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刘强 著

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• 高等数学
• 数学竞赛
• 强化训练
• 大学教材
• 数学分析
• 线性代数
• 概率论
• 历年真题
• 解题技巧
• 考研数学

出版社： 电子工业出版社

ISBN：9787121311284

版次：1

商品编码：12171554

包装：平装

丛书名： 普通高等数学工科类·经管类数学深化训练与考研辅导丛书

开本：16开

出版时间：2017-04-01

用纸：胶版纸

页数：384

字数：620000

正文语种：中文

编辑推荐

适读人群 ：本书可作为高等院校教师高等数学配套教学参考书或高等数学提高班讲义，还可作为报考硕士研究生和参加数学竞赛人员的参考资料。

本书作者是数学领域的专家，指导学生参加数学竞赛多次获奖。本书是在作者多年积累的基础上形成的。不仅涵盖了基础知识点，更是枚举了典型例题，给出不同解法，给读者启发和思考，提升读者解决问题的能力！一本不错的好书，值得推荐！

内容简介

本书是作者多年来在大学生数学竞赛辅导和考研辅导经验的基础上编写而成的．全书共分为13 章，每章包括4 个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练以及深化训练详解．本书编写的目的主要有两个：一是帮助工科类、经管类本科生备考全国大学生数学竞赛，使学生能够在短时间内迅速掌握各种解题方法和技巧，提升学生综合分析问题、解决问题的能力；二是为了满足工科类、经管类本科生考研的需要. 在例题和习题选编方面，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题、习题的创新，按题型分类进行合理编排，使学生能够尽快地适应考研题型，从容应对考试.本书既可以作为普通高等院校工科类、经管类本科生参加全国大学生数学竞赛的辅导用书，也可以作为工科类、经管类本科生考研深化训练用书．

作者简介

刘强 博士，教授，博士生导师，现任首都经济贸易大学统计学院副院长，兼任全国工业统计学教学研究会常务理事及常务副秘书长，北京应用统计学会常务理事，中国商业经济学会经济数学研究分会常务理事，北京大数据协会理事等；先后入选北京市中青年骨干人才，北京市优秀人才，北京市中青年拔尖人才等。长期从事高等教育教学、考研数学、数学竞赛、经济数据分析、复杂数据分析等方面的教学、科研工作。

