从代数基本定理到超越数：一段经典数学的奇幻之旅 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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冯承天 著

图书标签:

• 代数基本定理
• 超越数
• 数学史
• 经典数学
• 数学之旅
• 数学普及
• 高等代数
• 数论
• 复变函数
• 数学哲学

出版社： 华东师范大学出版社

ISBN：9787567558588

版次：1

商品编码：12191072

包装：平装

开本：16开

出版时间：2017-05-01

用纸：轻型纸

页数：164

字数：152000

正文语种：中文

编辑推荐

代数基本定理讲些什么？它是如何证明的？

圆周率π是怎样得出的？怎样证明它是一个无理数?怎样证明它是一个chaoyue数？

自然对数的底e是怎样定义的？怎样证明它是一个无理数？怎样证明它是一个chaoyue数？

请追随本书，来一次“经典数学的奇幻之旅”！

代数基本定理、chaoyue数的存在，以及π和e都是chaoyue数，这些曾是数学上的重要课题。高斯等对代数基本定理的证明，康托尔、刘维尔对chaoyue数存在的证明，以及埃尔米特和林德曼如何分别证明了“π和e是chaoyue数”，本书试图将这些知识，系统、简洁且完美地介绍给广大数学爱好者。

《从代数基本定理到chaoyue数：一段经典数学的奇幻之旅》试图帮助读者掌握多项式理论、域论、尺规作图理论，以及用分析法和反证法去解决数学问题的一些常用方法，从而体会数学之美。

内容简介

《从代数基本定理到chaoyue数：一段经典数学的奇幻之旅》试图在高中数学和微积分初步的基础上，把多项式理论、线性代数、域论，以及分析学中的一些概念、理论和方法串在一起详加论述.从“从求解多项式方程到代数基本定理”、“代数基本定理的证明”、“圆周率π和自然对数底e及其无理性”、“有关多项式与扩域的一些理论”、“代数扩域、有限扩域以及尺规作图”、“π以及e是chaoyue数”等六个方面逐步展开，尽可能地用深入浅出的“详述”论述和解答上述数学领域有重要意义的各个问题的种种方面.

《从代数基本定理到chaoyue数：一段经典数学的奇幻之旅》能使读者在研读多项式、复变函数、线性代数，以及域论等一些基本理论的基础上，通晓代数基本定理和“π和e是无理数，又是chaoyue数”等这样一些课题，同时也能学到在其他数学分支中也极其有用的许多数学思想、内容和方法.

《从代数基本定理到chaoyue数：一段经典数学的奇幻之旅》可供高中学生、理工科大学生、大中学校数学教师，以及广大数学爱好者阅读和参考。

作者简介

冯承天，著有《从一元一次方程到伽罗瓦理论》、《从求解多项式方程到阿贝尔不可能性定理——细说五次方程无求根公式》；译有《对称》、《寻觅基元：探索物质的终ji结构》、《怎样解题：数学思维的新方法》、《恋爱中的爱因斯坦：科学罗曼史》等。

