数论及其应用/北京大学数学丛书 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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李文卿 著

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• 数学丛书
• 数论应用
• 解析数论
• 代数数论
• 密码学

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301041697

版次：1

商品编码：10076142

包装：平装

开本：32开

出版时间：2001-03-01

页数：372

正文语种：中文

内容简介

　　本书是作者在英文版《Number theory with application》一书（新加坡世界科学出版社1996年出版）的基础上增补而成。与现行的关于数论的大量专著不同（那些专著通常只讲述某一个方向上的深刻结果），本书系统连贯地讲述了有限域上的Riemann假设（Weil猜想）、函数域上的Riemann-Roch定理、Zeta函数和L-函数、特征和估计、（复）模形式、自守表示及其在通讯上的应用。本书阐述线索清晰，使读者能顺利地理解现代代数数论的解析理论中的重要部分的来龙去脉。本书也比较容易阅读：对于可以用初等方法证明的大量结果给出了完整的证明；对于较艰深的内容则给出适当的参考文献，以便有兴趣的读者进一步学习。这种专著目前尚不多见。奉书可作为代数数论方向研究生的教科书，也可以作为代数数论、解析数论、表示论、函数论，以及通讯理论方向的学者及研究生的参考文献。作者李文卿教授于70年代在美国Berkeley获博士学位，从事数论方向研究已有二十多年的经历，现任美国Pennsylvania州立大学教授，是世界知名的数学家。

目录

前言
第一章有限城
1有限域的结构
2有限域的扩张
3特征标
4有限域上的特征标及GaUSS和
5Davenport-Hasse等式
参考文献
第二章Weil猜想
1有限域上方程的解数
2Weil猜想
3Weil猜想的上同调解释
4zeta函数的Euler积
参考文献
第三章局部域和整体域
1赋值和局部域
2赋值的扩张
3阿代尔和伊代尔
参考文献
第四章Riemann-Roch定理
1限制直积的特征标
2标准加法特征标
3对偶
4memann-Roch定理
5有限域上曲线点的个数的计算
参考文献
第五章Zeta函数和乙-函数
1伊代尔类特征标的占·函数
2Fourier变换
3Z(s，X，)的解析开拓和函数方程
4K的zeta函数(定理1的证明)
5具有非平凡特征标X的上-函数L(s，X)(定理2的证明)
参考文献
第六章特征和估计与伊代尔类特征标
1L-函数的根
2Weil的特征和估计
3特征和的估计
4一般形式的Davenport-Hasse等式
5曲线的zeta函数
参考文献
第七章模形式理论
1模形式
2Hecke算子
3空间M(N，k，X)的结构
4函数方程
参考文献
第七章附录：模形式的构造
1.全模群上的模形式
2.同余子群上的模形式
3.theta级数
附加参考文献
第八章自守形式和自守表示
1守形式
2F是非Archimedes局部域时GL2(F)的表示
3F是Archimedes局部域时GL2(F)的表示
4GL2的自守表示
5四元数群的表示
参考文献
第九章应用
1扩展图，Kazhdan性质T和特征值
2正则图的谱
3由四元数群构造Ramanujan图
4由有限交换群构造Ramanujan图
5由有限非交换群构造Ralilanujan图
6Alon-Boppana定理的两个证明
7极限分布
8在p处具有整特征值尖点形式空间维数大小的估计
参考文献
索引

