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內容簡介

　　《簡明微積分》是普通高等教育“十五”國傢規劃教材，是在第三版的基礎上，根據作者近年來的教學經驗及教學信息反饋修訂而成。作者將一些章節進行瞭修改和補充，擴大瞭應用實例的範圍，突齣瞭數學思想的理解，便於讀者更好地深入瞭解和掌握課程內容。教材將微分與積分、連續與離散、有限與無限等視為矛盾，在強調嚴格應用數學語言的同時，形象地介紹瞭它們之間的聯係與區彆。全書以Newton-Leibniz關於微積分的基本定理及其高維情形的相應Stokes定理為核心貫串始終，觀點新穎而深入，在眾多微積分教材中可謂獨樹一幟。《簡明微積分》自1978年一版問世以來，一直在中國科學技術大學作為教本，得到非常高的評價。《簡明微積分》在內容安排上較其他通用教材有所區彆，共分十一章：微積分的概念，微積分的運算，微積分的一些應用，常微分方程，矢量代數與空間解析幾何，重積分與偏微商，綫、麵積分與外微分形式，多變量微積分的一些應用，ε-δ語言，無窮級數與無窮積分，Fourier級數與Fourier積分。教材集作者多年極為豐富的教學和科研經驗之大成，將經過廣泛教學實踐檢驗的成果精心編纂，對廣大微積分教學工作者具有很高的參考價值，可供高等學校理工類專業學生選用或參考，也可供有關人員學習參考。

目錄

第一章 微積分的概念
1．1 函數與極限
1．1．1 數列極限與函數極限
1．1．2 連續函數
1．2 定積分
1．2．1 計算麵積
1．2．2 定積分的定義
1．2．3 對數函數y=1nx
1．3 微商與微分
1．3．1 麯綫的切綫
1．3．2 速度．密度
1．3．3 微商的定義
1．3．4 微分
1．3．5 微分中值定理
1．4 微積分基本定理

第二章 微積分的運算
2．1 微分法
2．1．1 微商與微分的計算
2．1．2 高階微商與高階微分
2．1．3 利用微分作近似計算
2．2 積分法
2．2．1 不定積分的計算
2．2．2 定積分的計算
2．2．3 定積分的近似計算

第三章 微積分的一些應用
3．1 麵積．體積．弧長
3．1．1 麵積
3．1．2 體積
3．1．3 弧長
3．2 麯綫的描繪
3．2．1 函數圖形的上升和下降
3．2．2 函數圖形的凹與凸
3．2．3 麯綫的漸近綫
3．2．4 描繪圖形的例子
3．2．5 麯率
3．3 Taylor(泰勒）展開與極值問題
3．3．1 Taylor(泰勒）展開式
3．3．2 極值問題
3．4 物理應用舉例

第四章 常微分方程
4．1 一階微分方程
4．1．1 概念
4．1．2 分離變量
4．1．3 綫性方程
4．2 二階微分方程
4．2．1 可降階的方程
4．2．2 二階綫性方程
4．2．3 常係數綫性方程
4．2．4 質點振動
4．2．5 n階綫性微分方程與常微分方程組

第五章 矢量代數與空間解析幾何
5．1 空間直角坐標係與矢量
5．1．1 直角坐標係
5．1．2 矢量的加法與數乘
5．2 矢量的乘積
5．2．1 矢量的內積
5．2．2 矢量的外積
5．2．3 矢量的混閤積
5．3 平麵與直綫
5．3．1 平麵方程
5．3．2 直綫方程
5．4 二次麯麵
5．4．1 柱麵
5．4．2 鏇轉麯麵
5．4．3 錐麵
5．4．4 橢球麵
5．4．5 雙麯拋物麵
5．4．6 單葉雙麯麵
5．4．7 雙葉雙麯麵
5．4．8 橢圓拋物麵
5．5 坐標變換
5．5．1 坐標係的平移
5．5．2 坐標係的鏇轉

第六章 重積分與偏微商
6．1 重積分
6．1．1 多變量函數的極限與連續性
6．1．2 重積分的概念
6．1．3 重積分的計算
6．2 偏微商
6．2．1 偏微商與全微分
6．2．2 隱函數的微商
6．3 Jacobi(雅可比）行列式．麵積元素與體積元素
6．3．1 Jacobi(雅可比）行列式的性質
6．3．2 麵積元素與體積元素

第七章 綫．麵積分與外微分形式
7．1 數量場與矢量場
7．1．1 數量場的等值麵與梯度
7．1．2 矢量場的流綫
7．2 麯綫積力
7．2．1 第一種麯綫積分(關於弧長的麯綫積分）
7．2．2 第一種麯綫積分的應用(鏇轉麯麵的麵積）
7．2．3 第二種麯綫積分(關於弧長元素投影的積分）
7．2．4 第二種麯綫積分的計算方法
7．2．5 兩種麯綫積分的關係
7．2．6 矢量場的環流量，矢量的麯綫積分
7．3 麯麵積分
7．3．1 第一種麯麵積分(關於麵積元素的麯麵積分）
7．3．2 矢量場的通量，第二種麯麵積分(關於麵積元素投影的積分）
7．3．3 第二種麯麵積分的計算方法
7．4 Stokes公式
7．4．1 Green公式
7．4．2 Gauss公式．散度
7．4．3 Stokes公式．鏇度
7．5 全微分與綫積分
7．5．1 與途徑無關的麯綫積分
7．5．2 有勢場
7．5．3 管型場
7．6 外微分形式
7．6．1 外乘積．外微分形式
7．6．2 外微分運算Poincare引理及其逆
7．6．3 梯度．鏇度與散度的數學意義
7．6．4 多變量微積分的基本定理(Stokes公式）

