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《新舟教育?数学花园探秘系列：数论篇》为新舟教育编写的小学奥数研究讲义。系统梳理数论各个基本知识点，题型全面，整除、质数与合数、完全平方数、奇偶性等。对于问题的剖析，由浅入深，易于理解，重视分析解题过程中需要注意的难点，总结方式方法，对小学生的奥数学习有极大的帮助。

内容简介

　　《新舟教育?数学花园探秘系列：数论篇》为新舟教育编写的小学奥数研究讲义。本书系统梳理数论各个知识点，包括整除、质数与合数、约数与倍数、余数、完全平方数、奇偶性等。本书还注意分析学生在学习过程中需要注意的难点。

　　《新舟教育?数学花园探秘系列：数论篇》将有助于学生学习相关的奥数问题。

作者简介

　　上海新舟教育自2010年成立，就聚集于小学奥数的教学，经过多年的发展，形成了完备的教材体系，形成了分层特别清晰的标准化教材，并在全国各地汇集了一线优秀的教师团队，教研实力享誉全国。

目录

上册

第一章进制与位值

1知识溯源

2奥数论坛

第一节计算规则

第二节进制转换

第三节进制的特性

第四节进制的应用

第五节位值原理

3奥数挑战

第二章整除

1知识溯源

2奥数论坛

第一节整除的定义

第二节整除的基本性质

第三节常见数的整除特性

第四节整除的基本原理

第五节整除的应用

3奥数挑战

第三章质数与合数

1知识溯源

2奥数论坛

第一节质数与合数的定义与性质

第二节质数的判断方法

第三节质数与合数的应用

3奥数挑战

第四章约数与倍数

1知识溯源

2奥数论坛

第一节约数、倍数的概念

第二节求一个数的约数

第三节最大公约数

第四节最小公倍数

第五节最大公约数与最小公倍数的常用性质

第六节约数与倍数的应用

3奥数挑战186

下册

第五章余数问题

1知识溯源

2奥数论坛

第一节带余数的除法

第二节余数的特征

第三节余数的消除

第四节余数定理

第五节余数的求法

第六节中国剩余定理

第七节费马小定理与欧拉定理在余数问题中的应用

3奥数挑战237

第六章完全平方数

1知识溯源

2奥数论坛

第一节完全平方数的定义和判定方法

第二节完全平方数尾数的性质

第三节完全平方数整除和余数的性质

第四节完全平方数的约数性质

第五节平方差公式

第六节平方和公式

3奥数挑战

第七章奇偶性

1知识溯源

2奥数论坛

第一节奇偶性的判断

第二节特殊的“0”

第三节奇偶性的应用

第四节奇偶性的构造

第五节图形中的奇偶性——一笔画问题

第六节多笔画问题

第七节一笔画的构造

第八节图形染色问题

第九节图形覆盖问题

3奥数挑战

精彩书摘

　　初等数论最大的特色是：极少的预备知识和定理，却演绎出千变万化的难题。这一点比几何还要明显，非常耐人寻味。其原因简单地说主要有二。首先，整数有无限多，这是最基本的，不能穷尽（欧氏几何其实已经被字母“有限化”了，这就是解析几何的思想，原则上每一个平面几何问题都是解方程组；而且我们遇到的，都是些“小”方程组，变量一般不超过七个），甚至出现了哥德尔定理：只要包含初等数论的相容体系，都是不完备的，也就是说，必然存在既不可判定对、也无法判定错的命题（哥德尔的工作还表明，数论中存在任意长的证明），其复杂程度远超平面几何。其次，就是在整数集中，加、减、乘是封闭的，而除法、开方等却不封闭，这就造成很大的限制，既是数论同代数的“分野”，也成为数论问题的源泉，很多灵活的构造题也因此而生。此外，作为数论基石的素数也很重要，偏偏它既不规则，又有无限多，如果它有规则，或者只有有限个，大量难题将不复存在，但数论的魅力也就大打折扣了。

