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內容簡介

《數學分析基本問題與注釋》是作者在上海師範大學主講數學分析一學期課程的教學配套用書. 《數學分析基本問題與注釋》的主要內容可分為兩部分，一部分是針對教材的每一節內容列齣瞭五個基本問題,學生可以在課前預習時參考，通過問題帶領，有的放矢地讓學生自學教材，理解瞭這些問題就領會瞭所學內容. 另一部分是作者根據該節內容和所列問題，結閤自己的理解和體會以及適量例題給齣的要點講解與注釋，以幫助學生正確理解和掌握課本知識. 此外，各章還配備瞭測試題及其提示.

目錄

目錄
前言
第1章 實數集與函數 1
1.1 實數 1
1.1.1 基本問題 1
1.1.2 要點講解與注釋 1
1.1.3 補充材料：戴德金分劃簡介 5
1.2 數集和確界原理 6
1.2.1 基本問題 6
1.2.2 要點講解與注釋 7
1.3 函數概念 9
1.3.1 基本問題 9
1.3.2 要點講解與注釋 10
1.4 具有某些特性的函數 14
1.4.1 基本問題 14
1.4.2 要點講解與注釋 14
1.5 第1章測試題與提示 21
1.5.1 測試題 21
1.5.2 提示 22
第2章 數列極限 23
2.1 數列極限概念 23
2.1.1 基本問題 23
2.1.2 要點講解與注釋 23
2.2 收斂數列的性質 30
2.2.1 基本問題 30
2.2.2 要點講解與注釋 30
2.3 數列極限存在的條件 35
2.3.1 基本問題 35
2.3.2 要點講解與注釋 36
2.4 第2章測試題與提示 43
2.4.1 測試題 43
2.4.2 提示 44
第3章 函數極限 46
3.1 函數極限的概念 46
3.1.1 基本問題 46
3.1.2 要點講解與注釋 47
3.2 函數極限的性質 52
3.2.1 基本問題 52
3.2.2 要點講解與注釋 52
3.3 函數極限存在條件 55
3.3.1 基本問題 55
3.3.2 要點講解與注釋 55
3.4 兩個重要的極限 58
3.4.1 基本問題 58
3.4.2 要點講解與注釋 59
3.5 窮小量與窮大量 61
3.5.1 基本問題 61
3.5.2 要點講解與注釋 61
3.6 第3章測試題與提示 65
3.6.1 測試題 65
3.6.2 提示 65
第4章 函數的連續性 68
4.1 連續性概念 68
4.1.1 基本問題 68
4.1.2 要點講解與注釋 68
4.2 連續函數的性質 71
4.2.1 基本問題 71
4.2.2 要點講解與注釋 71
4.3 初等函數的連續性 76
4.3.1 基本問題 76
4.3.2 要點講解與注釋 76
4.4 第4章測試題與提示 81
4.4.1 測試題 81
4.4.2 提示 82
第5章 導數和微分 85
5.1 導數的概念 85
5.1.1 基本問題 85
5.1.2 要點講解與注釋 85
5.2 求導法則 88
5.2.1 基本問題 88
5.2.2 要點講解與注釋 88
5.3 參變量函數的導數 90
5.3.1 基本問題 90
5.3.2 要點講解與注釋 90
5.4 高階導數 92
5.4.1 基本問題 92
5.4.2 要點講解與注釋 93
5.5 微分 94
5.5.1 基本問題 94
5.5.2 要點講解與注釋 95
5.6 第5章測試題與提示 96
5.6.1 測試題 96
5.6.2 提示 97
第6章 微分中值定理及其應用 100
6.1 拉格朗日中值定理與函數單調性 100
6.1.1 基本問題 100
6.1.2 要點講解與注釋 100
6.2 柯西中值定理與不定式極限 104
6.2.1 基本問題 104
6.2.2 要點講解與注釋 104
6.3 泰勒公式 107
6.3.1 基本問題 107
6.3.2 要點講解與注釋 107
6.4 函數的極值與最值 111
6.4.1 基本問題 111
6.4.2 要點講解與注釋 111
6.5 函數的凸性與拐點 114
6.5.1 基本問題 114
6.5.2 要點講解與注釋 115
6.6 函數的圖像 119
6.6.1 基本問題 119
6.6.2 要點講解與注釋 119
6.7 第6章測試題與提示 120
6.7.1 測試題 120
6.7.2 提示 121
第7章 實數的完備性 125
7.1 關於實數集完備性的基本定理 125
7.1.1 基本問題 125
7.1.2 要點講解與注釋 125
7.2 上極限和下極限 126
7.2.1 基本問題 126
7.2.2 要點講解與注釋 126
第8章 教學與曆史迴顧 129
8.1 再識“一元微分學” 129
8.2 微積分發展簡介 130
8.2.1 引言 130
8.2.2 牛頓的流數術 131
8.2.3 萊布尼茨的微積分 132
8.2.4 發明權之爭 133
8.2.5 柯西與分析學基礎 134
8.2.6 魏爾斯特拉斯的嚴格化 135
8.2.7 微積分學若乾概念形成簡史 136
8.2.8 微積分學的內容組成、所揭示的矛盾和嚮現代數學的拓展 137
參考文獻 140

精彩書摘

　　《數學分析基本問題與注釋》：
　　上述命題的證明中齣現名詞“必要性”與“充分性”.我們來解釋一下它們的含義.這個命題中，“x>y”是一個明確的結論，而“存在正整數n使xn>1yn”是一個具體的條件.由前者推齣後者就是證明條件的必要性，而由後者導齣前者則是證明充分性.一般地，假設有這樣一個命題或定理：如果條件A成立，則結論B必成立.這個命題的逆否命題是：如果結論B不成立，則條件A必不能成立.因此，條件A足以保證結論B成立，也即結論B就是條件A的必然結果.我們把A稱為B的充分條件.而對這樣一個命題的證明往往不去明確充分性和必要性.然而，很多命題或定理是以這樣的形式齣現的：結論B成立的充要條件是條件A成立，或者，結論B成立當且僅當條件A成立.在這個敘述中，結論B先列瞭齣來.在證明這樣一類命題或定理的時候，往往需要明確充分性與必要性，其中必要性部分就是在“結論B成立”的假設下推齣條件A，簡記為B=A，而充分性部分則是在“條件A成立”的假設下證明B，記為A=B.我們再看一個具體例子.前麵我們利用無限循環的無限小數錶示定義瞭有理數.進一步可證：實數x是有理數的充分必要條件是存在互素整數m和n，且n6=0，使x=m=n.這裏我們不打算證明這個命題，隻是藉著它來解釋充分性和必要性.利用“x是有理數”來導齣“x=m=n”就是證明必要性，利用“x=m=n”來導齣“x是有理數”就是證明充分性.這個命題錶明條件“x=m=n”既是“x是有理數”的必要條件，也是“x是有理數”的充分條件.
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