目录

目 录

第1章 函数 1
1．1 知识要点 1
1．1．1 函数 1
1．1．2 常用不等式 1
1．1．3 反函数 2
1．1．4 复合函数 2
1．1．5 关于函数表达式的求解 2
1．1．6 一些常用的三角公式 2
1．1．7 一些常用的代数公式 3
1．2 典型例题分析 4
1．2．1 题型一、函数表达式的求解与证明 4
1．2．2 题型二、复合函数问题 6
1．2．3 题型三、函数的四种几何特性 7
1．3 深化训练 9
1．4 深化训练详解 10
第2章 极限与连续 12
2．1 知识要点 12
2．1．1 极限的概念与性质 12
2．1．2 无穷小量与无穷大量 13
2．1．3 四个极限存在准则与两个重要极限 14
2．1．4 几个重要的结论 15
2．1．5 施笃兹（O．Stolz）定理 15
2．1．6 柯西（Cauchy）定理 15
2．1．7 关于函数的连续性 16
2．1．8 求极限的常用方法 16
2．2 典型例题分析 16
2．2．1 题型一、利用极限的分析定义求极限 16
2．2．2 题型二、利用初等变换方法求极限 18
2．2．3 题型三、利用四个极限存在准则求极限 19
2．2．4 题型四、利用施笃兹定理求极限 22
2．2．5 题型五、利用两个重要极限求极限 23
2．2．6 题型六、利用等价无穷小量替换求极限 24
2．2．7 题型七、利用中值定理求极限 25
2．2．8 题型八、利用定积分的定义求极限 28
2．2．9 题型九、函数的连续性问题 29
2．2．10 题型十、连续函数的等式证明问题 32
2．3 深化训练 33
2．4 深化训练详解 36
第3章 导数与微分 44
3．1 知识要点 44
3．1．1 导数的概念 44
3．1．2 导数的几何意义 44
3．1．3 高阶导数 45
3．1．4 复合函数的求导法则 45
3．1．5 反函数求导法则 45
*3．1．6 参数方程所确定的函数的导数 46
3．1．7 几个重要的结论 46
3．1．8 达布（Darboux）定理 46
3．2 典型例题分析 46
3．2．1 题型一、导数的定义问题 46
3．2．2 题型二、反函数、复合函数求导问题 48
3．2．3 题型三、导数的几何意义 49
3．2．4 题型四、利用导数的定义求极限 50
3．2．5 题型五、分段函数的导数问题 51
3．2．6 题型六、高阶导数问题 51
3．2．7 题型七、隐函数的求导问题 54
3．2．8 题型八、导数的等式证明问题 54
3．2．9 题型九、导函数的连续性问题 55
*3．2．10 题型十、导数的参数方程问题 56
3．2．11 题型十一、导数的综合问题 57
3．3 深化训练 58
3．4 深化训练详解 60
第4章 微分中值定理 64
4．1 知识要点 64
4．1．1 中值定理 64
4．1．2 一些常用的麦克劳林公式 65
4．1．3 一些常用的结论或公式 66
4．2 典型例题分析 66
4．2．1 题型一、利用中值定理证明等式问题 66
4．2．2 题型二、利用中值定理证明不等式问题 69
4．2．3 题型三、利用中值定理证明恒等式 73
4．2．4 题型四、函数的零点、方程的根的问题 74
4．2．5 题型五、利用泰勒公式求极限 75
4．2．6 题型六、利用泰勒公式证明等式 80
4．2．7 题型七、利用泰勒公式证明不等式 80
4．2．8 题型八、泰勒公式的其他应用 82
4．3 深化训练 82
4．4 深化训练详解 84
第5章 导数的应用 89
5．1 知识要点 89
5．1．1 洛必达法则 89
5．1．2 函数的单调性 89
5．1．3 函数的极值与最值 89
5．1．4 曲线的凹凸区间与拐点 89
5．1．5 曲线的渐近线 90
5．1．6 函数图形的描绘 90
*5．1．7 曲率、曲率圆与曲率半径 90
5．2 典型例题分析 91
5．2．1 题型一、洛必达法则的应用 91
5．2．2 题型二、利用单调性或极值证明不等式 94
5．2．3 题型三、函数的极值问题 96
5．2．4 题型四、函数的零点、方程的根的问题 99
5．2．5 题型五、凹凸性问题 100
5．2．6 题型六、渐近线问题 100
5．2．7 题型七、函数图形的描绘 102
5．2．8 题型八、方程的近似解 102
*5．2．9 题型九、曲率问题 103
5．3 深化训练 104
5．4 深化训练详解 105
第6章 不定积分 113
6．1 知识要点 113
6．1．1 不定积分的定义与性质 113
6．1．2 换元积分法 113
6．1．3 分部积分法 114
6．1．4 有理函数的积分法 114
6．1．5 三角函数有理式的积分法 114
6．1．6 简单无理函数的积分法 115
6．1．7 常用积分公式表 115
6．2 典型例题分析 116
6．2．1 题型一、利用换元法、分部积分法求解不定积分 116
6．2．2 题型二、利用等式求解不定积分 120
6．2．3 题型三、利用三角替换方法求解不定积分 121
6．2．4 题型四、求解三角有理函数的不定积分 123
6．2．5 题型五、递推公式问题 124
6．2．6 题型六、分段函数问题 125
6．2．7 题型七、隐函数的积分 126
6．3 深化训练 126
6．4 深化训练详解 128
第7章 定积分 134
7．1 知识要点 134
7．1．1 定积分的概念 134
7．1．2 定积分的基本性质 135
7．1．3 积分中值定理 135
7．1．4 变上限积分函数 136
7．1．5 定积分的计算 136
7．1．6 反常积分（或广义积分） 136
7．1．7 函数 137
7．1．8 定积分的应用 137
7．1．9 几个重要的结论 139
7．2 典型例题分析 140
7．2．1 题型一、定积分的求解 140
7．2．2 题型二、 变限积分问题 141
7．2．3 题型三、积分不等式问题 142
7．2．4 题型四、积分等式问题 146
7．2．5 题型五、反常积分问题 148
7．2．6 题型六、积分的应用问题 149
7．2．7 题型七、定积分的其他问题 153
7．3 深化训练 156
7．4 深化训练详解 158
第8章 多元函数微分学 166
8．1 知识要点 166
8．1．1 二元函数的极限与连续性 166
8．1．2 偏导数 166
8．1．3 高阶偏导数 167
8．1．4 全微分 168
*8．1．5 方向导数与梯度 168
8．1．6 多元复合函数微分法 169
8．1．7 隐函数微分法 169
8．1．8 多元函数的极值 169
8．1．9 条件极值与拉格朗日乘数法 170
8．1．10 多元函数的最值 170
8．2 典型例题分析 170
8．2．1 题型一、多元函数的极限与连续问题 170
