数域上的傅里叶分析 [Fourier Analysis on Number Fields] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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罗摩克里希纳（DinakarRamakrishnan） 著

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• 傅里叶分析
• 数论
• 代数数论
• 调和分析
• 数域
• L函数
• zeta函数
• 表示论
• 谱理论
• 解析数论

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510037511

版次：1

商品编码：10914299

包装：平装

外文名称：Fourier Analysis on Number Fields

开本：24开

出版时间：2011-07-01

页数：350

正文语种：英文

内容简介

This book grew out of notes from several courses that the first author has taught over the past nine years at the California Institute of Technology, and earlier at the Johns Hopkins University, Cornell University, the University of Chicago,and the University of Crete. Our general aim is to provide a modern approach to number theory through a blending of complementary algebraic and analytic perspectives, emphasizing harmonic analysis on topological groups. Our more particular goal is to cover John Tate's visionary thesis, giving virtually all of the necessary analytic details and topological preliminaries——technical prereq-uisites that are often foreign to the typical, more algebraically inclined number theorist. Most of the existing treatments of Tate's thesis, including Tate's own,range from terse to cryptic; our intent is to be more leisurely, more comprehen-sive, and more comprehensible. To this end we have assembled material that has admittedly been treated elsewhere, but not in a single volume with so much detail and not with our particular focus.

内页插图

目录

PREFACE
INDEX OF NOTATION
TOPOLOGICAL GROUPS
1.1 Basic Notions
1.2 Haar Measure
1.3 Profinite Groups
1.4 Pro-p-Groups
Exercises

2 SOME REPRESENTATION THEORY
2.1 Representations of Locally Compact Groups
2.2 Banach Algebras and the Gelfand Transform
2.3 The Spectral Theorems
2.4 Unitary Representations
Exercises

3 DUALITY FOR LOCALLY COMPACT ABELIAN GROUPS
3.1 The Pontryagin Dual
3.2 Functions of Positive Type
3.3 The Fourier Inversion Formula
3.4 Pontryagin Duality
Exercises

4 THE STRUCTURE OF ARITHMETIC FIELDS
4. I The Module of an Automorphism
4.2 The Classification of Locally Compact Fields
4.3 Extensions of Local Fields
4.4 Places and Completions of Global Fields
4.5 Ramification and Bases
Exercises

5 ADELES, IDELES, AND THE CLASS GROUPS
5.1 Restricted Direct Products, Characters, and Measures
5.2 Adeles, Ideles, and the Approximation Theorem
5.3 The Geometry of Ar/K
5.4 The Class Groups
Exercises

6 A QUICK TOUR OF CLASS FIELD THEORY
6.1 Frobenius Elements
6.2 The Tchebotarev Density Theorem
6.3 The Transfer Map
6.4 Artin's Reciprocity Law
6.5 Abelian Extensions of Q and Qp
Exercises

7 TATE'S THESIS AND APPLICATIONS
7.1 Local （-Functions
7.2 The Riemann-Roch Theorem
7.3 The Global Functional Equation
7.4 Hecke L-Functions .
7.5 The Volume of C and the Regulator
7.6 Dirichlet's Class Number Formula
7.7 Nonvanishing on the Line Re（s）——I
7.8 Comparison of Hecke L-Functions
Exercises

APPENDICES
Appendix A: Normed Linear Spaces
A. 1 Finite-Dimensional Normed Linear Spaces
A.2 The Weak Topology
A.3 The Weak-Slat Topology
A.4 A Review of LP-Spaces and Duality
Appendix B: Dedekind Domains
B.1 Basic Properties
B.2 Extensions of Dedekind Domains
REFERENCES
INDEX