内页插图

目录

第一部分 从求解多项式方程到代数基本定理
第一章 从自然数系到有理数系
§1.1 自然数系与一元一次方程的求解
§1.2 有理数与循环小数
§1.3 可公度线段
第二章 无理数与实数系
§2.1 无理数和不可公度线段
§2.2 黄金分割与黄金三角形
§2.3 黄金矩形
§2.4 兔子繁殖与黄金分割
§2.5 斐波那契数列的通项公式——比奈公式
第三章 复数系与代数基本定理
§3.1 二元数与复数系
§3.2 数域的概念
§3.3 代数基本定理
§3.4 复数域是代数闭域
第二部分 代数基本定理的证明
第四章 代数基本定理的定性说明
§4.1 复平面中的一些圆周曲线
§4.2 多项式函数及其缠绕数
§4.3 缠绕数的一个重要性质
§4.4 r极大与极小时的两个极端情况
第五章 业余数学家阿尔岗的证明
§5.1 考虑|p(z)|的最小值
§5.2 计算|p(z0+ζ)|等
§5.3 对qζν(1+ζξ)的讨论
§5.4 反证法： 证明了代数基本定理
第六章 美国数学家安凯奈的证明
§6.1 复变函数论中的解析函数
§6.2 柯西-黎曼定理
§6.3 连续复函数的线积分
§6.4 微积分学中的格林定理的回顾
§6.5 柯西积分定理
§6.6 安凯奈的思路
§6.7 ��(z)的两个特殊线积分
§6.8 两个不相等的积分
第三部分 圆周率π和自然对数底e,及其无理性
第七章 圆周率π及其无理性
§7.1 刘徽割圆与圆周率π
§7.2 π是一个无理数
第八章 自然对数的底e及其无理性
§8.1 自然对数的底e与一些重要的公式
§8.2 一些重要的应用
§8.3 欧拉数e是一个无理数
第四部分 有关多项式与扩域的一些理论
第九章 有关多项式的一些理论
§9.1 数系S上的多项式的次数与根
§9.2 数系S上的可约多项式与不可约多项式
§9.3 多项式的可除性质
§9.4 多项式的因式、公因式与最大公因式
§9.5 多项式的互素与贝祖等式
§9.6 贝祖等式的一些应用以及多项式因式分解定理
§9.7 高斯引理
§9.8 整系数多项式的可约性性质
§9.9 艾森斯坦不可约判据
§9.10 多元多项式与对称多项式
§9.11 初等对称多项式
§9.12 对称多项式的基本定理
§9.13 由对称多项式基本定理得出的一个有重要应用的定理
§9.14 关于多项式根的两个重要的推论
第十章 有关扩域的一些理论
§10.1 数域的另一个例子
§10.2 扩域的概念
§10.3 要深入研究的一些课题
§10.4 域上的代数元以及代数数
§10.5 代数元的最小多项式
§10.6 互素的多项式与根
§10.7 代数元的次数以及代数元的共轭元
§10.8 代数元域
§10.9 单代数扩域
§10.10 添加有限多个代数元
§10.11 多次代数扩域可以用单代数扩域来实现
第五部分 代数扩域、有限扩域以及尺规作图
第十一章 代数扩域、有限扩域与代数元域
§11.1 代数扩域
§11.2 代数元集合A成域的域论证明
§11.3 扩域可能有的基
§11.4 有限扩域
§11.5 维数公式
§11.6 有限扩域的性质
§11.7 代数元域是代数闭域
第十二章 扩域理论的一个应用——尺规作图问题
§12.1 尺规作图的公理与可作点
§12.2 可作公理的推论
§12.3 可作数与实可作数域
§12.4 所有的可作数构成域
§12.5 可作数扩域
§12.6 可作实数域中的直线与圆的方程
§12.7 尺规作图给出的新可作点
§12.8 尺规可作数的域论表示
§12.9 三大古典几何问题的解决
第六部分 π以及e是超越数
第十三章 超越数的存在与刘维尔数
§13.1 再谈代数元与超越元
§13.2 两个有趣的例子
§13.3 无穷可数集合
§13.4 有理数域Q是可数的
§13.5 康托尔的对角线法： 实数域R是不可数的
§13.6 代数数的整数多项式定义及相应的最低次数的本原多项式
§13.7 代数数域是可数的
§13.8 存在超越数
§13.9 刘维尔定理
§13.10 刘维尔数ξ是超越数
§13.11 超越数的另一例
第十四章 π以及e是超越数
§14.1 一次代数数的一般形式
§14.2 二次实代数数的一般形式
§14.3 e不是二次实代数数
§14.4 e是超越数
§14.5 π是超越数
§14.6 超越数的一些基本定理
§14.7 超越扩域、代数扩域，以及有限扩域
§14.8 尾声
——希尔伯特第七问题以及盖尔方德-施奈德定理
附录
附录1 比奈公式以及常系数线性递推数列
附录2 线性方程组求解简述
参考文献