第八章 多變量微積分的一些應用
8．1 Taylor(泰勒）展開與極值問題
8．1．1 多變量函數的Taylor展開
8．1．2 多變量函數的極值問題
8．1．3 條件極值問題
8．2 物理上的應用舉例
8．2．1 重心．轉動慣量與引力
8．2．2 流體動力學的完全方程組
8．2．3 聲的傳播
8．2．4 熱的傳導

第九章 ε-δ語言
9．1 數列極限的ε-N語言
9．1．1 數列極限的定義
9．1．2 數列極限的一些性質
9．1．3 極限存在的判彆準則
9．2 函數連續性的ε-δ語言
9．2．1 連續趨限
9．2．2 連續函數的定義
9．2．3 連續函數的一些基本性質
9．2．4 函數的一緻連續性
9．3 定積分的存在性
9．3．1 Darboux和
9．3．2 連續函數的町積性
9．3．3 定積分概念的推廣

第十章 無窮級數與無窮積分
10．1 數項級數
10．1．1 基本概念
10．1．2 一些收斂判彆法
10．1．3 條件收斂級數
10．2 函數項級數
10．2．1 無窮次相加産生的問題
10．2．2 一緻收斂函數列
10．2．3 一緻收斂函數項級數
10．2．4 隱函數存在定理
10．2．5 常微分方程解的存在性與唯一性
10．3 冪級數與Taylor級數
10．3．1 冪級數的收斂半徑
10．3．2 冪級數的性質
10．3．3 Taylor級數
10．3．4 冪級數的應用
10．4 無窮積分與含參變量積分
10．4．1 無窮積分的收斂判彆法
10．4．2 含參變量的積分
10．4．3 含參變量的無窮積分
10．4．4 幾個重要的無窮積分

第十一章 Follrier級數與Fourier積分
11．1 Fourier級數
11．1．1 三角函數係的正交性
11．1．2 Bessel不等式
11．1．3 Fourier級數的收斂判彆法
11．2 Fourier積分
11．2．1 Fourier積分
11．2．2 Fourier變換
11．2．3 Fourier變換的應用
11．2．4 高維Fourier變換
習題答案

前言/序言

　　已齣版的微積分教材有很多很多種瞭，那麼我為何還要再寫一本？這得從1958年中國科學技術大學成立說起。
為瞭籌建中國科學技術大學，1958年我從中國科學院數學研究所調到中國科學技術大學教書。到學校後，大多數時間教的是非數學專業的高等數學，即微積分。教瞭8年之後，逐漸對微積分這門學科與這門課程，産生瞭一些想法與看法。於是在1965年，在中國科學技術大學近代物理係搞瞭一個試點班，所寫的講義就是本書的初稿。由於十年浩劫，教材直到1978年纔由人民教育齣版社正式齣版第一冊，然後齣版第二冊，到1981年齣版第三冊，於是完成瞭本書的第一版。1992年、1997年由中國科學技術大學齣版社分彆齣版瞭第二版與第三版。現在十分高興地得知本書能作為“普通高等教育‘十五’國傢級規劃教材”，由高等教育齣版社齣版第四版。
這本教材從1978年第一版齣版後，一直在中國科學技術大學等高校作為教材，沿用至今，已有27年瞭。
至於1965年我對微積分這門學科與這門課程的想法與看法是什麼？我於1965年寫瞭一篇短文，題為《對高等數學課程改革的一些嘗試》，刊登在《自然辯證法研究通訊》1966年第一期上，對此作瞭一個十分簡要的說明，這當然不可能引起人們的注意。直到30年後的1995年，我在中國科學技術大學數學係的一次教學研討會上，講瞭為何30年前我要寫這本微積分教材以及對微積分這門學科、這門課程的一些看法與想法時，大多數教員說從未聽過。後來我又在多次有關會議及多所大學講瞭這個課題，在同行們的鼓勵下，以1966年刊登在《自然辯證法研究通訊》上那篇短文為基礎，加以擴展與充實，寫成瞭一本很小的小冊子《話說微積分》，於1998年由中國科學技術大學齣版社齣版。此書後來流傳較廣，引起瞭不少人的關注。我的另一本小書《微積分雜談》，於2002年由科學技術文獻齣版社齣版，這將我那些年刊登過的有關對微積分的論述的文章匯集而成。
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龔老師的書，非常值得一讀

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沒用。給本科生看沒用，研究生看更沒用。

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很適閤用來入門微積分

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