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内容简介

　　《矩阵论》比较全面地介绍了矩阵理论的基础知识。全书共分九章，分别介绍了线性空间与内积空间，线性变换和矩阵的Jordan标准形，范数与极限，矩阵函数与函数矩阵，矩阵分解，一些特殊矩阵，非负矩阵，Kronecher积与矩阵方程和小二乘问题。附录简述了一元多项式的有关概念和性质。每一章都配备习题，以便读者学习与巩固。
　　《矩阵论》可作为理工科以及财经类院校的研究生和高年级本科生的学习教材，也可作为有关专业教师和工程技术人员的参考书。

内页插图

目录

前言

第一章 线性空间与内积空间
§1．1 集合与映射
一、集合
二、映射
§1．2 线性空间及其基与维数
一、线性空间的定义
二、基、维数与坐标
三、基变换与坐标变换
§1．3 线性子空间
一、线性子空间
二、子空间的交与和
三、直和
§1．4 线性空间的同构
§1．5 内积空间
一、欧氏空间
二、标准正交基与Gram-Schmidt正交化过程
三、子空间
四、同构
五、酉空间
习题一

第二章 线性变换和矩阵的Jordan标准形
§2．1 线性变换与线性变换的矩阵
一、线性变换
二、线性变换的矩阵
三、线性变换在不同基下的矩阵
四、正交变换
§2．2 特征值与特征向量
一、基本概念
二、矩阵对角化的相似条件
三、Hamilton-Caylay定理
§2．3 不变子空间与Jordan标准形
一、值域与核
二、不变子空间
三、Jordan标准形
§2．4 对称矩阵的相似对角化
§2．5 入一矩阵
一、基本概念
二、标准形
三、不变因子
四、初等因子
§2．6 Jordan标准形的理论推导
一、矩阵的相似性条件
二、Jordan标准形
三、最小多项式
习题二

第三章 范数与极限
§3．1 范数
一、向量范数
二、矩阵范数
三、赋范线性空间
§3．2 矩阵序列与矩阵级数
一、矩阵序列与收敛性
二、矩阵级数
习题三

第四章 矩阵函数与函数矩阵
§4．1 矩阵函数
一、矩阵多项式
二、矩阵函数的解析定义
三、矩阵函数的一般定义
§4．2 函数矩阵及其导数
一、函数矩阵
二、函数矩阵的导数
三、函数矩阵的二阶导数与Hessian矩阵
习题四

第五章 矩阵分解
§5．1 约化矩阵
一、Gauss矩阵
二、Householder矩阵
三、Givens矩阵
§5．2 三角分解
一、LU分解
二、平方根分解
§5．3 QR分解
§5．4 Schur分解
§5．5 奇异值分解
§5．6 其他分解
习题五

第六章 一些特殊矩阵
§6．1 正规矩阵
§6．2 Hermite矩阵
一、Hermite矩阵
二、Hermite矩阵的特征值极性
§6．3 Hermite正定矩阵
§6．4 不可约矩阵和对角占优矩阵
一、不可约矩阵
二、对角占优矩阵
§6．5 投影矩阵
习题六

第七章非负矩阵
§7．1 非负矩阵及其谱半径性质
§7．2 Perron定理和Frobenius定理
§7．3 随机矩阵与单调矩阵
一、随机矩阵
二、单调矩阵
§7．4 M-矩阵
习题七

第八章Kronecker积与矩阵方程
§8．1 Kronecker积
一、矩阵Kronecker积的定义和基本性质
二、矩阵Kronecker积的特征值
三、矩阵Kronecker积的秩
四、矩阵Kronecker积的幂
§8．2 矩阵方程
一、矩阵的向量化
二、线性矩阵方程
§8．3 矩阵方程AX+XB=C
一、Sylvester方程
二、Sylvester方程解的形式
三、Lyapunoy方程简介
§8．4 求解矩阵方程的数值解法
一、中小规模Sylvester方程的数值解法
二、Sylvester方程系数矩阵A为大规模矩阵，B为小矩阵
三、Sylvester方程系数矩阵A，B均为大规模矩阵
习题八

第九章最小二乘问题
§9．1 最小二乘问题的基本性质
一、最小二乘问题的基本概念
二、最小二乘问题的数学性质
§9．2 满秩矩阵的最小二乘问题
一、法方程（Normal equation）
二、曲线拟合问题
三、基于Cholesky分解求解的最小二乘解
四、基于QR分解求解的最小二乘解
五、奇异值分解方法
§9．3 秩显分解和秩亏最小二乘问题
一、带列选主元的QR分解
二、数值秩显分解
三、秩亏最小二乘问题
§9．4 广义逆矩阵
一、广义逆矩阵
二、广义逆的应用
习题九

附录一 元多项式
一、一元多项式及其基本运算
二、整除
三、最大公因式
四、多项式函数

参考文献

前言/序言

　　上海财经大学于2000年设立应用数学系，2001年开始招收本科生，2005年获得应用数学专业硕士点授予权。作为该专业的基础必修课，从2007年起开设《矩阵论》课程，由编者担任主讲教师。
　　传统意义上《矩阵论》更多地在理工科类学校开设。作为财经类学校，授予学生《矩阵论》中的哪些内容，讲到何种程度，一直是我们思考的问题。前几年，我们主要通过编写讲义给学生们授课，其中一些内容主要参阅了[4，3，7]（见“参考文献”）中的有关章节作为讲课线索，而在非负矩阵和最小二乘问题方面我们讲了比较多的内容，这主要是考虑到在财经类院校的数量经济、统计学（多元统计）等领域用到了许多这方面的知识。2015年底，我们申请到上海财经大学《矩阵论》精品课程建设项目。借此机会，我们把编写出版一本《矩阵论》教材作为该项目的一项主要工作。
　　基于前几年的授课讲义，我们重新整理补充了一些内容，以成完整系统。本书共分九章，前七章和附录由顾桂定编写，后两章由张振宇编写。第一章和第二章介绍线性空间与内积空间、线性变换与矩阵的Jordan标准形，这部分内容属于《高等代数》中的知识，主要是为非数学专业毕业的学生准备。第三章介绍范数与极限，这是矩阵分析运算中所要用到的工具。第四章介绍矩阵函数与函数矩阵，通过矩阵多项式的概念与性质引进了矩阵函数的定义。第五章介绍矩阵分解，主要有三角分解、QR分解、Schur分解和奇异值分解。第六章介绍一些特殊矩阵，包括正规矩阵、Hermite矩阵及其正定矩阵、不可约矩阵和投影矩阵。第七章介绍非负矩阵，包括M-矩阵理论。第八章和第九章分别介绍矩阵方程和最小二乘问题。考虑到一些内容涉及多项式的性质，我们在附录里简述了一元多项式的有关概念和性质。此外，每一章都配备一些习题。
　　感谢上海财经大学研究生院以及数学学院对本书出版给予的支持，感谢上海财经大学出版社刘光本编辑为本书出版付出的辛勤劳动。本书的出版也得到了国家自然基金项目（No.11371105，No.11671246）的资助，在此一并表示感谢。由于编者水平有限，书中不妥之处敬请读者指正。
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