8．2．2 题型二、偏导数的概念问题 172
8．2．3 题型三、多元函数的全微分问题 174
*8．2．4 题型四、多元函数的方向导数和梯度的求解 176
8．2．5 题型五、多元函数的复合求导与隐函数求导问题 177
8．2．6 题型六、多元函数的极值和最值问题 183
8．2．7 题型七、多元函数微分学的综合问题 185
8．3 深化训练 187
8．4 深化训练详解 189
第9章 多元函数积分学 192
9．1 知识要点 192
9．1．1 二重积分的概念 192
9．1．2 二重积分的性质 192
9．1．3 直角坐标系下二重积分的计算 193
9．1．4 极坐标系下二重积分的计算 193
9．1．5 二重积分的对称性原理 194
*9．1．6 二重积分的换元公式 194
*9．1．7 三重积分的概念 195
*9．1．8 三重积分的计算 195
*9．1．9 三重积分的换元法 196
*9．1．10 三重积分的对称性原理 196
9．2 典型例题分析 197
9．2．1 题型一、二重积分的概念与性质问题 197
9．2．2 题型二、二重积分的基本计算方法 198
9．2．3 题型三、分段函数的二重积分 200
9．2．4 题型四、利用对称性原理计算二重积分 201
9．2．5 题型五、二重积分的换元积分法 205
9．2．6 题型六、二重积分的应用问题 206
9．2．7 题型七、二重积分的相关证明 207
9．2．8 题型七、二重积分的综合问题 209
*9．2．9 题型八、三重积分的性质与计算 214
9．3 深化训练 218
9．4 深化训练详解 220
第10章 常微分方程 224
10．1 知识要点 224
10．1．1 微分方程的基本概念 224
10．1．2 一阶微分方程的解法 224
10．1．3 可降阶的二阶微分方程 225
10．1．4 二阶线性微分方程解的结构 226
10．1．5 二阶常系数线性微分方程的解法 226
*10．1．6 高阶线性微分方程 227
*10．1．7 欧拉方程 227
10．2 典型例题分析 228
10．2．1 题型一、可分离变量微分方程与齐次微分方程的求解 228
10．2．2 题型二、一阶线性微分方程与伯努利方程的解法 229
10．2．3 题型三、全微分方程的解法 231
10．2．4 题型四、可降阶的二阶微分方程的解法 232
10．2．5 题型五、二阶线性微分方程解的结构 233
10．2．6 题型六、二阶常系数线性微分方程的解法 234
10．2．7 题型七、微分方程的综合问题 237
*10．2．8 题型八、微分方程建模问题 242
10．3 深化训练 245
10．4 深化训练详解 247
第11章 无穷级数 252
11．1 知识要点 252
11．1．1 数项级数的定义与性质 252
11．1．2 级数敛散性的判别 253
11．1．3 三个重要的级数 254
11．1．4 函数项级数的概念 254
11．1．5 幂级数的有关概念 255
11．1．6 幂级数的和函数的性质 255
11．1．7 初等函数展开成x?x0的幂级数 256
*11．1．8 函数项级数的一致收敛性及性质 256
*11．1．9 傅里叶级数 257
11．2 典型例题分析 259
11．2．1 题型一、正项级数敛散性的判定 259
11．2．2 题型二、任意项级数敛散性的判定 265
11．2．3 题型三、函数项级数收敛域的求解 268
11．2．4 题型四、级数收敛充要条件的应用 269
11．2．5 题型五、求解数项级数的和 273
11．2．6 题型六、幂级数收敛半径及收敛域的求解 276
11．2．7 题型七、求解幂级数的和函数 278
11．2．8 题型八、函数的幂级数展开 283
*11．2．9 题型九、傅里叶级数的相关问题 286
11．2．10 题型十、无穷级数的应用问题 287
11．3 深化训练 288
11．4 深化训练详解 291
*第12章 空间解析几何与向量代数 302
12．1 知识要点 302
12．1．1 向量的概念及线性运算 302
12．1．2 平面方程及其相关概念 303
12．1．3 直线及其表示 303
12．1．4 曲面及其表示 304
12．1．5 空间曲线 304
12．2 典型例题分析 305
12．2．1 题型一、向量的运算问题 305
12．2．2 题型二、空间直线、平面方程的求解 305
12．2．3 题型三、讨论直线与平面的位置关系 307
12．2．4 题型四、旋转曲面方程的求解 308
12．2．5 题型五、空间曲线、曲面问题 309
12．3 深化训练 310
12．4 深化训练详解 311
*第13章 曲线积分与曲面积分 313
13．1 知识要点 313
13．1．1 第一类曲线积分的概念及计算 313
13．1．2 第二类曲线积分的概念及计算 314
13．1．3 格林公式及其应用 315
13．1．4 第一类曲面积分的概念与计算 315
13．1．5 第二类曲面积分的概念与计算 316
13．1．6 高斯公式与斯托克斯公式 318
13．2 典型例题分析 319
13．2．1 题型一、第一类曲线积分的求解 319
13．2．2 题型二、第二类曲线积分的求解 319
13．2．3 题型三、格林公式的应用 322
13．2．4 题型四、第一类曲面积分的求解 328
13．2．5 题型五、第二类曲面积分 的求解 332
13．2．6 题型六、高斯公式的应用 332
13．2．7 题型七、斯托克斯公式的应用 335
13．2．8 题型八、曲线、曲面积分的实际应用 336
13．3 深化训练 338
13．4 深化训练详解 340
第二十四届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类） 348
第二十五届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类） 350
第五届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类） 352
第六届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类） 353
第二十四届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类）解答 354
第二十五届北京市大学生数学竞赛试题
（经济管理类）解答 358
第五届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）解答 363
第六届全国大学生数学竞赛预赛试题
（非数学类）解答 368
参考文献 372