前言/序言

《解析数论》 本书是为对数论的深入研究感兴趣的数学专业本科生和研究生量身打造的教材。它聚焦于解析数论这一分支，该分支利用微积分、复分析以及更广泛的分析工具来解决数论中的问题。 内容梗概： 本书从数论的基础概念出发，逐步引入解析方法的精髓。开篇将回顾一些基本的数论知识，包括整除性、同余、平方剩余以及狄利克雷卷积等，为后续更高级的讨论打下基础。 接着，本书将详细阐述素数的分布规律。这部分是解析数论的核心内容之一。我们将深入探讨著名的黎曼 Zeta 函数，理解其在刻画素数分布中的关键作用。读者将学习到如何利用 Zeta 函数的性质来证明一些重要的定理，例如关于素数定理的各种表述和证明方法。我们将探讨小于给定数 $x$ 的素数个数函数 $pi(x)$ 的渐近行为，以及其他与素数分布相关的函数。 此外，本书还将涉及狄利克雷（Dirichlet）卷积以及它在数论函数中的应用。狄利克雷卷积是一种重要的代数结构，它能够统一地看待许多数论函数，例如欧拉函数 $phi(n)$、莫比乌斯函数 $mu(n)$ 以及除数函数 $sigma_k(n)$ 等。我们将利用狄利克雷卷积来推导和证明与这些函数相关的各种恒等式和性质。 本书还将介绍狄利克雷特征（Dirichlet characters）及其在狄利克雷定理中的作用。狄利克雷定理是关于在等差数列中存在无穷多个素数的重要结论，其证明依赖于狄利克雷特征和L-函数。我们将详细讲解这些概念，并展示它们如何帮助我们理解素数在特定算术数列中的分布。 对于复分析在数论中的应用，本书将进行专门的阐述。我们将学习如何利用复变函数的留数定理、解析延拓等工具来研究数论函数的性质。例如，通过对 Zeta 函数进行复积分，可以得到关于素数分布的更精细的结果。 本书还可能触及一些更高级的主题，具体取决于所选的侧重点，例如： 平方和问题： 如何用解析方法研究整数表示为两个平方数之和的问题。 超越数论： 简介超越数论中的一些基本概念和早期成果。 算术函数方程： 探讨算术函数满足的各种函数方程及其解析性质。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 掌握解析数论的核心概念和基本工具。 理解素数分布的深刻规律，并能运用解析方法进行分析。 熟悉狄利克雷卷积和狄利克雷特征在数论中的应用。 了解复分析在解决数论问题中的强大力量。 为进一步研究数论的更前沿领域打下坚实的基础。 本书的语言风格严谨且清晰，力求在保持数学严谨性的同时，便于读者理解。理论推导力求详尽，同时配有适度的例子和练习，以帮助读者巩固所学知识，培养独立思考和解决问题的能力。 适用读者： 对数论有浓厚兴趣的数学专业本科高年级学生。 希望深入学习解析数论的研究生。 希望了解解析数论在其他数学分支中应用的数学研究者。 对数论的深刻思想感到好奇的数学爱好者。 本书的目标是引领读者进入一个充满智慧和挑战的数论世界，感受数学的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，在我看来，远不止于学习数论知识本身。它更像是一扇窗，让我得以窥见数学这座宏伟殿堂的一角。作者的叙述方式，充满了智慧和启迪。他并没有简单地罗列公式和定理，而是深入浅出地阐述了每一个概念的由来、发展和应用。例如，在讲到素数分布时，作者不仅仅给出了相关的定理，还会结合历史上的数学家们是如何一步步逼近素数分布的规律，这种带有故事性的讲解，让原本枯燥的数学知识变得鲜活起来。我尤其喜欢书中对于一些“为什么”的追问，它引导读者主动思考，而不是被动接受。这种鼓励独立思考的教学方法，对于培养批判性思维至关重要。我常常在读完一章后，会停下来思考作者提出的问题，并尝试自己去解答，这个过程让我对数论的理解更加深刻。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的，是一种潜移默化的影响。我发现自己开始更加关注生活中的一些数学现象，并尝试用数论的思维去分析它们。作者的讲解方式非常注重引导读者主动思考，他不会直接给出答案，而是通过一系列的问题和启发，引导读者自己去探索和发现。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学理念，让我受益匪浅。我尤其喜欢书中在介绍一些重要的数论函数时，会详细地分析它们的性质，以及它们在数论研究中的作用。例如，在介绍欧拉函数时，作者会详细阐述它与同余方程解的数量的关系，并进一步引申到其在群论中的应用，这让我看到了数论与其他数学分支的紧密联系。

评分☆☆☆☆☆

《数论及其应用/北京大学数学丛书》给我带来了一种全新的学习体验。我过去对数论的认识，大多停留在课本上的零散知识点，而这本书则将这些知识点系统地串联起来，形成了一个完整的知识体系。作者的讲解非常到位，他善于运用各种比喻和类比，将抽象的数学概念具象化，使得理解起来毫不费力。我尤其喜欢书中对于一些应用场景的描述，比如如何利用数论的知识解决实际问题，这让我深刻认识到数学并非只是纸上谈兵，它在我们的生活中扮演着至关重要的角色。例如，在介绍公钥密码学时，作者详细阐述了RSA算法的原理，并解释了它在现代信息安全领域的重要性，这让我对数论的实用价值有了更直观的认识。

