內容簡介

本書首先介紹MATLAB語言程序設計的基本內容，在此基礎上係統介紹各個應用數學領域的問題求解，如基於MATLAB的微積分問題、綫性代數問題的計算機求解、積分變換和復變函數問題、非綫性方程與*優化問題、常微分方程與偏微分方程問題、數據插值與函數逼近問題、概率論與數理統計問題的解析解和數值解法等；還介紹瞭較新的非傳統方法，如模糊邏輯與模糊推理、神經網絡、遺傳算法、小波分析、粗糙集及分數階微積分學等領域。

本書可作為一般讀者學習和掌握MATLAB語言的教科書，高等學校理工科各類專業的本科生和研究生學習計算機數學語言的教材或參考書，可供科技工作者、教師學習和應用MATLAB語言解決實際數學問題時參考，還可作為讀者查詢某數學問題求解方法的手冊。

精彩書摘

第5 章積分變換與復變函數問題的求解

積分變換技術可以將某些難以分析的問題通過映射的方式映射到其他域內的錶達式後再進行分析。例如，Laplace變換可以將時域函數映射成復域函數，從而可以將某時域函數的微分方程映射成復域的多項式代數方程，使得原微分方程在諸多方麵，如穩定性、解析解等方麵更便於分析，這樣的變換方法構成瞭經典自動控製理論的基礎。在實際應用中，Fourier變換、Mellin變換及Hankel變換都是有其應用領域的。如何利用計算機求解積分變換的解析解是本章主要介紹的問題之一。如果讀者沒有學過積分變換與復變函數課程，也可以利用類似於第3章介紹的方法，直接由計算機求解相關問題。

5.1 節將首先介紹Laplace變換與反變換的定義及基本性質，然後介紹用MATLAB語言中的符號運算工具箱函數求取Laplace變換及反變換問題的解析解方法，還給齣瞭復雜函數Laplace反變換的數值求解方法與應用實例。5.2節將介紹Fourier變換及反變換的定義、性質和變換問題的MATLAB解法，並介紹Fourier餘弦變換、正弦變換、離散Fourier正餘弦變換等問題的計算機求解方法，並介紹快速Fourier變換的求解與應用。5.3節將介紹Mellin變換、Hankel變換等問題的MATLAB語言的求解算法，可以得齣函數的相應變換及反變換。z變換是另一類實用的變換方法，該變換方法也是離散控製理論的數學基礎。5.4節將介紹z變換及其反變換的定義和性質，並介紹基於MATLAB語言符號運算工具箱的z變換問題的計算機輔助求解方法。本章的另一個主要問題是復變函數問題及其MATLAB語言求解，可以用5.5節中介紹的方法計算復變函數的奇點與留數，進行部分分式展開等運算，討論瞭有理函數Laplace反變換的求解方法和化簡方法，基於留數定理還探討瞭封閉麯綫積分的求解方法。5.7節還將介紹各種差分方程的求解方法。

5.1 Laplace變換及其反變換

法國數學傢Pierre-SimonLaplace（1749–1827）引入的積分變換可以巧妙地將一般常係數微分方程映射成代數方程，奠定瞭很多領域，如電路分析、自動控製原理等的數學模型基礎。本節將首先介紹Laplace變換及其反變換的定義與性質，然後介紹利用計算機數學語言MATLAB求解Laplace變換及其反變換的方法與應用，最後給齣復雜函數Laplace反變換的數值求解方法與實用函數。

5.1.1 Laplace變換及反變換的定義與性質

一個時域函數f(t)的Laplace變換可以定義為

∫

L[f(t)]=∞ f(t)e.stdt=F(s)（5-1-1）

式中，L[f(t)]為Laplace變換的簡單記號。0下麵將不加證明地列齣一些常用的Laplace變換性質。

· 150·高等應用數學問題的MATLAB求解（第四版）

（1）綫性性質。若a與b均為標量，則L[af(t)± bg(t)]=aL[f(t)]± bL[g(t)]。

（2）時域平移性質。L[f(t. a)]=e.asF(s)。（3）s-域平移性質[。L[e.atf](t)]=F(s+a)。

（4）微分性質。df(t)/dt=sF(s). f(0+)，一般地，n階微分可以由下式求齣

n

dn

L [f(t)/dt]L= s nF(s). s n.1f(0+).s n.2f′(0+) .···. f(n.1)(0+)（5-1-2）

若假設函數f(t)及其各階導數的初值均為0，則式（5-1-2）可以簡化成

n

此性質事實上是微分方程映射成代數方程的關鍵式子。

t

（5）積分性質。若假設零初始條件，L0 f(τ)dτ=Fs (s)，一般地，函數f(t)的n重積分

的Laplace變換可以由下式求齣L [∫[t dnf(∫t[t )/∫dt] = ] s n] F (Fs() s) （5-1-3）Lf(τ)dτn=（5-1-4）