前言/序言

前 言

为了让学生更好、更快地掌握所学知识，同时结合工科类、经管类本科生参加数学竞赛和报考研究生的需要，应电子工业出版社的邀请，我们编写了高等院校工科类、经管类数学深化训练与考研辅导丛书. 该丛书包括《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》、《高等数学复习指导与深化训练》、《微积分复习指导与深化训练》、《线性代数复习指导与深化训练》和《概率论与数理统计复习指导与深化训练》等辅导教材，由首都经济贸易大学的刘强教授担任丛书主编.

本书为《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》分册. 自1988年第一届北京市大学生数学竞赛举办以来，到现在北京市数学竞赛已经成功举办了27届，每年的数学竞赛都吸引了北京各大高校众多优秀学生积极参与．北京市数学竞赛也由最初单一的非理科数学竞赛演化到现在包括数学专业、非数学专业、经济管理类，以及高职高专类多层次、多类别的大型赛事.值得一提的是，自2010年首届全国大学生数学竞赛举办以来，到现在已经成功举办了7届，全国数学竞赛的推出进一步加快了我国大学生数学竞赛的发展，极大地激发了大学生的数学学习热情，一方面数学竞赛提高了学生的数学学习质量，另一方面也为学生以后参加考研打下了坚实的数学基础．

本书编写的主要目有两个：一是为了满足工科类、经管类本科生参加数学竞赛的需要；二是为了满足工科类、经管类学生考研深化训练的需要.在例题和习题选编方面，作者结合多年来数学竞赛辅导和考研辅导经验，精选了部分有代表性的数学竞赛真题和考研真题，同时注重例题习题的创新，并进行合理编排，使学生能够尽快地适应数学竞赛与考研，从容面对考试.关于教材的定位，从数学竞赛的角度来看，本教材主要是针对工科类（非数学专业）和经管类大学生数学竞赛而编写的；从考研的角度来看，本教材能够满足数学一和数学三高等数学备考的需要.

全书共分为13章，每章包括4个模块，即知识要点、典型例题分析、深化训练、深化训练详解．具体模块内容为：

1．知识要点 本模块对基本概念、基本理论、基本公式等内容进行系统梳理，方便读者查阅相关内容．

2．典型例题分析 本模块创新性地构思了大量有代表性的例题，并选编了部分国内外优秀教材、辅导资料的经典题目，汇集了一些有代表性的数学竞赛真题，按照知识结构、解题思路、解题方法等脉络对典型例题进行了系统归类，通过专题讲解，详细阐述了相关问题的解题方法与技巧．

3．深化训练 本模块精心选编了部分具有代表性的习题以及历年的数学竞赛、考研真题，帮助读者巩固强化所学知识，提升读者学习效果，做到融会贯通和举一反三．

4．深化训练详解 本模块对深化训练部分给出了详细的解答过程，部分习题给出多种解法，以开拓读者的解题思路，培养读者的分析能力和发散思维．

本书的第1～4章由刘强编写，第5～7章由姜玉英编写，第8～10章由陶桂平编写，第11～13章由梅超群编写，最后由刘强负责统一定稿.

本书在编写过程中，得到了北京工业大学程李高荣教授，北京工商大学曹显兵教授，北方工业大学刘喜波教授，首都经济贸易大学张宝学教授、马立平教授、任韬副教授，昆明理工大学吴刘仓教授，北京化工大学李志强副教授，中央财经大学贾尚晖教授，以及首都经济贸易大学聂力副教授、范林元博士等同事的大力支持，电子工业出版社高教分社的谭海平社长也为丛书的出版付出了很多的努力，在此表示诚挚的感谢．

本书可以作为工科类（非数学专业）、经管类数学竞赛的教材，也可以作为高等数学考研的参考用书，同时也可以作为本科生高等数学后继提高课程的教学用书.

为了便于读者学习，工科类要求而经管类不要求的内容用“*”标出；难度较大的题目用“**”标出，初学者可以先略过该内容.

由于作者水平有限，书中仍可能存在不妥甚至错误之处，恳请读者和同行不吝指正. 意见请发至邮箱：cuebliuqiang@163.com.

