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周伯壎 著

圖書標籤:

• 同調代數
• 抽象代數
• 代數拓撲
• 數學
• 高等數學
• 代數
• 環論
• 模論
• 範疇論
• 數學教材

店鋪： 北新網圖書專營店

齣版社： 科學

ISBN：9787030006288

商品編碼：19859537540

齣版時間：1988-02-01

基本信息

商品名稱： 同調代數	齣版社： 科學齣版社	齣版時間：1988-02-01
作者：周伯壎	譯者：	開本： 32開
定價： 168.00	頁數：	印次： 1
ISBN號：9787030006288	商品類型：圖書	版次： 1

內容提要

同調代數是本世紀四十年代發展起來的，現在已成為代數學中的重要方 嚮之一．同調代數是代數學中研究群、環、模理論的重要工具，也是研究數學 中其他分支如：代數幾何學、拓撲學、微分幾何、函數論、代數數論的有效工 具． 本書闡述同調代數的基本理論與方法，包括範疇、模、同調、同調函 子與一些環、譜序列等五章，另外還有兩個附錄，闡述正則局部環的理論 與Serre問題． 本書論證嚴格，起點不太高，但較深入，可供學過近世代數的大學生、 研究生及數學工作者參考．

拓撲學概論：從點集到流形 本書旨在為讀者提供一個嚴謹而直觀的拓撲學基礎。拓撲學作為現代數學的一個重要分支，研究的是空間在連續形變下的基本性質，是連接幾何、分析乃至物理學的橋梁。我們試圖以一種循序漸進的方式，引導讀者領略這個迷人領域的精髓。 第一部分：點集拓撲的基石 本部分專注於構建理解拓撲空間的必要工具。我們從最基本的概念——度量空間開始。度量空間提供瞭距離的概念，是理解開集、閉集和收斂性的基礎。我們詳細探討瞭開球、閉球的定義，以及它們如何構成拓撲空間中“開集”和“閉集”的直觀模型。通過大量的實例，如歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 中的標準拓撲，讀者可以建立起對這些基本概念的深刻理解。 緊接著，我們將引入拓撲空間的公理化定義。拓撲是定義在集閤上的一組特殊的開集族，它弱化瞭度量對距離的依賴，從而使得我們可以研究更廣泛的“空間”。我們將重點分析拓撲的等價性，證明拓撲可以由基（Basis）或序（Subbasis）來生成，並探討相對拓撲和商拓撲這兩種構造新拓撲空間的關鍵方法。商拓撲的介紹將涉及如何通過等價關係構造齣具有特定性質的空間，例如圓周 $S^1$ 對直綫 $mathbb{R}$ 的粘閤。 在工具箱中，連續性的概念至關重要。在綫性代數或分析中，連續性與 $epsilon-delta$ 定義緊密相關。在拓撲學中，我們采用更抽象的刻畫：一個函數是連續的，當且僅當它的原像是一個開集。我們還將引入同胚（Homeomorphism）的概念，這是拓撲學中的“等價”關係，意味著兩個空間在拓撲性質上是不可區分的。 為瞭區分不同的拓撲空間，我們需要引入分離公理。從 $T_1$ 空間到豪斯多夫空間（Hausdorff Space，或稱 $T_2$ 空間），我們逐級探討瞭這些分離條件的強大之處。豪斯多夫性是後續許多定理成立的必要前提，它確保瞭極限點和序列的極限在拓撲空間中是唯一的。 隨後，我們深入探討緊緻性（Compactness）。緊緻性是有限性在任意拓撲空間中的推廣。我們證明瞭緊緻性的等價刻畫，例如 Heine-Borel 定理（在有限維歐氏空間中），並探討瞭緊緻集在連續映射下的保持性。緊緻性的概念對於處理積分和優化問題至關重要。 與緊緻性相對的是連通性（Connectedness）。連通性描述瞭一個空間是否可以被“分割”成不相交的開集的並集。我們介紹瞭路徑連通性作為一種更強的連通性概念，並證明瞭在 $mathbb{R}^n$ 中，連通性和路徑連通性是等價的。 最後，在點集拓撲的收尾部分，我們將探討可數性和完備性。可數緊緻性、可數緊性、可數緊緻性之間的微妙區彆將在案例分析中得到澄清。完備性則主要在度量空間中討論，它為分析學中的收斂性提供瞭嚴謹的框架。 第二部分：代數拓撲的初步探索 點集拓撲主要關注空間的局部結構和“形狀”的保持性，但它難以區分具有相同開集結構但“洞”的數量不同的空間，例如圓環和圓盤。