前言/序言

　　序言

　　田廷彦

　　在奥数和培优班的教学中，初等数论一直占有独特地位。有位数学家甚至说：谁要是把一本初等数论的习题全部做出，就要鼓励他将来从事数学研究。不管将来是否从事数学，数论对于促进学生的逻辑思维能力、领悟数学之美感，具有难以替代的作用。此外，由于自然数是人类认识的最基本对象之一，自然也不会被忽略（有人开玩笑说，外星文明若是存在，也不可能忽略自然数研究）。正是这个共识，使得初等数论从小学、初中、高中竞赛乃至国际数学奥林匹克（IMO）中，都是命题的重中之重。

　　初等数论最大的特色是：极少的预备知识和定理，却演绎出千变万化的难题。这一点比几何还要明显，非常耐人寻味。其原因简单地说主要有二。首先，整数有无限多，这是最基本的，不能穷尽（欧氏几何其实已经被字母“有限化”了，这就是解析几何的思想，原则上每一个平面几何问题都是解方程组；而且我们遇到的，都是些“小”方程组，变量一般不超过七个），甚至出现了哥德尔定理：只要包含初等数论的相容体系，都是不完备的，也就是说，必然存在既不可判定对、也无法判定错的命题（哥德尔的工作还表明，数论中存在任意长的证明），其复杂程度远超平面几何。其次，就是在整数集中，加、减、乘是封闭的，而除法、开方等却不封闭，这就造成很大的限制，既是数论同代数的“分野”，也成为数论问题的源泉，很多灵活的构造题也因此而生。此外，作为数论基石的素数也很重要，偏偏它既不规则，又有无限多，如果它有规则，或者只有有限个，大量难题将不复存在，但数论的魅力也就大打折扣了。

　　在长期的教学过程中，我们发现不少同学难免地患有“数论恐惧症”，这正是因为：数论的预备知识极少，但题量却极为丰富，这导致学生难以掌握，思路阻塞。这也难怪，有的问题的关键思路非常隐蔽：如正整数A整除B，则A不大于B，这条连马路上的人都毫无困难地理解的结果，却隐藏在很多难题的解法里，一旦没有想到，就会成为困扰，苦苦无法解决。所以，我们在数论学习中，切记不能忘记那些所谓的“显然结论”，毕竟，“显然结论”的用处并不显然！

　　那么，如何提高学习数论的水平呢？这个从大道理来说，便是“熟能生巧”，这落实到具体问题上却不是废话。

　　我的答案之一是：选择比较好的书进行阅读也是有用的。

　　奥数在中国发展30多年，也有很多优秀的作品问世。奥数书大体可分为两类：一种是习题集，以《中等数学》及几套国内外的奥数问题集为代表；一种是讲义或讲座，其分类方式是按知识点和年级分（当然，也有综合的）。

　　前者往往是资料的堆积，当然，由于这些奥数问题大都不简单，如果能够解答或翻译准确，也是件花费很多功夫的事情，而且资料越新越有价值。后者的特色是系统性较强，作者的创造性劳动更显突出，但如果因循守旧，拿一些已出讲义的目录搬过来做些小改，也不是什么难事。因此，编写讲义弹性极大——有的敷衍了事，有的则精益求精。

　　讲义适合初学者和入门者，而光看习题集就能提高自己的，也只能是少数高手了。因此，好的讲义的读者面更为广阔。

　　我见过、买过大量优秀的奥数著作，这本书是笔者以为近年来很出色的数论讲义。

　　当我看到目录时，就为之惊叹。即使进位制的问题多多，但能做出如此细致的目录和分类，我还是头一次看到。除了常见的十进制、二进制，还有混合进制，以及不同的位采用不同的进位制——对称三进制、黄金进制等；进位制的应用中还包括抽杀、游戏、体育比赛中的应用，真是让人大开眼界！这是多少年的积累才能达到的程度啊！我甚至觉得自己若是拿到此书，也应该好好学一学。

