深化 第二部分是本书的核心，它将数论的视角提升到代数结构的高度，探讨代数数域中的整数性质。 第三章：代数数域基础 本章系统介绍了代数数、有理数域 $mathbb{Q}$ 上的有限扩张域 $K/mathbb{Q}$ 的概念。我们详细定义了域扩张的次数、极小多项式和代数整数。关键在于对域 $K$ 中“整数”——即代数整数环 $mathcal{O}_K$——的精确刻画。通过引入迹（Trace）和范数（Norm）的概念，本章探讨了 $mathcal{O}_K$ 的结构，并证明了它是 $mathbb{Z}$ 上的自由模，从而引出了环的判别式（Discriminant）的概念及其在判断域扩张性质中的重要性。 第四章：理想论与唯一分解的瓦解 这是本书最富挑战性也最富美感的部分之一。我们揭示了在一般的代数整数环 $mathcal{O}_K$ 中，素理想的分解性质与 $mathbb{Z}$ 中素数的唯一分解不一定保持一致。本章严格定义了理想（Ideal）的概念，并证明了 $mathcal{O}_K$ 是一个 Dedekind 环，这意味着其中的非零理想具有唯一因子分解性。我们将详细分析素数 $p in mathbb{Z}$ 在扩张域中如何分解为素理想：惰性（Inert）、分裂（Splitting）和分支（Ramification）。通过二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 的具体实例，读者将清晰地理解判别式与素数分解行为之间的深刻联系。 第五章：类群与类数 在 $mathcal{O}_K$ 中，由于因子分解的缺失，我们引入了等价类——理想类（Ideal Class）的概念，从而定义了代数数论中最重要的不变量之一：类群（Class Group）$Cl_K$。本章的重点在于证明类群是有限生成的阿贝尔群，并引入了类数 $h_K$。我们将详细讨论米尼奥特定理（Minkowski Bound）的构造性证明，该定理为计算类群的生成元集合提供了至关重要的工具，使得计算小域的类数成为可能。 第三部分：核心理论与应用拓展 本部分聚焦于数论中的核心工具——环论与类域论的先导，并探索了高次方程的丢番图性质。 第六章：二次互反律的代数路径 本章从更高深的视角重新审视二次互反律。我们不依赖于欧拉判别式或高斯和，而是利用二次域 $mathbb{Q}(sqrt{p})$ 中的理想分解，展示如何通过 $mathcal{O}_{mathbb{Q}(sqrt{p})}$ 的结构自然地导出二次互反律。本章详细讨论了勒让德符号和雅可比符号的性质，并首次引入了符号函数（Hilbert Symbol）的概念，作为连接局部场与全局场的重要桥梁。 第七章：费马大定理的代数数论背景 虽然本书不全面深入费马大定理的全部证明，但本章旨在提供其代数数论的起源和背景。我们将探讨费马大定理的库默尔（Kummer）尝试，重点分析在包含原 $n$ 次单位根的域 $mathbb{Q}(zeta_n)$ 中，理想分解的“良好”性质（即域的类数是否为一）。通过考察这些环的判别式和类数，读者将领略到代数数论在解决经典丢番图方程中所展现的强大威力。 第八章：局部与整体——Hasse 原理的启示 本章介绍了数论中“局部化”的思想，这对于理解丢番图方程的可解性至关重要。我们首先介绍了 $p$ 进数域 $mathbb{Q}_p$ 的构造和基本拓扑结构。随后，我们将重点阐述 Hasse 原理在二次型上的应用——即一个二次型在 $mathbb{Q}$ 上的解的存在性等价于其在所有 $mathbb{R}$ 和所有 $mathbb{Q}_p$ 上的解的存在性。本章通过实例展示了局部信息如何决定全局性质，这是现代数论的核心方法论之一。 结论 本书的结构旨在引导读者从基础的整数性质出发，逐步攀登代数数论的宏伟殿堂。通过对代数结构、理想理论和类群理论的深入剖析，读者不仅能掌握数论的核心工具，更能体会到数学思想跨越不同分支时的统一与和谐。本书的最终目标是培养读者用代数的眼光去审视数论问题，为进一步探索更高级的领域，如类域论、代数几何与数论的交叉点，打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

在我的高等代数学习生涯中，遇到过不少书籍，但《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》给我留下的印象尤为深刻。它并非一本包罗万象的百科全书，但其精炼的风格和对核心问题的聚焦，却使其独树一帜。我特别欣赏它在介绍环论时，那种“由浅入深”的处理方式。不像有些教材上来就抛出各种抽象定义，这本书从一些易于理解的例子入手，比如整数环、多项式环，然后逐步引入更复杂的概念，如主理想整环、唯一因子分解整环等。作者在讲解这些概念时，并没有回避理论的严谨性，但同时又巧妙地利用了“典型问题”来帮助读者建立直观的理解。例如，在讨论不可约元素和素元素时，作者给出了一些具体的例子，并引导读者去思考它们之间的关系，这种主动探索的过程，让我对这些概念的理解更加深刻。虽然这本书没有涉及代数数论的太多内容，但它为我理解代数数论中的一些基础概念打下了坚实的基础，这对我后续的学习起到了至关重要的作用。