代數拓撲正是為瞭解決這一問題而誕生的，它通過構造代數不變量（如群、環）來“度量”空間的拓撲性質。 本部分將讀者引嚮代數拓撲的門檻，重點介紹最基礎且應用最廣泛的工具——基本群（Fundamental Group）。 我們首先引入同倫（Homotopy）的概念，它是路徑之間的連續形變。同倫關係將路徑空間劃分成不同的等價類，這些等價類構成瞭基本群 $pi_1(X, x_0)$。基本群是研究空間中“環路”結構的核心工具。 我們將詳細計算一些基本空間的 $pi_1$： 1. 歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 和凸集： 它們的基本群是平凡群 ${e}$，錶明這些空間中不存在拓撲意義上的“洞”。 2. 圓周 $S^1$： 我們將證明 $pi_1(S^1)$ 是整數群 $mathbb{Z}$，其中每個整數對應於繞圓周的圈數。這是代數拓撲的第一個非平凡、極其重要的結果。 為瞭嚴謹地計算基本群，我們需要發展萬用覆蓋空間（Covering Space）理論。覆蓋空間是拓撲學中一個極其優美的概念，它提供瞭一種將非豪斯多夫空間“展開”成豪斯多夫空間的方法。我們探討瞭覆蓋映射的定義、提升（Lifting）性質，並應用覆蓋空間對應定理，將基本群的計算轉化為對覆蓋空間的簡單組閤計數問題。 第三部分：流形與微分幾何的交匯 在本書的最後，我們將把拓撲學的概念應用於流形（Manifolds）的研究。流形是局部看起來像歐幾裏得空間的拓撲空間，是現代幾何、物理學（如廣義相對論）和微分幾何的語言。 我們定義瞭拓撲流形，並重點介紹瞭光滑流形（Differentiable Manifolds）的概念，即在流形上定義瞭相容的坐標圖集（Atlas）和過渡函數（Transition Maps），使得我們可以進行微積分運算。 本書將以對球麵 $S^n$ 的深入分析收尾，展示拓撲學、幾何學與代數如何在一個統一的框架下運作，為讀者未來深入研究微分幾何、代數拓撲的更高階工具（如奇異同調）打下堅實的基礎。 本書麵嚮具有微積分和綫性代數基礎的讀者，旨在提供一個清晰、連貫且富有啓發性的拓撲學入門體驗。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值在於它為同調代數提供瞭一個堅實且無懈可擊的理論基礎，其構建的數學結構如同精密的瑞士鍾錶。對於那些需要查閱特定定理的嚴謹錶述或證明細節的研究人員來說，這本書無疑是一本絕佳的案頭參考書。作者在處理正閤序列和長正閤序列（Long Exact Sequences）的性質時，邏輯推導幾乎是滴水不漏的，每一小步都經過瞭深思熟慮的檢驗。然而，作為一本“學習”材料，它的節奏感略顯古闆。它更側重於證明和構造的數學純度，而相對忽視瞭這些代數結構與它們在拓撲學、代數幾何乃至數論中應用的聯係。比如，雖然提到瞭奇異同調（Singular Homology），但關於如何使用這些代數工具去真正計算齣某些空間的同調群的“秘訣”或“技巧”並未被充分揭示。整本書讀下來，你學會瞭“如何證明”同調的性質，卻可能仍然在疑惑“如何應用”同調來解決實際的幾何問題。這使得閱讀過程更多地像是一次對理論大廈的“結構考察”，而非一次充滿發現的“旅程”。

評分☆☆☆☆☆

我必須承認，這本書在某些章節的論證嚴謹性上達到瞭令人敬畏的水平，但這種極緻的嚴謹性，在閱讀體驗上卻成瞭一把雙刃劍。作者似乎更傾嚮於“證明什麼”而不是“為什麼這麼做”。比如，當講解到函子（Functors）的性質，特彆是其正閤性（Exactness）時，所有的定義和定理都被包裹在一層層符號邏輯的外衣之下，缺乏對這些結構在更高維度空間中實際“作用力”的描繪。我們被告知它們是“好的”或“壞的”，但很少被溫柔地引導去感受它們在範疇論框架下的內在美感。書中對譜序列（Spectral Sequences）的介紹，是全書中最具挑戰性的部分之一。譜序列本身就是一種高度復雜的收斂工具，而本書的呈現方式，更像是一份為資深研究人員準備的參考手冊，而非一本麵嚮進階學生的教科書。它羅列瞭不同的譜序列（如Serre譜序列或Atiyah-Hirzebruch譜序列），卻很少花篇幅去解釋在什麼情境下應該選擇哪一個，以及它們如何簡化瞭原本復雜的計算。對於希望通過閱讀來建立直覺的讀者而言，這本書提供的更多是精確的路綫圖，而非鼓勵人探索的指南針。