前言/序言

数域上的傅里叶分析：深度探究与应用拓展 本书旨在为数学研究者、高年级本科生及研究生提供一个深入探讨数域背景下傅里叶分析的综合性教材与参考手册。不同于在实数域或复平面上进行的经典傅里叶分析，本书将焦点置于代数数论的深层结构之上，探讨如何将傅里叶分析的思想和工具推广、适应于由有理数域扩充而成的各种数域环境，特别是代数数域（Algebraic Number Fields）及其相关的函数域。 全书结构严谨，内容涵盖了从基础概念的建立到前沿研究课题的探讨，力求在理论的普适性与实际应用的精确性之间取得平衡。 第一部分：基础理论的重构与数域背景的引入 在本书的开篇，我们将首先回顾经典傅里叶分析的基石——欧几里得空间上的傅里叶变换及其在 $mathbb{R}^n$ 上的性质，并迅速过渡到更具一般性的拓扑群上的调和分析概念。然而，真正的核心在于对代数数域的精确刻画。 第一章：代数数域基础回顾 本章将简要复习代数数论的必要背景，包括：域扩张、环 of 整数 $mathcal{O}_K$ 的结构、判别式、理想的唯一分解（特别是主理想域的推广——Dedekind 环），以及单位群的结构（Dirichlet 单位定理）。理解这些代数结构是构建数域上傅里叶分析的先决条件。 第二章：局部场与阿代尔结构 傅里叶分析的成功在很大程度上依赖于局部结构。因此，本书重点分析局部域 $mathbb{Q}_p$（p-adic 域）和实数域 $mathbb{R}$ 构成的阿代尔环 $mathbb{A}_K$。我们将详细讨论局部域上的加性群的拓扑结构，如 $mathbb{Q}_p$ 的紧致性、离散性，以及对 $mathbb{Q}_p$ 上局部加性群的Pontryagin 对偶。这为在全局域（数域 $K$）上构建全局傅里叶分析奠定了基础。 第三章：数域上的特征与狄利克雷字符 傅里叶分析的核心是利用群的特征（Characters）进行分解。在有限域上，这是狄利克雷字符；在全局数域 $K$ 上，我们需要推广这个概念。本章将引入连续特征（Continuous Characters）的理论，特别关注米勒函数 (Mellin Transform) 在数域上的推广形式。我们将探讨由无限素点和有限素点决定的特征如何组合起来，形成完整的全局特征。 第二部分：数域上的傅里叶变换及其性质 本部分是本书的核心理论构建部分，我们将明确定义数域 $K$ 上的傅里叶变换及其在不同函数空间上的适用性。 第四章：局部傅里叶变换：p-adic 分析 针对 $K$ 的每一个素点 $v$，我们构建局部傅里叶变换。对于 $K_v = mathbb{Q}_p$ 或 $mathbb{R}$，我们将定义其特征函数空间。重点讨论海森函数 (Hasse Functions) 和Glaeser 核在 $K_v$ 上的行为。特别地，针对 $K_v$ 上的紧群，我们将讨论 Weil 表示与其傅里叶变换的关联。 第五章：全局傅里叶变换：阿代尔空间上的积分 全局傅里叶变换 $mathcal{F}_K$ 是通过对阿代尔空间 $mathbb{A}_K$ 上的函数 $f(mathbf{a})$ 进行积分得到的。这涉及到对 $mathbb{A}_K$ 上的 Tamagawa 测度的精确选择，以确保傅里叶变换的酉性（Unitarity）。我们将引入Poincaré 对偶定理在阿代尔空间上的版本，以及其与 Hecke $xi$ 函数的关系。 第六章：普朗歇尔公式与傅里叶反演 在数域上，傅里叶反演公式被普朗歇尔求和公式所取代。本章将深入探讨普朗歇尔公式的推导过程，特别是如何利用数域的迹函数 (Trace Function) 和局部 $zeta$ 函数来连接函数域上的分析与代数结构。讨论傅里叶变换在测试函数空间（如光滑函数或 Schwartz 函数的数域推广）上的良好性质。 第三部分：关键应用：L-函数与自守表示 傅里叶分析在代数数论中的最重要应用之一是构建和分析 $L$-函数。本书将展示傅里叶分析如何成为连接分析与算术的桥梁。 第七章：数域上的局部 $L$-函数 首先，我们研究在单个素点 $v$ 上的局部 $L$-函数。通过对局部特征函数应用傅里叶变换，我们能清晰地揭示局部 $L$-函数的欧拉乘积结构与其伽马因子之间的关系。这包括对局部高斯和的精确计算。 第八章：全局 $L$-函数与黎曼-傅里叶变换 全局 $L$-函数 $L(s, chi)$ 的定义是所有局部 $L$-函数的乘积。本章将聚焦于黎曼-傅里叶变换（即 $mathcal{F}_K$ 作用于某个与 $L$-函数相关的核函数上）的性质，特别是其函数方程的推导。我们将探讨 Hecke $L$-函数如何通过全局 $zeta$ 函数的傅里叶变换自然产生。 第九章：自守表示与傅里叶系数 本章将涉及更高级的主题，即自守表示的分析侧面。对于一个自守表示 $pi$，其在 $GL_m(K)$ 上的 $L$-函数是通过其傅里叶系数（或称 $K$-函数）来编码的。我们将分析局部 $pi$ 在 $K_v$ 上的傅里叶展开，展示傅里叶分析如何成为构建和分类自守表示的核心工具。 第十章：数域上的扩散方程与热核 作为傅里叶分析在微分方程中的应用，本章探讨在数域 $K$ 上的拉普拉斯算子 $Delta_K$。我们利用傅里叶变换将微分方程转化为代数方程，推导出数域上的热核（Heat Kernel）。该热核与 $zeta$ 函数的解析性质有着深刻的内在联系，为理解数域上的随机游走提供了强大的分析工具。 本书的最终目标是使读者能够熟练运用傅里叶分析的强大工具箱，解决代数数论、算术几何以及调和分析中的复杂问题。每章后附有大量的练习题和参考文献，以供深入研究。