前言/序言

学非探其花，要自拨其根.
——〔唐〕杜牧《留诲曹师等诗》

简略地说，本书讨论了“代数基本定理”、“圆周率π既是无理数又是超越数”，以及“自然对数的底e既是无理数又是超越数”这三大数学课题.为此我们讨论了数系的扩张、复数的应用、解析函数的积分、多项式理论、扩域理论、代数数论，以及康托尔的对角线方法等.当然，随之就有不少的“副产品”，如： 对称多项式基本定理、代数元域、尺规作图，以及三大古典几何难题等.
代数基本定理——n（>0）次复系数多项式方程有n个复数根，是1799年高斯在他的博士论文中首次较严格地证明的.高斯以后的数学家们用了一百多种不同的方法证明了该定理，这足以说明该定理在代数学上的重要性.在本书中，我们用三种不同的方法或阐明或证明了这一定理.
关于圆周率π，我们应用了我国魏晋时数学家刘徽的光辉的割圆术思想证明了它是一个与圆半径无关的常数，然后先证明它是一个无理数，并最终证明了埃尔米特定理： π是一个超越数.
对于自然对数的底e，我们先从它的极限定义出发得出了有关它的一些重要公式及应用，接着再证明它是一个无理数，并最终证明了林德曼定理： e是一个超越数.
为了能与广大数学爱好者一起学习这些重大定理，以及为了证明它们所必须研读的经典数学中的一些精彩内容，并与大家一起分享其中的数学之美，笔者撰写的这本书起点较低，从数系的扩张和运算讲起；把有关的多项式理论与域的理论尽量讲得详尽且深入浅出；书中包括许多实例和应用，可供读者消化、推敲和练习，而且尽力做到前呼后应.为了克服论述这些专题的各种文献中的种种晦涩难懂、叙述过简与不清，我们用一种“详述”的方式，同时也尽量使本书在数学内容上自成体系.
不过，笔者还是在书后的参考文献中列出了笔者在研读这些专题和撰写本书时读过的部分好书与文献，希望对那些想继续深入研究的读者有所帮助.
一系列的数学实践使笔者深信，一位有高中数学基础且掌握微积分初步概念的读者，只要勤于思考，一定能理解书中的这些在其他数学分支中也极有用的基础数学知识和定理，从而提高自己的数学修养；只要乐于思考，也就一定能掌握本书中所使用的数学方法，同时给自己带来数学之美的享受.
最后，感谢首都师范大学栾德怀教授的长期关心、教导和鞭策.感谢上海师范大学数学系陈跃副教授，他推荐了许多参考资料，仔细审读了手稿，并提出了许多宝贵的意见和建议.感谢华东师范大学出版社的王焰社长及各位编辑，他们为本书的出版给予极大的支持与帮助.
希望本书能成为广大数学爱好者学习和掌握上述课题的可读性较强的读物，也极希望得到大家的批评与指正.
2016年8月于上海师范大学

好的，这是一份针对您提供的书名《从代代数基本定理到超越数：一段经典数学的奇幻之旅》的图书简介草稿，其内容旨在详细阐述该书可能涵盖的主题，同时避免直接提及书名本身的内容细节，力求自然流畅，具有专业感。 --- 图书简介：数学前沿的宏伟叙事 本书带领读者踏入一个引人入胜的数学世界，追溯那些奠定现代数论与分析学基石的核心思想与关键突破。这不是一本枯燥的教科书，而是一场深入浅出、充满洞见的探索之旅，旨在揭示那些看似抽象的数学概念背后，是如何被严谨的逻辑和深刻的直觉所驱动，最终构建起数学大厦的宏伟蓝图。 我们的旅程始于一个深刻而基础的问题：多项式方程是否总是有解？这个看似简单的问题，却催生了对数系结构的深刻理解。我们将详细考察那个将代数与复数世界紧密连接的奠基性成果——一个关于所有非常数复系数多项式方程在复数域内必有根的定理。这个定理不仅是代数学的里程碑，更是复杂分析学发展的关键跳板。我们将探究其历史背景、不同层次的证明方法，从拓扑学的直观视角到复分析的强有力工具，领略数学家们如何层层递进，最终将这一真理牢牢钉在逻辑的基石之上。 然而，数学的疆域远不止于此。当我们掌握了复数和代数结构后，自然会产生一个更深层次的疑问：哪些数是可以通过有限次的加、减、乘、除和开方运算来构造的？这本书将带领读者穿越历史的迷雾，进入一个由无理数和超越数构成的奇妙领地。我们将聚焦于那些无法通过有理数域上的多项式方程求解的数——那些超越代数范畴的存在。 本书将深入探讨那些定义了超越性的里程碑式发现。从关于圆周率 $pi$ 的不懈探索，到对自然对数的底 $e$ 的本质追问，我们将重温那些伟大的证明，它们不仅展示了人类智慧的巅峰，更揭示了实数系统内部的复杂性和无限层次。这些证明往往需要建立在精妙的分析工具之上，涉及诸如连分数、级数展开，乃至更高级的函数论。我们将细致梳理证明的每一步逻辑，揭示数学家们如何通过精心的构造和严谨的论证，将那些看似“不驯服”的数纳入分析的框架之内。 更进一步，本书将探讨超越性的普遍性与必然性。当我们不再局限于特定的数，而是将其视为一种数学特性时，我们会发现，绝大多数实数都具有超越性。我们将介绍判断一个数是否超越的有效方法，例如艾尔米特（Hermite）和林德曼（Lindemann）的开创性工作。这些理论不仅为我们提供了区分代数数和超越数的坚实工具，也深刻地影响了我们对数域的整体认知。 此外，本书还将触及这些概念如何渗透到其他数学分支。例如，在遍历论和动力系统中，超越数的性质可能会以意想不到的方式出现；在函数逼近理论中，理解代数函数和超越函数的行为差异至关重要。我们也将简要回顾那些与超越数密切相关的著名未解难题，它们至今仍在激励着新一代数学家们探索未知。 通过对这些经典主题的系统梳理，本书旨在为读者构建一个清晰、连贯的知识图景。我们不仅会介绍“是什么”，更会深入剖析“为什么”和“如何做”。从代数方程的根的必然存在，到超越数的深刻奥秘，这是一次跨越数百年数学智慧的壮丽航行，旨在培养读者对数学美学、严谨性和无限可能性的深刻理解与欣赏。无论是初涉数学殿堂的求知者，还是寻求系统性回顾的专业人士，都将在这趟旅程中发现数学思维的无穷魅力。 ---