評分☆☆☆☆☆

這本《同調代數》的作者顯然是在試圖搭建一座連接不同數學領域的宏偉橋梁，但從讀者的角度來看，這座橋梁的某些部分似乎還處在基礎結構的搭建階段。全書的敘事節奏把握得相當大膽，開篇便直接切入瞭復雜的概念，對於那些沒有深厚代數拓撲背景的讀者來說，這無疑是一場智力的“速成課”。書中對鏈復形（Chain Complexes）的引入，以及隨後對同調群（Homology Groups）的詳盡闡述，展現瞭作者紮實的理論功底。然而，這種“深度優先”的講解方式，使得初次接觸這些理論的讀者很容易在迷霧中迷失方嚮。特彆是關於射影分解（Projective Resolutions）和內射分解（Injective Resolutions）的部分，雖然數學推導無可指摘，但缺乏足夠直觀的幾何或物理類比支撐，使得抽象的代數結構顯得異常冰冷和難以捉摸。書中在處理特定例子時，例如對球麵同調的計算，雖然步驟清晰，但並未充分展示不同代數工具在解決實際問題時的適用性和局限性，這讓人感覺理論與實踐之間存在著一條不易跨越的鴻溝。整體閱讀體驗像是在攀登一座陡峭的山峰，風景無疑是壯麗的，但過程卻異常艱辛，需要讀者具備極高的專注度和預備知識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和符號體係給我留下瞭非常深刻的印象，它帶著一種古典數學著作的莊重感，同時也夾雜著一些現代化的便捷。頁邊距相對寬裕，為讀者手寫筆記提供瞭充足的空間，這對於需要反復演算的代數主題來說是莫大的福音。然而，在術語的統一性上，我發現瞭一些細微的、但可能影響理解的瑕疵。例如，某些章節使用“拓撲群”的術語，而在後續章節中卻傾嚮於使用更廣義的“李群”概念，並且沒有明確標注這種轉換的必然性，這讓習慣瞭綫性、清晰定義的讀者略感睏惑。內容上，關於導齣範疇（Derived Categories）的討論，是這本書的亮點之一，它巧妙地將同調代數與更現代的代數幾何聯係起來。作者似乎對格羅滕迪剋（Grothendieck）的學說抱有極高的敬意，並試圖將這些前沿思想融入基礎框架中。這種融閤是勇敢的，但對於初學者來說，這就像是嘗試在學習走路時就學習如何進行高空走鋼絲——一旦齣錯，後果將是徹底的迷失。書中對這些高級概念的論述非常精煉，精煉到幾乎沒有給齣任何可以迴溯的“腳手架”。

評分☆☆☆☆☆

閱讀這本關於同調代數的著作，讓我産生瞭一種強烈的“自我審視”感——我是否真的準備好進入這個領域？這本書的選材非常全麵，它涵蓋瞭從基礎的阿貝爾群上同調到更高級的張量積和內積的復雜構造。它的深度是毋庸置疑的，尤其是在處理導齣函子（Derived Functors）的構造性證明時，作者展現瞭非凡的耐心和邏輯清晰度。但這種深度是以犧牲流暢的閱讀敘事為代價的。書中的論證結構往往是“自下而上”地堆砌定義，使得整個理論體係顯得異常龐大和難以消化。例如，在解釋Tor 函子時，作者給齣瞭基於自由分解的定義，隨後又引入瞭基於張量積的替代描述，兩者之間的等價性證明雖然是必要的，但被放置得過於緊湊，以至於讀者很難在腦海中形成一個統一的圖像。這本書更像是為已經掌握瞭基礎抽象代數知識的碩士生或博士生設計的“工具箱”，而非一個引導人進入新世界的“地圖集”。它提供瞭所有必要的零件，但組裝的責任完全落在瞭讀者肩上。