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基本信息
書名:信號與係統實驗教程(MATLAB版)
定價:32.00元
作者:鬍永生,陳鞏
齣版社:科學齣版社有限責任公司
齣版日期:2017-12-01
ISBN:9787030495709
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版次:1
裝幀:平裝
開本:16
商品重量:0.4kg
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內容提要
目錄
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文摘
序言
《數字信號處理導論》 第一章 緒論 數字信號處理(DSP)是現代電子工程、通信、計算機科學、醫學成像、科學研究等眾多領域不可或缺的核心技術。本章將帶領讀者進入數字信號處理的迷人世界,揭示其基本概念、發展曆程、重要應用及其在信息時代扮演的關鍵角色。 1.1 數字信號處理的定義與範疇 數字信號處理是指利用數字計算機或數字信號處理器,對采樣後的連續信號進行一係列數學運算,以達到濾波、變換、分析、壓縮、增強等目的。它與模擬信號處理相對應,後者直接在連續的物理量上進行操作。數字信號處理的核心在於將連續的模擬信號轉換為離散的數字信號,並在數字域內進行處理,最終根據需要將其轉換迴模擬信號。 數字信號處理的範疇十分廣泛,涵蓋瞭信號的錶示、分析、變換、濾波、估計、識彆、壓縮、調製解調以及係統設計等多個層麵。其基本流程通常包括:信號的采集(采樣與量化)、信號的數字處理,以及處理後信號的輸齣(通常是還原成模擬信號或直接用於數字係統)。 1.2 模擬信號與數字信號 理解數字信號處理,首先需要區分模擬信號與數字信號。 模擬信號: 模擬信號是連續變化的物理量,其值在時間和幅度上都可以取無限多個值。例如,聲音在空氣中的傳播、溫度的變化、電壓信號等都是模擬信號。模擬信號通常具有高精度,但容易受到噪聲乾擾,且其處理和存儲相對復雜。 數字信號: 數字信號是將模擬信號在時間和幅度上進行離散化的結果。 采樣(Sampling): 在時間軸上,將連續的模擬信號按照一定的采樣頻率 $f_s$ 周期性地取齣若乾個瞬時值,形成時間上離散的信號。根據奈奎斯特-香農采樣定理,采樣頻率 $f_s$ 必須大於信號最高頻率分量的兩倍(即 $f_s > 2f_{max}$),纔能保證從采樣後的信號中無失真地恢復原始信號。 量化(Quantization): 在幅度軸上,將采樣得到的連續幅值映射到預先定義的有限個離散幅值級彆上。量化過程引入瞭量化誤差,其大小與量化字的位數(比特數)有關。位數越多,量化越精細,量化誤差越小。 編碼(Encoding): 將量化後的離散幅值用二進製數字序列錶示,形成最終的數字信號。 數字信號具有抗乾擾能力強、易於存儲、易於傳輸、易於進行精確運算和實現復雜功能等優點,這也是數字信號處理能夠取代模擬信號處理並得到廣泛應用的重要原因。 1.3 數字信號處理的發展曆程與重要裏程碑 數字信號處理並非憑空齣現,而是建立在數學、信息論、計算機科學等學科發展的基礎之上。 早期探索(20世紀50-60年代): 隨著計算機技術的興起,人們開始嘗試用數字計算機模擬和處理信號,為數字信號處理的萌芽奠定瞭基礎。傅裏葉分析等數學工具為信號的頻譜分析提供瞭理論支持。 理論框架的建立(20世紀60-70年代): 齣現瞭關於離散時間係統、Z變換、離散傅裏葉變換(DFT)等核心理論。 Cooley-Tukey算法(快速傅裏葉變換,FFT)的發明極大地提高瞭DFT的計算效率,使得許多復雜的信號處理算法得以在實時或準實時條件下實現,這是數字信號處理發展史上的一個裏程碑。 應用領域的拓展(20世紀80-90年代): 隨著專用集成電路(ASIC)和數字信號處理器(DSP)芯片的齣現,數字信號處理技術得以從實驗室走嚮實際應用。通信、音頻、視頻、雷達、聲納等領域的創新應用層齣不窮。 邁嚮智能化與高效化(21世紀至今): 機器學習、深度學習等人工智能技術與數字信號處理的融閤,催生瞭更加強大和智能的信號處理方法。並行計算、高性能計算平颱的發展,進一步推動瞭實時、復雜信號處理的實現。 1.4 數字信號處理的主要應用領域 數字信號處理已經深入滲透到現代社會的方方麵麵,其應用領域之廣泛,幾乎無法窮盡。以下列舉幾個典型但重要的應用方嚮: 通信係統: 手機通信(如4G、5G)、Wi-Fi、衛星通信、有綫電視等都需要強大的數字信號處理能力來完成信號的調製、解調、編碼、解碼、信道均衡、噪聲抑製等任務。 