　　本书就是要作这样的试探，比如探索一些题型，研究一些比较常见的解题思路。而且，作为小学算术的衔接和提升，初等数论与算术、初中代数乃至几何都有千丝万缕的关系，其平台和门槛较低，由浅入深，而且不乏一些较为有趣然而并不简单的故事。

　　本书将分成几大板块，每一板块都会重点介绍一些概念、例题和方法，形式比较活泼。同时，本书也具有相当的实用性，尽力搜集了范围内的各种典型问题，同类题采取聚类方式，并作简短而不平凡的提示，让学生可以较为轻松地举一反三，达到事半功倍的效果。

　　本书一个不可不提的特点是，新题量大并兼顾老题。数论是一个永远没有穷尽的领域，写书也必然要与时俱进。经过30多年的演变，奥数不仅在问题上推陈出新，在系统性的讲义上，也终于进化到臻于完美的地步。

　　希望读者能通过本书改变对数论的看法，不仅让“脑洞”大开，切切实实提高自己的水平，而且能热爱数论，体会数论之灵活多变和精美绝伦。

　　目前，大家关于奥数和奥数热有很多争议，有很多人对待奥数的态度失之偏颇。在此，我也提一下自己的看法，也许对选择奥数的家长和孩子有益。当然，那些大家耳熟能详、老生常谈的东西就不多说了。

　　对于人的改造，向来有三种观点，一种是理性改造派，也就是我们学校里通常的教育，数学教育是其核心之一。因为数学及物理是理性精神最强大也是最具体的支撑（后面会提到，反理性主义者特别痛恨数学，其主要原因还不是数学在日常生活中“无用”，而是数学暴露了他们的无知和局限，需要他们低下高傲的头，虚心学习，与他们“世界之大，唯我独尊”的观念相抵触），历史上的大教育家，如柏拉图乃至孔夫子基本上都算是理性改造派，认为通过理性获得知识，修身养性，可以达到更高的自由。一种是非理性改造派，即通过宗教仪式或内省的方式，而不是逻辑推理或实验的方式，来获得所谓的解脱、提升、无我境界。第三种就是反理性主义一派，主张有我，拒绝改造，自由散漫，不知天高地厚。这一派可谓风靡20世纪，影响力一直持续到今天。反理性主义有它荒谬的一面，但它也有强有力的“法宝”：指责古人虚伪——“明知不可为而为之”，“无我”也似乎是不可能的。

　　现在的人当然不可能抛弃历史包袱，所以在多方面都有所传承。人们在小时候比较听话，对世界充满好奇，较易接受理性改造；过了青春期之后的几十年里，人们更倾向于反理性主义，因为这段时间他最为强大和独立;到了年老多病时，人们才容易意识到自己是如此地不堪一击甚至微不足道，这个时候就有人笃信宗教、多做善事，亦不再锋芒毕露，不再盛气凌人，继而成为非理性改造派。

　　起源于17世纪的理性主义和风靡20世纪的反理性主义，当然会有一番长时期的、此消彼长的较量。这同样反映到每一所学校、每一个家庭、每一个人身上。现在的老师或家长拼命叫孩子读这读那，难道他们自己年轻的时候就不曾叛逆、不曾贪玩？

　　在孩子很小的时候，家长都认为他们是天才，这也是典型的反理性主义。奥数是一种精英主义教育，多数人不是精英，当然学得嗷嗷叫了。做不出题、比不过别人，就说奥数无聊，却从不怀疑自己的孩子究竟是不是擅长这方面——是的，一切自欺都很难被意识到。