··· sn

00

（6）初值性質。tlim 0 f(t)=limsF(s)。

s→∞

（7）終值性質。F(s)沒有s.0的極點，則limf(t)=limsF(s)。如果→

t→∞ s→0

（8）捲積性質。L[f(t). g(t)]=L[f(t)]L[g(t)]，式中，捲積算子. 的定義為

∫t ∫t

f(t). g(t)=f(τ)g(t. τ)dτ=f(t. τ)g(τ)dτ（5-1-5）

00

（9）其他性質。[] ∫∫

n

L[tnf(t)]=(.1)n dndFsn (s), L ft(n t)= ∞ ··· ∞ F(s)ds（5-1-6）

ss

如果已知函數的Laplace變換錶達式F(s)，則可以通過下麵的反變換公式反演求齣其Laplace反變換f(t)=L.1[F(s)]=1 ∫λ+j∞ F(s)estds（5-1-7）

……

前言/序言

第四版前言

科學運算問題是科學與工程中的重要問題。在當前一般高校理工科課程設置中，高等數學、綫性代數、概率論與數理統計等為必修課程，有些專業還有復變函數、積分變換、最優化、數值分析等選修課程。有瞭這些數學基礎，很多專業課程相應的數學模型就可以建立起來瞭，而這些數學問題的求解就成瞭不容迴避的問題瞭。

在總結多年實際教學經驗的基礎上，作者曾在首屆MathWorks亞洲研究與教育峰會（2014年11月，東京）上提齣瞭數學問題的“三步求解方法”，其第一步就是用簡單的語言理解要求解數學問題的物理意義，第二步是如何用計算機能接受的方式將數學問題輸入給計算機，第三步就是調用恰當的函數將數學問題的解得齣來。有瞭這樣的思路，則普通研究者可以直接利用計算機工具在短時間內解決已經學習過甚至根本沒有學習過的數學分支的應用問題。

本書書名中的“高等應用數學”不等於“高等數學”，而是預期盡可能廣地覆蓋理工科數學分支，其對數學分支的涵蓋範圍是非常廣泛的。書中涉及瞭大量的數學公式，作者沒有期望讀者能讀懂這些公式，大概理解它們的物理意義就足夠瞭，側重點還是應該放在學習基於MATLAB的實際求解方法。盡管較好理解數學公式可能對學習數學問題的求解方法有所幫助，但這不是必要的。

雖然數學問題的求解在以後的課程學習與科學研究中是不可避免的，那些自認為數學基礎比較薄弱的讀者也不必擔心，因為本書介紹的方法是盡可能地避開煩瑣的、深奧的數學，將數學問題及其求解過程用MATLAB能夠接受的形式全盤推給計算機去求解，充分發揮計算機的潛能去替你完成任務，最終收獲問題的解。盡管這樣的方式有時得不到一些數學傢的接受與認可，但這對應用科學傢與工程技術人員足矣。

比如說，本書介紹瞭代數方程的求解方法。在實際應用中數學傢或其他科研工作者可能麵

.

對下麵的代數方程束手無策.x+3y3 +2z2 = 1/2 x2 +3y + z3 =2 . x3 +2z+2y2 = 2/4

而你卻完全可以利用本書介紹的方法將該方程推給計算機去求解，在幾秒鍾之內得齣原方程全部27組根，將根代入原方程，誤差可能達到10.34 級彆。另外，對用戶而言，如果使用工具，求解這樣的方程與求解雞兔同籠方程一樣簡單。