音頻處理: MP3、AAC等音頻編碼壓縮標準;降噪耳機、迴聲消除技術;音樂閤成、語音識彆、語音閤成;數字音頻工作站(DAW)等。 圖像與視頻處理: 數字相機、攝像機的圖像采集與處理;圖像壓縮(如JPEG、MPEG);圖像增強、去噪、銳化、復原;人臉識彆、目標跟蹤;醫學影像(X光、CT、MRI)的重建與分析;視頻編解碼等。 生物醫學工程: 心電圖(ECG)、腦電圖(EEG)、肌電圖(EMG)等生理信號的采集、濾波與分析;醫學影像的處理與診斷;醫療設備的設計與控製。 控製係統: 現代工業自動化、機器人控製、航空航航天飛行控製等都依賴於精確的數字信號處理來實現對係統的建模、分析與實時控製。 科學儀器與測量: 各種傳感器數據的采集與處理;高精度測量儀器(如示波器、頻譜分析儀)的核心技術;地質勘探、氣象預報中的數據分析。 信息安全: 數字水印、數據加密、安全通信等。 金融與經濟: 金融數據分析、趨勢預測。 1.5 數字信號處理在工程實踐中的意義 在工程實踐中,掌握數字信號處理技術意味著能夠: 提高信號質量: 通過濾波、去噪等技術,有效去除乾擾,提升信號的可用性。 實現高效的數據傳輸與存儲: 利用壓縮編碼技術,減小數據量,提高傳輸速率和存儲效率。 設計更強大、更靈活的係統: 數字係統的靈活性遠超模擬係統,軟件定義的功能使得係統升級和修改更加便捷。 解鎖復雜功能的實現: 許多高度復雜的功能,如語音識彆、圖像識彆,隻能通過數字信號處理來實現。 推動技術創新: 數字信號處理是許多新興技術(如人工智能、物聯網)的基礎支撐。 本教程將圍繞數字信號處理的核心概念、經典算法和實際應用展開。我們將從離散時間信號與係統的基本理論入手,深入探討傅裏葉分析在信號處理中的作用,進而介紹濾波器設計、譜估計等關鍵技術,並結閤實際的工程問題,展示數字信號處理在解決實際問題中的強大力量。學習數字信號處理,不僅是掌握一項技術,更是理解信息時代運作機製的關鍵一步。 第二章 離散時間信號與係統 數字信號處理的核心在於對離散時間信號進行分析和處理。本章將首先介紹離散時間信號的錶示與分類,然後深入探討離散時間係統的基本性質、錶示方法以及其重要的數學工具——Z變換。 2.1 離散時間信號 離散時間信號是指在時間上是離散的信號,其值可以是連續的(稱為離散時間連續幅值信號)或離散的(稱為離散時間離散幅值信號)。在數字信號處理中,我們通常討論的是後者,即已經被采樣和量化後的信號。 2.1.1 離散時間信號的錶示 離散時間信號通常用序列錶示,記作 $x[n]$,其中 $n$ 是離散的時間指數,通常取整數值。 單位衝激信號(Unit Impulse Signal): $ delta[n] = egin{cases} 1, & n=0 \ 0, & n
eq 0 end{cases} $ 單位衝激信號是離散時間信號中最基本也是最重要的信號之一,它在 $n=0$ 時取值為1,在其他所有時刻取值為0。其關鍵性質是“抽樣性質”:$x[n]delta[n-n_0] = x[n_0]delta[n-n_0]$,以及 $sum_{n=-infty}^{infty} x[n]delta[n-n_0] = x[n_0]$。 單位階躍信號(Unit Step Signal): $ u[n] = egin{cases} 1, & n geq 0 \ 0, & n < 0 end{cases} $ 單位階躍信號在 $n=0$ 及之後的所有時刻取值為1,在 $n<0$ 時取值為0。單位衝激信號是單位階躍信號的差分:$delta[n] = u[n] - u[n-1]$。反之,單位階躍信號是單位衝激信號的纍加:$u[n] = sum_{k=-infty}^{n} delta[k]$。 指數信號(Exponential Signal): $ x[n] = a^n $ 其中 $a$ 可以是實數或復數。 若 $a$ 為實數,$a^n$ 錶示增長或衰減的指數序列。例如,$a=2$ 時,序列為 $1, 2, 4, 8, dots$;$a=0.5$ 時,序列為 $1, 0.5, 0.25, 0.125, dots$。 若 $a$ 為復數,$a = r e^{jomega_0}$,則 $x[n] = (r e^{jomega_0})^n = r^n e^{jomega_0 n}$。這可以分解為幅度項 $r^n$ 和復指數項 $e^{jomega_0 n}$。復指數信號 $e^{jomega_0 n}$ 是周期信號的基礎。 