作 者

2017年3月

《探索数学的深度：微积分、线性代数与概率统计的融汇与应用》 图书简介 本书旨在为高等数学学习者提供一个系统、深入的学习框架，特别针对有志于在数学领域进一步深造或参与数学竞赛的大学生。我们不局限于单科的知识点讲解，而是着重于融汇微积分、线性代数以及概率统计三大核心数学分支，揭示它们之间的内在联系，并展现其在解决复杂问题中的强大力量。全书内容编排紧凑，知识体系严谨，旨在帮助读者构建扎实的数学基础，提升数学思维能力，为应对更高级的数学挑战打下坚实根基。 第一部分：微积分的精深探索 微积分是现代科学的基石，本书将从基本概念出发，逐步深入到高阶理论与技巧。 函数与极限的升华： 我们将回顾函数的连续性、间断点等基本概念，但重点将放在对各种特殊函数（如 Gamma 函数、Zeta 函数、特殊积分定义函数等）的性质分析，以及它们在复杂分析中的应用。极限部分将深入探讨无穷小与无穷大的比较、等价无穷小替换的技巧，以及利用洛必达法则求解高难度极限问题。此外，我们将介绍一些非初等函数的泰勒展开及其在近似计算中的应用。 导数的深度挖掘： 除了求导的基本规则，本书将重点解析导数在分析函数性质（单调性、凹凸性、极值、拐点）之外的应用。我们将详细讲解曲线的曲率、渐近线的确定，以及隐函数求导、参数方程求导在几何问题中的应用。对于高阶导数，我们将深入探讨其在泰勒展开、微分中值定理推广（如柯西中值定理、罗尔定理的推广形式）中的作用，以及它们在误差分析中的重要性。特别地，我们将介绍微分方程的初步概念，以及如何利用导数信息来理解和求解一些简单微分方程。 积分的广阔视野： 定积分的应用将从计算面积、体积等基本问题，拓展到曲线的弧长、曲面面积、旋转体体积的计算。不定积分部分，我们将系统梳理各种积分技巧，包括换元积分法、分部积分法、有理函数积分、三角有理式积分等，并提供大量具有挑战性的练习。定积分的核心部分将是定积分的性质、估值方法，以及黎曼积分的严格定义与敛散性判别。更重要的是，我们将引入瑕积分（广义积分）的概念，并深入探讨其敛散性的判别方法，以及瑕积分在物理学和工程学中的应用（例如，理解能量、功的计算）。重积分（二重积分、三重积分）的讲解将从概念出发，重点在于区域的划分、坐标系的变换（包括极坐标、柱坐标、球坐标）以及重积分在计算体积、质量、质心等问题中的应用。曲线积分和曲面积分将作为微分学在空间中的自然延伸，我们将讲解其基本概念、计算方法，并重点介绍格林公式、高斯公式、斯托克斯公式，揭示它们在向量场分析（如环量、通量）中的核心作用，以及这些公式在物理学（如电磁学、流体力学）中的深刻内涵。 级数与收敛性的探究： 数项级数的部分，除了等比级数、幂级数的收敛性判别，我们将深入探讨交错级数、条件收敛与绝对收敛的区别，以及阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等高级判别法。函数项级数及其一致收敛的概念将是重点，这将是理解函数序列和函数项级数统一收敛性与可微性、可积性转换的基础。我们将详细讲解幂级数、傅里叶级数的概念、性质和收敛性，特别是傅里叶级数在表示周期函数、信号处理等领域的巨大价值。 第二部分：线性代数的严谨推演 线性代数是描述多维空间和线性关系的语言，本书将从基本概念出发，强调其结构性和应用性。 向量空间与线性变换的本质： 我们将不仅仅停留在二维、三维向量的直观理解，而是深入抽象的向量空间概念，包括线性无关、基、维度等核心概念。对线性映射（线性变换）的理解将是重点，我们将深入分析其核（零空间）与像（值域）的性质，以及它们与矩阵的关系。 矩阵的深刻洞察： 除了矩阵的加减乘除、求逆等基本运算，本书将重点解析矩阵的秩、行列式、迹等重要性质。我们将详细讲解矩阵的初等行变换及其在求解线性方程组、求逆矩阵、求秩等问题中的作用。对相似矩阵、合同矩阵、正交矩阵等特殊矩阵的性质分析将是重点，它们在坐标变换、降维等问题中扮演着关键角色。 方程组与解空间的探索： 对于线性方程组，我们将深入探讨其解的存在性判别（通过系数矩阵和增广矩阵的秩来判断），以及解空间的结构（齐次线性方程组的解空间是向量子空间）。我们将详细讲解高斯消元法、克拉默法则等求解方法，并重点分析当方程组无解或有无穷多解时的情况。 特征值与特征向量的意义： 特征值与特征向量是理解线性变换如何“拉伸”或“压缩”向量的关键。我们将详细讲解如何求解特征值和特征向量，并深入探讨其在矩阵对角化、二次型化简、稳定性分析以及降维技术（如主成分分析）中的应用。 行列式的精妙计算与应用： 除了代数余子式展开等基本方法，我们将重点介绍行列式在几何中的意义（如体积的缩放因子），以及它在求解线性方程组（克拉默法则）和判断矩阵可逆性中的作用。 第三部分：概率统计的严密构建 概率统计是处理不确定性信息的工具，本书将从基本概念出发，强调其严谨性和应用场景。 随机事件与概率的量化： 我们将深入理解概率公理，并重点掌握古典概型、几何概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式等概念及其在实际问题中的应用。对独立事件的理解以及独立事件的性质分析将是重点。 随机变量及其分布的洞察： 离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布（概率质量函数、概率密度函数）的计算和分析是核心。我们将详细讲解期望、方差、标准差等基本概念，以及它们在衡量随机变量集中趋势和离散程度方面的意义。我们将深入探讨各种常见概率分布，如二项分布、泊松分布、几何分布、均匀分布、指数分布、正态分布等，并分析它们的性质和应用场景。 多维随机变量的分析： 联合分布、边缘分布、条件分布的概念和计算是关键。我们将重点理解协方差和相关系数，以及它们在衡量两个随机变量线性关系强弱方面的作用。 统计推断的基石： 样本与总体的关系是统计推断的基础。我们将重点讲解抽样分布（如样本均值的分布、样本方差的分布），以及中心极限定理和各种统计分布（如t分布、卡方分布、F分布）在统计推断中的重要性。点估计和区间估计的概念、方法（如矩估计法、最大似然估计法）以及置信区间的构造和解释将是重点。假设检验的原理、步骤（构造检验统计量、确定拒绝域、计算P值）以及各种常见假设检验（如均值检验、比例检验、方差检验）的应用将是核心内容。 回归分析与模型构建： 简单线性回归和多元线性回归的原理、参数估计、模型检验以及预测将是重点。我们将介绍回归方程的意义，以及如何利用统计学方法来分析变量之间的关系并进行预测。 融汇与应用 本书最大的特色在于对三大数学分支的融汇贯通。我们将通过一系列精心设计的综合性问题，展示微积分、线性代数和概率统计如何相互促进，共同解决更复杂的问题。例如： 利用微积分和线性代数分析多元函数的最优化问题： 结合梯度下降法、Hessian矩阵等概念。 运用概率统计和线性代数进行数据分析和建模： 例如，主成分分析（PCA）结合了线性代数的特征值分解和概率统计的方差解释。 结合微积分和概率统计分析随机过程： 例如，随机微分方程的初步介绍。 学习目标 通过本书的学习，读者将能够： 1. 深刻理解微积分、线性代数和概率统计的核心概念及其内在联系。 2. 掌握解决各类数学问题的通用方法和技巧。 3. 提升抽象思维能力、逻辑推理能力和问题分析能力。 4. 为参加数学竞赛、深入学术研究或从事相关专业领域打下坚实的数学基础。 5. 培养利用数学工具解决实际问题的能力，认识数学的广泛应用价值。 本书力求严谨而不失趣味，理论结合实践，旨在引领读者走进数学的殿堂，感受数学的魅力，激发对数学更深层次的探索热情。