　　现在鼓吹个性，这往往被人误解为对精英主义的否定。其实这又是何必？体育不是把大众（参与）和精英（金银牌）结合得很好么？

　　许多人因为数学抽象难懂便敬而远之，有几个文人不仅“远之”而且不敬，一有机会就说数学的坏话。他们的理由不是数学难、繁之类，而是后现代主义情境下对理性的否定，和对“个性”的无限张扬。其实何止是数学，所有合乎理性、有循规蹈矩嫌疑的东西都可能受到他们的一顿臭批，但是他们犯了一个“天大”的错误——他们对理性的判定和谩骂本身就需要理性和逻辑，如果连这个都不要，何来自由与个性？难道他们生病不上医院？或者因为CT包含数学原理就拒绝检查？也许他们心里也清楚得很，只是说些惊世骇俗的话来夺人眼球，也为自己学习数学的这段不堪经历而泄愤罢了。至于那些“附和”他们的人，究竟是纯粹凑凑热闹，还是真的相信他们的不负责的言语，便不得而知了。

　　自由个性其实是生活、政治哲学的范畴，也就是说我们应该去否定、冲破三从四德，在穿着打扮上可以个性化一点，可以自我一点；但是，在学术范畴，特别是数学自然科学范畴，精英还是要存在、要强调（这是选拔的重要途径）的，我们不能因为太自信了，就随随便便去跟国际数学奥林匹克（IMO）国家队甚至牛顿、爱因斯坦比！

　　近十年来的科学与后现代之争，其实也可以看成对精英主义的对立态度之争。社会现在已走向两极，一是实证主义的强大力量，导致社会的考证热、竞赛热；一是消费主义、娱乐至上。我不喜欢两种极端并存，觉得中庸之道比较合理。但或许这是我理解的错误，社会可能本来就是各种极端的组合，我们需要培养的，仅仅是中庸的心态。

　　周围有很多人自得其乐，很知足，其实主要是得不到。他们读的都是休闲类读物，这对于一些人来说就足够了。但我至今未见过一个拼命自学代数拓扑的人仅仅要求自得其乐就可以了！奥数也一样，需要花费极大的功夫，多少同学为此起早摸黑。你见过这类人仅仅在自得其乐吗？

　　理性主义、精英主义起源于古希腊。古希腊之所以伟大，乃是因为它明确提出了一种哲学，与专制主义（皇权、神权等）彻底分离开来。世界其他古代文明也有这样的思想，但在古希腊结的果实最为丰硕。古希腊人对真理、对人的独立精神、对艺术和体育之美的追求，是为人类作出的伟大贡献，这就是精英主义与奥林匹克精神。在古代中国，科举制度归根结底还是专制主义的附庸。

　　文艺复兴时期，人们重新认识了精英主义。到近代，奥运会也开始重新举办。不过到了后现代主义风行的时代，人们把专制主义和精英主义一块儿否定，认为它们束缚了大多数人的自由空间。为了追求所谓的真实，后现代主义有一种趋向彻底反叛任何秩序、规矩、理性的味道。

　　精英主义确实也有点问题。绝大多数人之所以选择功利主义而不是精英主义，是因为他们很难成为精英；而选择功利主义，或多或少可以实现全部或部分理想。

　　但是，这真是一个悖论。奥数如果真的走精英主义道路，它的范围是不会如此之大的，正是由于功利主义才产生了今天的局面，才会树大招风。功利主义是这个世界上影响最广的人生价值观念。道理很简单，人活在世上，离不开衣食住行，人首先关心的必定是生存，即对物质和生的欲望。注意，这里的物质的含义是广泛的，不仅包括财产，还包括权力等，也就是说，不仅仅是那些看得见摸得着的东西。这概括了物质更本质、更深刻的特性：强烈的排他性，不能分享，你有我无，你多我少。但是，如果没有强烈的排他性，还会有竞争吗？

　　当代功利主义，是对过去的理性主义、精英主义以及反理性主义、娱乐社会矛盾的综合利用。中国式奥数热或许有它自身的不完善之处，还需要进一步完善，但它存在的合理性是毋庸置疑的。或者说，它的问题不在于功利性，而在于功利的程度。功利主义是一扇大门，大张旗鼓地把大家拉进来，这是它的功劳，你需要看到的，是门内的另一种风景。

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