周期信號(Periodic Signal): 如果存在一個正整數 $N_0$ 使得對於所有的 $n$,都有 $x[n+N_0] = x[n]$,則稱信號 $x[n]$ 是周期信號,其最小正周期為 $N_0$。 例如,餘弦信號 $x[n] = cos(omega_0 n)$ 是周期信號當且僅當 $omega_0/(2pi)$ 是有理數,即 $omega_0 = frac{2pi k}{N_0}$,其中 $k$ 和 $N_0$ 是整數。 2.1.2 離散時間信號的分類 離散時間信號可以從多個角度進行分類: 能量信號(Energy Signal)與功率信號(Power Signal): 能量信號: 信號的瞬時能量 $E = sum_{n=-infty}^{infty} |x[n]|^2 < infty$。這類信號的能量是有限的,例如,有限長度的信號或指數衰減的信號。 功率信號: 信號的平均功率 $P = lim_{N o infty} frac{1}{2N+1} sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2 < infty$。周期信號通常是功率信號,因為它們的平均功率是有限的。 奇偶信號(Even and Odd Signals): 偶信號: $x[-n] = x[n]$ for all $n$。例如,單位衝激信號 $delta[n]$,餘弦信號 $cos(omega_0 n)$。 奇信號: $x[-n] = -x[n]$ for all $n$。例如,正弦信號 $sin(omega_0 n)$。 任何離散時間信號都可以分解為一個偶信號和一個奇信號的和: $ x[n] = x_e[n] + x_o[n] $ 其中 $x_e[n] = frac{1}{2}(x[n] + x[-n])$ 是偶分量, $x_o[n] = frac{1}{2}(x[n] - x[-n])$ 是奇分量。 因果信號(Causal Signal)與非因果信號(Non-causal Signal): 因果信號: 對於所有 $n < 0$,$x[n] = 0$。即信號的輸齣隻依賴於當前的或過去的輸入,不依賴於未來的輸入。 非因果信號: 存在 $n < 0$ 使得 $x[n]
eq 0$。 穩定信號(Stable Signal)與不穩定信號(Unstable Signal): 穩定信號: 如果對於任意有界輸入,輸齣也是有界的(BIBO穩定性),則係統是穩定的。對於信號本身,通常不這樣定義,而是討論係統的穩定性。 2.2 離散時間係統 離散時間係統是指處理離散時間信號的係統。一個係統接收一個或多個輸入信號,並産生一個或多個輸齣信號。 2.2.1 離散時間係統的基本性質 描述一個離散時間係統的行為,可以通過其基本性質來刻畫: 時移不變性(Time-Invariance, TI): 如果輸入信號 $x[n]$ 産生輸齣 $y[n]$,那麼將輸入信號時移 $k$ 個單位,即 $x[n-k]$,産生的輸齣也應該是 $y[n-k]$,即原輸齣的時移版本。 如果 $x[n]
ightarrow y[n]$,則 $x[n-k]
ightarrow y[n-k]$。 綫性性(Linearity): 綫性性包含兩個性質:疊加性(Additivity)和齊次性(Homogeneity)。 疊加性: 如果 $x_1[n]
ightarrow y_1[n]$ 且 $x_2[n]
ightarrow y_2[n]$,則 $x_1[n] + x_2[n]
ightarrow y_1[n] + y_2[n]$。 齊次性: 如果 $x[n]
ightarrow y[n]$,那麼對於任意常數 $c$, $c cdot x[n]
ightarrow c cdot y[n]$。 結閤這兩個性質,則有:如果 $x_1[n]
ightarrow y_1[n]$ 且 $x_2[n]
ightarrow y_2[n]$,那麼 $a cdot x_1[n] + b cdot x_2[n]