评分☆☆☆☆☆

在我看来，《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》是一本具有“生命力”的数学书籍。它所传达的，并非僵化的理论，而是鲜活的数学思想和解决问题的智慧。作者在编写过程中，充分考虑到了大学生的学习特点和认知规律，采取了一种“启发式”的教学方法。例如，在讲解“微分中值定理”时，书中并没有直接给出定理的陈述，而是先通过一些形象的例子，比如“平均速度与瞬时速度的关系”，来引导我们思考“平均变化率”与“瞬时变化率”之间的联系，从而自然而然地引出中值定理的数学表述。这种“类比迁移”的学习方式，让我能够更容易地理解抽象的数学概念。本书在对一些复杂数学对象的刻画上也极具匠心。例如，在讲解“曲率”时，书中不仅给出了数学公式，更辅以大量的插图，展示了不同曲线在不同点的弯曲程度，让我能够从直观上理解曲率的概念。这种“可视化”的讲解，对于提升学习效率起到了至关重要的作用。更让我赞赏的是，本书对数学思想的溯源和发展有着深入的探讨。作者会在讲解某个概念时，穿插介绍其在历史长河中的演变过程，以及不同数学家对其的贡献。这让我感觉，我所学习的数学知识，并非凭空而来，而是人类智慧不断积累和发展的结晶。我曾经在学习“向量分析”时，对一些概念感到模糊，但在书中读到关于高斯、斯托克斯等数学家如何一步步构建向量分析理论的故事后，我仿佛被打通了任督二脉，对这些概念有了全新的认识。这本书让我看到了数学的魅力，也激发了我探索数学更深层奥秘的决心。

评分☆☆☆☆☆

当我捧起《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》时，我预感自己将要踏上一段非凡的数学探索之旅。这本书的独特之处在于，它并非简单地呈现数学知识，而是致力于“唤醒”读者的数学智慧。作者在讲解每个定理或公式时，总是会先从一个引人入胜的数学问题切入，让我们在解决实际问题的过程中，自然而然地领悟到数学概念的精髓。例如，在讲解“积分”时，书中并没有直接给出积分的定义，而是先通过计算不规则图形面积和曲线下的面积等实际问题，引导我们思考“累加”的思想，从而引出定积分的概念。这种“问题驱动”的学习模式，让我对数学的理解更加深刻，也更能体会到数学的实用价值。书中对于一些抽象概念的视觉化处理，也给我留下了深刻的印象。比如，在讲解“向量空间”时，书中配以大量的几何图形和向量示意图，让我能够直观地理解向量的线性组合、线性无关等概念。这种“图文并茂”的讲解，大大降低了抽象数学的学习难度。更让我惊喜的是，本书在对数学史的介绍上也颇有建树，常常会在讲解某个数学概念时，穿插介绍其发现的历史故事和相关的数学家。这让我感觉数学不仅仅是一堆冷冰冰的公式，更是人类智慧闪耀的结晶。我曾经在学习“傅里叶级数”时，被其理论的深奥所困扰，但在书中看到关于傅里叶本人为了解决热传导问题而提出这一理论的经历后，我对这个概念的理解豁然开朗。这本书让我看到了数学的生命力，也激励我不断地去探索和发现。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次接触到《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》这部作品时，我被它沉甸甸的分量和厚实的内涵所震撼。它绝非一本浅尝辄止的入门读物，而是一部旨在引领读者深入数学核心的“圣经”。书中对于每一个数学概念的阐述，都显得格外审慎而深刻。作者并没有直接抛出晦涩的定义，而是通过一系列由浅入深的铺垫，引导读者逐渐理解概念的产生背景、发展脉络以及其在整个数学体系中的关键作用。这种“由表及里”的讲解方式，极大地提升了我对数学的理解深度，让我不再是被动地接受知识，而是主动地去探索和发现。我尤为欣赏书中对于证明过程的精雕细琢。作者不仅给出了逻辑严谨的证明，更重要的是，他常常会在证明过程中穿插一些“点拨”式的评注，引导读者思考证明的巧妙之处，或者揭示其中蕴含的数学思想。这种“解剖式”的讲解，让我对数学的严谨性有了更深刻的认识，也培养了我独立思考和分析问题的能力。在练习题方面，本书的难度梯度设计得非常合理，从基础巩固到拔高训练，层层递进，让我能够逐步挑战自己的极限。我曾经花费了一个下午的时间去攻克一道关于微分方程的难题，最终在反复研读了书中的相关章节和例题后，才找到了突破口。那种豁然开朗的感觉，至今仍让我记忆犹新。这本书让我明白，数学的魅力在于其逻辑的严密性和结论的普适性，而掌握这些，需要付出艰辛的努力和持续的钻研。