再如，如果已知矩陣A，數學傢無法求齣復閤矩陣函數ψ(A)=eA cos At 或Ak 時，你可以輕而易舉地藉助計算機得齣所需的矩陣函數與乘方的解析解。

可以想象一下，當數學傢隻能利用其巧妙的構思去判定19931993 的個位數是幾的時候，你卻能易如反掌地將其全部6576位數字都列齣來；當數學傢在苦思冥想給定的矩陣方程AX+XD. XBXT +C=0到底有多少個根的時候，你卻有能力利用本書的方法將其實數根與復數根一次性地全部求解齣來；當數學傢津津樂道地描述“(a,b)區間內至少存在一個ξ”

· II·高等應用數學問題的MATLAB求解（第四版）

的時候，你卻能將滿足條件的ξ的所有可能值都精確地實實在在地找齣來；當數學傢在糾結到底用哪種技巧去求齣某個函數的不定積分的時候，你卻能藉助計算機在幾秒鍾之內用普通得不能再普通的方法求齣該不定積分的解析解；當數學傢因為想使用神經網絡而苦苦閱讀學習相關知識的時候，你卻能通過幾分鍾基礎概念的學習之後熟練地利用神經網絡解決實際問題，你是不是應該建立起對求解實際應用數學問題能力的自信心呢？是不是會有龜兔賽跑中兔子的優越感呢？這樣的例子不勝枚舉，所以不要懼怕數學，因為如果係統地學習掌握瞭本書中介紹的方法和思路，你求解實際應用數學問題的能力將遠遠超過不會或不擅用計算機工具的一流數學傢。

本書繼承瞭以前版本的寫作風格，不是按手冊的方式，即MATLAB能求解什麼就介紹什麼，而是按介紹數學理論與係統知識的需求，組織教學材料、求解方法與求解工具，使得讀者有能力直接求解相關的數學問題。如果MATLAB能求解某類問題，作者會直接建議使用現有函數去求解，如果沒有現成函數時，作者會編寫齣通用的函數，可以同樣直接地求解這類問題。本書比較典型的獨到的求解方法包括矩陣的任意非綫性函數求解、矩陣任意乘方的求解、任意多解非綫性矩陣方程的求解、有約束非綫性規劃問題的全局求解方法、分數階微積分的高精度數值計算等，通過實際例子的介紹，同時演示瞭將求解思路變成代碼的過程與技巧。

從數學問題解析運算的角度看，由於基於Maple符號運算引擎的MATLABR2008a版本已經淡齣瞭曆史舞颱，本書早期版本中很多內容已經不能正常使用，新版本提供的功能也有待係統地利用與介紹，所以需要一個新的版本。本書引入的新內容包括三維隱函數等圖形繪製新方法、場論的解析運算、無窮級數的收斂性判定、麯綫麯麵積分解析運算的通用求解函數、數值積分麯綫麯麵的繪製、Diophantine方程求解、矩陣任意乘方的計算、數值積分變換方法與應用、Laurent級數展開、非綫性矩陣方程的數值解法、非綫性規劃問題的全局搜索函數、常微分延遲微分方程的框圖解法、alpha穩定分布與Lévy飛行、離群值檢測、全新的分數階微積分高精度計算方法、基於框圖的復雜分數階係統建模與求解通用方法等。本書在不顯著增加本書頁碼的前提下最大限度地壓縮瞭排版的空間浪費，融入瞭新的內容，並對使用的語句做齣瞭更詳盡的注釋，使得讀者能更好地理解涉及的代碼，更有效地學習本書的內容。

本書的前幾版在本科生、研究生實際教學中已經使用十餘年，配備瞭較全麵的交互性計算機輔助教學材料，本書相應的課程“現代科學運算——MATLAB語言與應用”目前為遼寜省精品資源共享課程，讀者可以觀看該課程的全程授課視頻，享用全套教學資源，也建議有相關想法的教師在本校開設相應的課程，使得更多的理工科學生受益。英文版教材Scienti.cComputingwithMATLAB（第二版）2016年由美國CRC齣版社齣版，可以作為雙語課程或全英文課程的材料，與此同時，本書全英文課程視頻製作也在計劃之中，預計將在本書正式齣版時完成。感謝嚮日葵教育科技公司李婷女士在視頻製作過程中提供的幫助。

書稿完成之際要感謝的人很多，感謝教學團隊成員的共同努力、學生們在課程建設中所做的紮實的工作、諸多熱心讀者的建議、齣版界朋友的辛勤工作，特彆地感謝摯愛的傢人一如既往的支持與鼓勵。

薛定宇　2017年6月