ightarrow a cdot y_1[n] + b cdot y_2[n]$,其中 $a$ 和 $b$ 是任意常數。 因果性(Causality): 一個係統是因果的,如果其在時刻 $n$ 的輸齣 $y[n]$ 隻依賴於當前和過去的輸入(即 $x[n], x[n-1], dots$),而不依賴於未來的輸入(即 $x[n+1], x[n+2], dots$)。 若對於任意 $n_0$,在 $[n_0, infty)$ 區間上,如果 $x_1[n] = x_2[n]$,那麼 $y_1[n] = y_2[n]$,則係統是因果的。 穩定性(Stability): 一個係統是穩定的,如果對於所有有界輸入信號,其輸齣信號也是有界的。即,如果 $|x[n]| le M_x < infty$ 對於所有 $n$,則 $|y[n]| le M_y < infty$ 對於所有 $n$。通常討論的是BIBO(Bounded-Input, Bounded-Output)穩定性。 2.2.2 離散時間係統的錶示方法 差分方程(Difference Equation): 許多離散時間係統可以用關於輸入信號 $x[n]$ 和輸齣信號 $y[n]$ 的差分方程來描述。 一個常見的綫性常係數差分方程(Linear Constant Coefficient Difference Equation, LCCD)形式為: $ sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = sum_{m=0}^{M} b_m x[n-m] $ 其中 $a_k$ 和 $b_m$ 是常係數。 例如,$y[n] = x[n] + x[n-1]$ 是一個簡單的差分方程,錶示當前輸齣是當前和前一個輸入之和。 單位脈衝響應(Unit Impulse Response, h[n]): 對於綫性時不變(LTI)係統,其完全的輸入-輸齣關係可以通過其單位脈衝響應 $h[n]$ 來完全錶徵。單位脈衝響應是指當輸入信號為單位衝激信號 $delta[n]$ 時,係統的輸齣信號。 $ h[n] = T{delta[n]} $ 對於LTI係統,任意輸入信號 $x[n]$ 的輸齣 $y[n]$ 可以通過輸入信號與單位脈衝響應的捲積(Convolution)得到: $ y[n] = x[n] h[n] = sum_{k=-infty}^{infty} x[k] h[n-k] $ 這個捲積和公式是LTI係統分析的核心。 係統函數(System Function): Z變換是分析離散時間LTI係統的一個強大工具。通過對差分方程或單位脈衝響應進行Z變換,可以得到係統的係統函數 $H(z)$。 對於LTI係統,若其單位脈衝響應為 $h[n]$,則其Z變換為: $ H(z) = Z{h[n]} = sum_{n=-infty}^{infty} h[n] z^{-n} $ 係統函數 $H(z)$ 是輸入信號的Z變換 $X(z)$ 與輸齣信號的Z變換 $Y(z)$ 之比: $ H(z) = frac{Y(z)}{X(z)} $ 係統函數包含瞭係統的所有動態信息,並且在頻率響應分析、濾波器設計等方麵具有重要作用。 2.3 Z變換 Z變換是離散時間信號和係統分析的基石,它將一個離散時間序列變換到一個復變量 $z$ 的函數,從而將時域的運算(如捲積)轉化為頻域(復頻域)的代數運算,極大地簡化瞭分析過程。 2.3.1 Z變換的定義 一個離散時間信號 $x[n]$ 的雙邊Z變換(Bilateral Z-transform)定義為: $ X(z) = Z{x[n]} = sum_{n=-infty}^{infty} x[n] z^{-n} $ 其中 $z$ 是一個復變量,可以錶示為 $z = r e^{jomega}$,其中 $r$ 是幅度,$omega$ 是角度。 2.3.2 收斂域(Region of Convergence, ROC) Z變換不一定對所有的 $z$ 值都收斂。收斂域(ROC)是指使Z變換級數收斂的 $z$ 值的集閤。ROC是Z變換的重要組成部分,因為它包含瞭關於信號性質(如因果性、穩定性)的重要信息。 ROC的性質: 1. ROC不包含原點。 2. ROC是一個圓盤或其外部(包括圓周),或者是一個圓環,或者是一個扇形區域。 3. ROC不包含任何零點或極點。 4. 如果 $x[n]$ 是有限長信號,則ROC是整個z平麵,除瞭可能包含z=0或z=∞。 5. 對於一個穩定LTI係統,其ROC必須包含單位圓($|z|=1$)。 6. 對於因果LTI係統,其ROC通常是 $|z| > R_{max}$ 的形式。 7. 對於反因果LTI係統,其ROC通常是 $|z| < R_{min}$ 的形式。 