评分☆☆☆☆☆

一直以来，我都在寻找一本能够真正带我进入数学殿堂的教材，一本能够让我不仅理解“是什么”，更能深刻体会“为什么”的书。《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》这部厚重的著作，在我手中翻开的第一页起，就仿佛为我打开了一个全新的世界。它并非简单地罗列公式和定理，而是以一种极具启发性的方式，将抽象的数学概念抽丝剥茧，层层递进。作者在讲解每一个知识点时，都力求做到详略得当，既有对基础概念的扎实铺垫，又不乏对高阶思想的深入挖掘。我尤其欣赏它在例题设置上的独到之处，那些精心挑选的题目，往往能够瞬间点燃我的思考火花，引导我从不同的角度审视问题，发现隐藏在表面之下的数学美。许多看似棘手的题目，在遵循本书的逻辑脉络后，便会豁然开朗，仿佛一座座宝藏被一一挖掘。更让我惊喜的是，书中对于一些常见误区的辨析，以及对解题思路的多元化展示，这对于我们这些渴望在数学竞赛中取得突破的学生来说，无疑是弥足珍贵的财富。它不仅仅是一本习题集，更像是一位循循善诱的导师，在我迷茫时指引方向，在我懈怠时激励我前行。我常常沉浸其中，花费数小时去钻研一道题目，去理解一个证明，这种智力上的挑战与满足感，是任何其他娱乐方式都无法比拟的。读完这本书，我不仅感觉自己的数学功底得到了显著提升，更重要的是，我对数学本身产生了更浓厚的兴趣和更深刻的敬畏。它让我明白，数学并非枯燥的符号堆砌，而是逻辑与创造力的完美结合，是理解世界、探索未知的有力工具。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学抱有极大热情的学生，我在大大小小的数学书籍中遨游过，但真正能让我心生赞叹、反复研读的，却屈指可数。《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》无疑是其中一颗璀璨的明珠。这本书的编排体系极其严谨，每一章节的过渡都显得尤为自然，仿佛一座座精巧的桥梁，将看似孤立的知识点牢牢地连接在一起。作者在引入新概念时，总会先回顾与之相关的基础知识，并清晰地阐述新概念的必要性和重要性，这种“承前启后”的教学方法，极大地降低了学习门槛，也帮助我构建了更加稳固的知识体系。书中对于定理证明的详尽解析，更是让我受益匪浅。我不再满足于仅仅记住定理的内容，而是渴望理解其背后的逻辑推导过程，而这本书恰恰满足了我的这一需求。它不仅展示了经典的证明方法，还常常提供多种不同的证明思路，让我能够从不同层面去理解同一个结论的严谨性。对于那些常常出现在竞赛题目中的“陷阱”或“易错点”，本书更是进行了深入的剖析，帮助我规避了不少潜在的错误。我记得有一次，我在解答一道关于积分的题目时遇到了瓶颈，当时感到非常沮丧。翻阅了本书中关于这一部分的章节后，我发现作者对类似的题目进行了详细的分类讨论，并给出了非常有针对性的解题策略。按照书中的方法尝试后，我竟然顺利地解决了问题，那一刻的成就感无与伦比。这本书让我明白，学习数学不仅仅是记忆和计算，更重要的是培养一种严谨的思维方式和解决问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》这部作品，在我看来，远超出了“教材”的范畴，它更像是一部数学思想的集大成之作。作者在讲解每一个核心概念时，都力求做到“溯本追源”，不仅阐述了概念的定义，更深入剖析了其形成的背景、发展的逻辑以及与其他概念之间的内在联系。这种“系统化”的讲解方式，让我能够跳出零散的知识点，构建起对高等数学的整体认知框架。我印象深刻的是书中关于“度量空间”部分的阐述，作者并非直接给出定义，而是先回顾了欧几里得空间和函数空间的概念，然后引出了度量空间这一更一般的概念，清晰地展示了数学思想的抽象化和一般化过程。这种“由具体到抽象”的讲解，极大地降低了理解难度，也让我体会到了数学的强大概括能力。在例题方面，本书的编排更是匠心独运。每一个例题都围绕着特定的知识点展开，并配以详尽的解答过程，其中不乏一些非常规但极为巧妙的解法。作者在解题过程中，常常会点明一些关键的思路和技巧，这些“点拨”性的指导，对于我这种处于学习初期的学生来说，简直是“及时雨”。此外，本书还收录了大量经典的数学竞赛题目，并提供了高质量的解析，这对于我备战各类数学竞赛来说，无疑是一份宝贵的资源。我曾经在一道关于多元函数泰勒展开的题目上反复推敲，最终在书中找到了类似的题目和解析，才茅塞顿开。这本书让我认识到，数学的学习是一个不断提问、不断探索、不断求索的过程。

评分☆☆☆☆☆

《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》这部著作，以其独特的视角和深刻的洞察力，彻底改变了我对高等数学的学习认知。它并非一本“填鸭式”的教科书，而更像是一位经验丰富的数学向导，带领我们穿越复杂晦涩的数学迷宫，直抵知识的殿堂。作者在讲解每个知识点时，都力求做到“由表及里”，既有对基本定义的清晰阐释，更深入挖掘了概念的内在逻辑和数学思想。我尤其欣赏书中对于“证明”的讲解。它不只是给出了一个现成的答案，而是详细地分析了证明的每一步推理，甚至会探讨不同的证明思路，以及每种思路的优劣。这种“庖丁解牛”式的解析，让我不仅理解了证明的正确性，更重要的是，学会了如何去构建一个严谨的数学证明。在例题设置上，本书也显得格外用心。它不是简单地罗列基础题，而是精心挑选了那些能够体现数学思想、锻炼解题技巧的典型题目，并且对这些题目进行了深入的剖析。我记得有一道关于“级数收敛性”的题目，看似简单，但却蕴含着一些不易察觉的陷阱。本书对这道题的解析，详细地指出了常见的错误思路，并给出了两种不同的正确解法，让我受益匪浅。此外，本书还融入了大量竞赛数学中的经典题目，并对它们的解法进行了深入的讲解。这让我感觉，这本书不仅是一本学习高等数学的利器，更是一本备战数学竞赛的宝典。它让我明白，数学的学习不仅仅是掌握知识，更是培养一种严谨、深刻、创新的思维方式。