评分☆☆☆☆☆

初次翻开这本《数论及其应用/北京大学数学丛书》，扑面而来的便是深厚的学术气息，字里行间流露出严谨与细致。虽然我并非科班出身的数学专业人士，但对知识的好奇心驱使我走进了这个看似晦涩的领域。书中的内容，如同一条条蜿蜒的河流，将我引向一个又一个数学的奇妙世界。从最基础的整除性、同余理论，到一些更为进阶的数论函数、平方剩余，再到那些令人惊叹的丢番图方程，每一个概念的提出都伴随着清晰的定义和详尽的推导。我尤其喜欢作者在讲解定理时，常常会穿插一些历史的典故和数学家的故事，这使得枯燥的公式和证明变得生动有趣，仿佛能看到那些伟大的头脑在思辨的火花中闪耀。例如，在介绍费马小定理时，作者并没有仅仅给出公式，而是追溯了费马的猜想和欧拉的证明过程，以及它在密码学等现代应用中的重要作用，这让我深刻理解了数学理论的演进和生命力。书中对一些经典问题的讨论，如哥德巴赫猜想的背景和研究进展，也让我对数学的无穷魅力有了更深的体会。虽然有些证明步骤依然需要反复研读才能理解，但这恰恰是学习的乐趣所在，每一次的豁然开朗都带来巨大的满足感。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的整体感受是一种循序渐进的学习体验，它并没有一开始就抛出过于复杂的概念，而是从最根本的部分开始，一步步构建起读者的数论知识体系。我特别欣赏书中在引入新概念时，所给出的那些“为什么”的解释。它不只是告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么需要这个”，以及“它能用来做什么”。这种讲解方式对于初学者来说至关重要，能够帮助我们建立起对数论研究价值的初步认识。比如，在讲解同余式时，作者会详细阐述它如何简化关于整除性的复杂问题，以及它在古代计时、日历计算等生活中的实际应用。这种从“理论”到“应用”的逻辑链条，让我更能感受到数学的实用性。书中的习题设计也很有特色，既有巩固基础概念的练习，也有一些挑战思维的难题，对于检验学习成果和深化理解非常有帮助。我尝试着做了一些习题，虽然并非全部能够独立完成，但每一次的思考和探索都让我受益匪浅。那些看似简单的数论问题，背后往往蕴含着深刻的数学思想。

评分☆☆☆☆☆

这本书的文字，对我来说，就像一座座精心搭建的桥梁，引领我跨越看似难以逾越的数学鸿沟。作者的功力体现在他能够将复杂的数学问题，分解成一个个易于理解的模块，然后通过清晰的逻辑，将这些模块重新组合起来，最终呈现出一个完整的图景。我特别喜欢书中对一些“冷知识”的介绍，比如一些数论问题是如何被提出，又是如何影响了数学的发展，这些信息极大地丰富了我对数论的认知。例如，在介绍二次互反律时，作者不仅给出了其复杂的表述，还会穿插介绍高斯当年是如何艰辛地证明这个定理的，以及这个定理在数论研究中的地位。这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，让我对数学的理解更加深刻。

评分☆☆☆☆☆

在阅读《数论及其应用/北京大学数学丛书》的过程中，我常常被作者的洞察力所折服。他能够敏锐地捕捉到数论中最核心、最深刻的思想，并将其以一种清晰、简洁的方式呈现出来。书中的语言，既有学术的严谨，又不失文学的韵味。我尤其喜欢书中对一些历史事件的穿插，它让我在学习数学知识的同时，也了解了数学发展的宏大历程。例如，在介绍一些数论猜想时，作者会回顾这些猜想的提出者，以及后人为了证明它们所付出的努力，这让我对数学研究的艰辛和伟大有了更深的体会。这本书，无疑是我在数学学习道路上的一位良师益友。