评分☆☆☆☆☆

这本书在我看来，更像是一本“问题导向”的学习指南。很多时候，我们学习高等代数，感觉像是大海捞针，不知道从何下手。而《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》恰恰解决了这个问题。它通过精选那些能够代表高等代数核心思想的“典型问题”，引导读者逐步深入。我印象最深刻的是关于向量空间和线性变换的部分，作者没有仅仅停留在形式上的定义，而是通过大量的例子，展示了向量空间在几何上的直观意义，以及线性变换如何作用于这些空间。特别是关于线性算子的一些性质，比如可逆性、零空间、像空间等，通过书中精心设计的练习题，我能够更好地理解这些抽象概念的内涵。虽然它没有涉及概率论和数理统计中的很多具体应用，但其对线性代数中基础概念的深刻讲解，为我理解那些更高级的应用打下了坚实的基础。这本书的优点在于，它能够激发读者的探索欲，让你在解决一个又一个“典型问题”的过程中，不知不觉地掌握了高等代数的精髓。

评分☆☆☆☆☆

这本书对我来说，简直是一场智力上的冒险！我一直对抽象代数充满好奇，但又常常被那些看似晦涩难懂的定义和证明搞得晕头转向。《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》就像一位经验丰富的老向导，在我探索高等代数这片迷宫般的世界时，为我指明了方向。它不是那种枯燥乏味的教科书，而是通过精心挑选的“典型问题”，一步步引导读者深入理解那些抽象概念。我特别喜欢它处理群论部分的方式，那些关于群的同态和同构的例子，一开始让我觉得有点抽象，但作者通过一系列精心设计的练习题，让我从动手计算和构造中体会到了这些概念的精髓。特别是关于有限单群的分类，虽然原书没有深入探讨，但作者通过对一些重要子类群的介绍，让我对整个领域有了初步的认识，甚至激起了我进一步研究的兴趣。还有那些关于域扩张和伽罗瓦理论的章节，作者的讲解非常清晰，即使是复杂的定理，也能被拆解成易于理解的逻辑步骤。我感觉这本书不仅仅是在教我知识，更是在培养我的数学思维方式，让我学会如何分析问题、拆解问题，并找到解决问题的优雅途径。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学充满热情但又常感力不从心的学生，《高等代数中的典型问题与方法（第二版）》为我带来了极大的启发。这本书最吸引我的地方在于，它并不是简单地罗列定理和证明，而是致力于帮助读者掌握解决问题的“方法”和“思路”。我尤其喜欢它在讨论矩阵理论时，引入的那些“特殊矩阵”的分析。比如，对称矩阵、厄米特矩阵、正交矩阵等，作者通过分析它们的性质以及与特征值、特征向量之间的关系，让我对矩阵有了更深层次的理解。这些“典型问题”的选取，恰恰点出了高等代数中一些最核心、最常用的工具。我记得在学习二次型的时候，书中提供的化简方法，比我之前接触过的任何教材都要清晰和直观，让我能够轻松地处理各种复杂的二次型问题。虽然这本书在某些非常深入的领域，比如李群、李代数等，没有进行详细的阐述，但它所提供的扎实基础，无疑为我将来深入探索这些领域铺平了道路，让我充满了信心。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我当初买这本书的时候，主要是被它的书名所吸引，觉得“典型问题与方法”听起来就很实用，能够解决我学习高等代数时遇到的实际困难。事实证明，我的直觉是对的！这本书的确在很多方面都给了我巨大的帮助。我印象最深刻的是关于线性代数部分的讲解，尤其是特征值和特征向量的处理。很多教材只是简单给出定义和计算方法，但这本书通过大量的实例，展示了特征值和特征向量在不同场景下的实际应用，比如在量子力学中的一些初步概念，或者在图像处理中的降维技术。虽然这些应用在书中并没有进行深入的探讨，但它为我打开了新的视野，让我看到了抽象数学理论背后蕴含的强大生命力。此外，它在处理多项式环和理想时，也提供了一些非常巧妙的算法和思路，这对于我做一些计算性的研究非常有帮助。有时候，一道题可能看起来很复杂，但一旦掌握了书中介绍的方法，就能迎刃而解。这本书的优点在于，它不会让你感觉像是在啃一本晦涩的圣经，而是更像是在和一位循循善诱的导师交流，他知道你可能在哪里会遇到障碍，并提前为你准备好了解决方案。

评分☆☆☆☆☆

选题很好，还有大量练习，不愧是科学出版社的书，质量很高

评分☆☆☆☆☆

书还可以，挺好的

评分☆☆☆☆☆

GG

评分☆☆☆☆☆

GG

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

书的质量不错，挺好的。送货也挺快哦

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

书非常非常的好