评分☆☆☆☆☆

《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》这部作品，以其卓越的品质和深远的价值，在我心目中占据了不可替代的地位。它不仅仅是一本辅导书籍，更像是一部引人入胜的数学“故事集”，讲述着数学概念的诞生、发展以及它们在解决实际问题中的奇妙应用。作者在阐述数学原理时，总会采用一种“情境化”的方式，将抽象的数学概念置于具体的应用场景中，让我们在解决问题的过程中，自然而然地理解和掌握这些概念。例如，在讲解“概率论”时，书中引用了大量的实际生活中的例子，比如抛硬币、掷骰子，甚至彩票的中奖概率，让我们在趣味盎然的氛围中，理解概率的基本概念和计算方法。这种“应用驱动”的学习模式，让我对数学产生了浓厚的兴趣，也更能体会到数学的实用价值。书中对于一些复杂的数学证明，也进行了精细的“解构”。作者会逐一分析证明中的关键步骤，并解释其背后的数学逻辑，甚至会提出一些替代性的证明思路。这种“解构式”的讲解，让我不再被动地接受证明，而是能够主动地去理解和掌握证明的精髓。我记得有一道关于“柯西积分定理”的题目，看似复杂，但通过书中提供的详细解构和思路分析，我才得以顺利地解决。此外，本书还巧妙地将一些高等数学的前沿思想融入其中，让我能够对未来的学习方向有一个初步的认识。它让我明白，数学的学习是一个不断发现、不断探索、不断创新的过程，而这本书，正是引领我走向这一过程的最佳伙伴。

评分☆☆☆☆☆

《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》是一本真正让我感受到数学“厚重”和“深度”的书籍。它并非简单的知识堆砌，而是作者多年教学和研究经验的结晶。书中的每一道例题，都蕴含着作者独到的见解和巧妙的思路，它们不仅是检验学习成果的工具，更是引导读者深入思考、激发创新思维的催化剂。我常常会花费大量的时间去揣摩一道例题的解法，去体会作者是如何一步步构建出严谨的证明，又是如何巧妙地运用数学工具解决问题的。这种“反思式”的学习过程，让我受益匪浅。书中对于一些经典数学问题的历史渊源和发展过程的介绍，也极大地丰富了我对数学的认识。我了解到，许多我们今天习以为常的数学概念，都经历了一个漫长而曲折的演变过程，而这些都离不开一代代数学家的智慧和探索。这种“人文化”的数学视角，让我对数学产生了更深的敬意。在习题的设置上，本书体现了极高的专业水准。它不仅涵盖了大学高等数学的各个重要分支，而且题目难度循序渐进，能够满足不同水平的读者需求。我尤其喜欢那些具有挑战性的“攻坚题”，它们能够激发我的斗志，让我不断突破自己的认知边界。当我成功地解决一道难题时，那种发自内心的喜悦和成就感，是任何其他事物都无法给予的。这本书让我明白，数学不仅仅是一门学科，更是一种探索真理、追求卓越的精神。

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在大学数学学习的道路上，我曾一度感到迷茫和困惑，直到我遇见了《高等数学深化训练与大学生数学竞赛教程》。这本书给我带来的，不仅仅是知识的增长，更是一种学习方法的革新。作者在讲解过程中，并没有采用枯燥的“填鸭式”教学，而是更注重培养读者的数学直觉和解题思维。例如，在讲解极限的ε-δ定义时，书中不仅给出了严格的数学表述，更辅以大量的几何直观解释和形象的比喻，让我瞬间理解了这个抽象概念的本质。这种“情境化”的教学方法，让我在学习过程中充满了乐趣，也大大增强了我对数学的自信心。书中对于一些复杂函数的性质分析，更是细致入微，从单调性、凹凸性到极值、渐近线，每一个环节都进行得十分到位，并且提供了大量有助于理解的图形辅助。这让我能够清晰地看到函数的变化趋势，从而更好地把握其内在规律。对于那些在竞赛中常常出现的“压轴题”，本书更是进行了深入的剖析，作者往往会从多个角度去分析问题，提供多种解题思路，并指出每种方法的优缺点。这种“多维度”的解析方式，极大地拓展了我的解题视野，也让我学会了如何根据问题的特点选择最合适的解题策略。我曾经遇到一道关于级数收敛性的难题，百思不得其解。后来，我翻阅了书中关于级数的部分，发现作者对同一类级数给出了多种判断方法，并详细解释了这些方法的适用条件。按照书中提供的方法进行尝试后，我成功地解决了问题。这本书让我深刻体会到，数学学习的关键在于理解其背后的思想和方法，而非死记硬背。

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嗯

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书很快就到啦，包装完好，没有皱褶，很不错！！

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