2.3.3 Z變換的性質 Z變換具有一係列重要的性質,極大地便利瞭信號和係統的分析: 綫性性: $Z{a x_1[n] + b x_2[n]} = a X_1(z) + b X_2(z)$ 時移性: $Z{x[n-k]u[n-k]} = z^{-k} X(z)$ (對於因果信號的時移) $Z{x[n-k]} = z^{-k} X(z)$ (適用於任何信號,但ROC會改變) 常數乘法: $Z{a^n x[n]} = X(z/a)$ 時間反轉: $Z{x[-n]} = X(1/z)$ 捲積定理: $Z{x[n] h[n]} = X(z) H(z)$ (這是Z變換在係統分析中最強大的性質之一) 微分性質: $Z{n x[n]} = -z frac{dX(z)}{dz}$ 周期移位: $Z{x[n-N]} = z^{-N} X(z)$ 初始值定理(Initial Value Theorem): $x[0] = lim_{z o infty} X(z)$ (僅適用於因果信號) 終值定理(Final Value Theorem): $lim_{n o infty} x[n] = lim_{z o 1} (z-1) X(z)$ (要求ROC包含單位圓,且 $(z-1)X(z)$ 在 $z=1$ 處沒有極點) 2.3.4 Z變換的反變換 Z變換的反變換(Inverse Z-transform)是將 $X(z)$ 轉換迴時域信號 $x[n]$ 的過程。常用的方法包括: 部分分式展開法(Partial Fraction Expansion): 將 $X(z)/z$ 或 $X(z)$ 錶示為若乾項之和,然後查錶得到 $x[n]$。 留數定理法(Residue Theorem): 利用復變函數中的留數定理進行積分計算。 長除法(Long Division): 當 $X(z)$ 是有理函數時,可以通過長除法得到 $X(z)$ 的冪級數展開,從而直接讀齣 $x[n]$。 2.3.5 離散傅裏葉變換(DFT)與Z變換的關係 離散傅裏葉變換(DFT)是Z變換在單位圓 $|z|=1$ 上的取值: $ X(e^{jomega}) = sum_{n=-infty}^{infty} x[n] e^{-jomega n} $ 如果 $X(z)$ 在單位圓上收斂,那麼 $X(e^{jomega})$ 就是 $X(z)$ 的傅裏葉變換。DFT是連續時間傅裏葉變換(CTFT)的離散化形式,它在頻域分析中至關重要。 2.4 離散時間LTI係統的捲積 如前所述,離散時間綫性時不變(LTI)係統的核心在於其單位脈衝響應 $h[n]$。輸入信號 $x[n]$ 與單位脈衝響應 $h[n]$ 的捲積運算完全描述瞭係統的輸齣 $y[n]$。 $ y[n] = x[n] h[n] = sum_{k=-infty}^{infty} x[k] h[n-k] $ 這個公式的物理意義是:在時刻 $n$ 的輸齣,是當前時刻輸入 $x[n]$ 經過係統響應 $h[0]$ 的貢獻,加上前一時刻輸入 $x[n-1]$ 經過係統響應 $h[1]$ 的貢獻,依此類推,直到無限久遠的過去。 捲積的性質: 交換律: $x[n] h[n] = h[n] x[n]$ 結閤律: $(x[n] h_1[n]) h_2[n] = x[n] (h_1[n] h_2[n])$ 分配律: $x[n] (h_1[n] + h_2[n]) = (x[n] h_1[n]) + (x[n] h_2[n])$ 2.4.1 有限脈衝響應(FIR)與無限脈衝響應(IIR)係統 根據單位脈衝響應 $h[n]$ 的長度,LTI係統可以分為兩種類型: 有限脈衝響應(Finite Impulse Response, FIR)係統: 如果 $h[n]$ 是有限長的,即存在整數 $N$ 使得對於所有 $n > N$ 或 $n < 0$,都有 $h[n]=0$,則該係統稱為FIR係統。 FIR係統的差分方程通常隻包含輸入項,輸齣不依賴於過去的輸齣。 $ y[n] = sum_{m=0}^{M} b_m x[n-m] $ FIR係統具有一些優點,如係統總是穩定的,並且可以通過調整係數精確地設計綫性相位響應。 無限脈衝響應(Infinite Impulse Response, IIR)係統: 如果 $h[n]$ 是無限長的,則該係統稱為IIR係統。 IIR係統通常由包含過去輸齣項的差分方程描述: $ sum_{k=0}^{N} a_k y[n-k] = sum_{m=0}^{M} b_m x[n-m] $ IIR係統可以實現更陡峭的頻率選擇性,在達到相同性能指標時,通常需要更少的係統階數(係數數量),從而節省計算資源。然而,IIR係統可能存在穩定性問題,且相位響應通常是非綫性的。 本章為後續深入學習數字信號處理奠定瞭堅實的理論基礎,包括對離散時間信號的理解,對離散時間係統的基本性質和錶示方法的掌握,以及Z變換這一強大的數學工具。接下來的章節將在此基礎上,進一步探討信號的頻譜分析、濾波器設計等更高級的主題。