评分☆☆☆☆☆

读《数论及其应用/北京大学数学丛书》的过程，更像是一场与数学智慧的对话。我常常在夜深人静的时候，捧着这本书，细细品味其中的每一个字句。作者的语言风格非常朴实，没有华而不实的修饰，但字字珠玑，直击核心。他对每一个概念的定义都力求精确，对每一个证明的逻辑都力求严谨。我尤其佩服书中在讲解一些抽象概念时，所使用的那些生动形象的比喻和类比，这极大地降低了理解的门槛。例如，在介绍模运算时，作者会将其比作时钟上的指针，形象地说明了循环的特性。这种“润物细无声”的教学方法，让我不自觉地被吸引，并逐渐对数论产生了浓厚的兴趣。这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的引导。它教会我如何去分析问题、分解问题，以及如何用严谨的逻辑去论证观点。这种思维训练，对于我日后在任何领域解决问题都会大有裨益。

评分☆☆☆☆☆

我不得不说，这本书是为那些真正热爱数学、愿意深入探索的人准备的。它不像市面上许多“速成”类的书籍，而是需要读者静下心来，一点一滴地去领悟。作者的语言风格非常严谨，一丝不苟。每一个公式的推导都力求简洁明了，每一个定理的证明都力求逻辑严密。这对于我这样对数学有一定要求的人来说，无疑是一种享受。我尤其欣赏书中对于历史背景的介绍，它让我们了解到每一个数学概念的诞生和发展，都离不开前人的智慧和努力。这不仅增加了学习的趣味性，也让我们对数学的敬畏之情油然而生。我常常在读到一些经典定理的证明时，会感到一种“原来如此”的惊叹，这种顿悟的感觉是学习的最大动力。

评分☆☆☆☆☆

在阅读这本书的过程中，我最大的感受是作者对于细节的极致追求。每一个定理的表述，每一个公式的推导，每一个例子的呈现，都经过了反复的打磨和推敲。我能感觉到作者在尽最大努力，将数论中最核心、最本质的内容，以一种最清晰、最易懂的方式呈现给读者。这本书的编排也十分合理，从易到难，层层递进。初学者可以从前面的章节开始，打下坚实的基础，然后逐步挑战更深入的内容。而对于有一定基础的读者，也可以直接跳跃到自己感兴趣的部分，快速获取所需信息。我印象特别深刻的是书中关于丢番图方程的部分，作者不仅介绍了经典方程的解法，还深入探讨了代数数论在解决这类问题中的作用，这让我看到了不同数学分支之间的联系和融合，也拓展了我的视野。

评分☆☆☆☆☆

解析数论的创立当归功于黎曼。他发现了黎曼zeta函数之解析性质与数论中的素数分布问题存在深刻联系。确切的说， 黎曼ζ函数的非平凡零点的分布情况决定了素数的很多性质。黎曼猜测， 那些零点都落在复平面上实部为1/2的直线上。这就是著名的黎曼假设--被誉为千禧年七大世界数学难题之一。值得注意的是， 欧拉实际上在处理素数无限问题时也用到了解析方法。

评分☆☆☆☆☆

7.4　莫比乌斯反演

评分☆☆☆☆☆

3.5　算术基本定理

评分☆☆☆☆☆

这个领域与代数几何之间的关联尤其紧密， 它实际上也构成了交换代数理论的一部分。它也包括了其他深刻内容，比如表示论、p-adic理论等等。

评分☆☆☆☆☆

9.3　原根的存在性

评分☆☆☆☆☆

附录

评分☆☆☆☆☆

7.4　莫比乌斯反演

评分☆☆☆☆☆

本书是作者在英文版 （新加坡世界科学出版社1996年出版）的基础上增补而成。与现行的关于数论的大量专著不同（那些专著通常只讲述某一个方向上的深刻结果），本书系统连贯地讲述了有限域上的Riemann假设（Weil猜想）、函数域上的Riemann-Roch定理、Zeta函数和L-函数、特征和估计、（复）模形式、自守表示及其在通讯上的应用。本书阐述线索清晰，使读者能顺利地理解现代代数数论的解析理论中的重要部分的来龙去脉。本书也比较容易阅读：对于可以用初等方法证明的大量结果给出了完整的证明；对于较艰深的内容则给出适当的参考文献，以便有兴趣的读者进一步学习。这种专著目前尚不多见。本书可作为代数数论方向研究生的教科书，也可以作为代数数论、解析数论、表示论、函数论，以及通讯理论方向的学者及研究生的参考文献。作者李文卿教授于70年代在美国Berkeley获博士学位，从事数论方向研究已有二十多年的经历，现任美国Pennsylvania州立大学教授，是世界知名的数学家。

评分☆☆☆☆☆

7.2　因子和与因子个数