评分☆☆☆☆☆

我本以为这是一本晦涩难懂的专业读物，没想到读起来竟有如此的酣畅淋漓。书中的论证过程逻辑严密却不失灵动，作者似乎总能找到最巧妙的角度来切入复杂的证明，让原本看似坚不可摧的堡垒，在清晰的逻辑下层层瓦解。特别是关于超越数的讨论部分，那种从理性与非理性的边界线上徘徊的哲学意味，让人拍案叫绝。它不仅仅是数学工具的展示，更是一场关于“存在”与“证明”的深刻对话。我感觉自己像是站在一个悬崖边，向下俯瞰着整个数学世界的壮阔景观，那些曾经模糊的概念如今都变得轮廓清晰，充满了震撼人心的力量。对于想真正理解现代数学基础的人来说，这本书是无可替代的指南针。

评分☆☆☆☆☆

这是一部需要反复品味的鸿篇巨制。初读时，你或许会被其内容的广度和深度所震撼，但真正值得称道的是其思想的深度和广度。作者对数学结构之美的洞察力，令人叹为观止。他将看似不相关的分支巧妙地编织在一起，形成了一张宏大而精密的知识网络。阅读过程中，我多次停下来，反复揣摩某个关键过渡句或某个精妙的比喻，因为我知道，那里面蕴含着作者多年积累的智慧结晶。它不像一般的科普读物那样肤浅地迎合读者，而是保持着一种恰当的学术尊严，但同时又用极其平易近人的方式进行阐述。对于那些渴望从“会做题”上升到“懂数学”的读者而言，这本书无疑是里程碑式的存在。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述风格非常具有感染力，它成功地架设起了一座桥梁，连接了基础代数与高等分析之间的鸿沟。作者的叙事节奏把握得恰到好处，时而轻快，时而沉稳，使得整个阅读体验张弛有度，绝不枯燥。我特别喜欢其中对历史背景的穿插描述，它让冰冷的公式拥有了鲜活的生命和温度。你知道，当我们了解到某个定理是在何种历史境遇下被提出来的，我们对它的敬畏感和亲近感都会油然而生。这本书的价值在于，它教会我们如何“思考”数学，而不仅仅是如何“计算”数学。它鼓励读者去质疑、去探索，去享受那种拨开云雾见青天的喜悦。

评分☆☆☆☆☆

不得不说，这本书在构建知识体系上的功力非凡。它不像一般的参考书那样只关注证明的有效性，而是更注重证明背后的直觉和思想流动。作者似乎深知，对于一个学习者而言，建立起正确的“数学世界观”比掌握单个工具更为重要。书中的章节安排显示出高度的匠心，每推进一小步，都伴随着对先前知识的巩固与升华。这种层层递进的结构，使得读者在感到挑战的同时，始终保有清晰的方向感。它成功地将抽象的概念具象化，将复杂的结构可视化，让读者在轻松的阅读体验中，不知不觉地吸收了最严谨的数学精华。这绝对是数学爱好者书架上不可或缺的珍藏。

评分☆☆☆☆☆

这套书简直是数学爱好者的饕餮盛宴！作者的笔触极其细腻，将那些看似遥不可及的数学概念娓娓道来，仿佛带领我们进行了一次穿越时空的探险。从最初对代数方程根的直觉探索，到后来伽罗瓦理论那般精妙的结构性洞察，每一步都衔接得天衣无缝。我尤其欣赏作者在叙述过程中，那种对数学思想发展脉络的深刻把握。他不仅仅是在罗列定理和证明，更是在重现数学家们当年是如何在迷雾中摸索前进的，那种顿悟与挣扎，都让人感同身受。读完后，我对“为什么”这些定理是这样，而非那样的理解，深入到了一个全新的层次。它不是一本冷冰冰的教科书，而更像是一位饱学之士在炉火旁分享他毕生所学，充满了人情味和智慧的光芒。那种对纯粹数学美感的追求，是能穿透纸页，直抵人心的。

评分☆☆☆☆☆

书籍印刷清晰，纸质有点粗糙

评分☆☆☆☆☆

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好书

评分☆☆☆☆☆

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书籍印刷清晰，纸质有点粗糙

评分☆☆☆☆☆

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作者写了两本数学伽罗瓦理论普及书，都还不错，值得一看。

评分☆☆☆☆☆

作者写了两本数学伽罗瓦理论普及书，都还不错，值得一看。