评分☆☆☆☆☆

《数域上的傅里叶分析》这个书名本身就充满了引人入胜的学术气息。对于我而言，这代表着一种数学上的“升级”或“泛化”，将我们熟悉的傅里叶分析从熟悉的实数或复数空间，提升到了更抽象的数域结构。我预想这本书的编写会非常详尽，从最基础的数域定义和性质开始，逐步引入数域上的“傅里叶变换”的概念。这可能需要定义一些新的数学工具，比如数域上的“特征标”或者“加性群”。我特别好奇书中是否会探讨一些与代数数论中的重要概念，例如类域论、代数整数理论等，是如何与傅里叶分析联系起来的。我猜想，本书可能会展示如何在数域的理想群上进行傅里叶分析，或者讨论数域上积分的泛化形式。对于那些希望深入理解数论和调和分析之间复杂联系的数学家和研究生来说，这本书无疑是一本不可多得的珍贵文献。我期待它能够为我打开一扇通往更深邃数学世界的大门，让我能够用全新的视角去理解那些看似遥不可及的数学真理。

评分☆☆☆☆☆

当我第一次看到《数域上的傅里叶分析》这个书名时，我立刻感受到了一种智力上的吸引力。这并非寻常的数学书籍，它触及的是一个高度专业化且充满挑战的领域。我想象中的这本书，会是一部严谨的学术著作，它将傅里叶分析的基本原理，那些关于函数分解和重构的思想，巧妙地扩展到更抽象的数域结构中。我猜测书中会详细介绍如何定义数域上的“周期”以及“傅里叶展开”，这本身就需要对数域的代数性质有深刻的理解，比如理想类群、单位群等。我非常好奇书中是否会深入探讨数域上的 Zeta 函数或 L 函数，以及它们与傅里叶分析之间可能存在的深刻联系。毕竟，这些函数在现代数论中扮演着极其重要的角色。对于我来说，这本书代表着一个学习和研究的全新方向，它将我熟悉的分析工具带入了一个更广阔、更抽象的数学宇宙。我期待书中能够提供清晰的推导过程和丰富的数学例子，帮助我理解这些抽象概念的精髓。这本书无疑是献给那些对数学的深度和广度有着不懈追求的读者的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的题目——《数域上的傅里叶分析》，一下子就抓住了我的注意力。在标准的实数和复数域上，傅里叶分析早已是一门成熟的学科，但将其推广到数域，这是一个多么令人振奋的想法！我脑海中立刻浮现出一些更抽象的数学对象，比如代数整数环，以及它们所组成的数域。我猜想，本书不会仅仅是将傅里叶变换的定义简单地搬运过去，而是会深入研究在这些数域的特定结构下，傅里叶分析所呈现出的独特性质。例如，数域上的“周期性”会是怎样的概念？又该如何定义相应的“傅里叶系数”？我尤其期待书中能够阐述数域的局部化、理想的傅里叶分析，甚至是与代数几何中的某些概念有所联系。这本书的出版，对于那些希望在数论、代数几何以及调和分析的交汇处进行研究的数学家和高年级学生来说，无疑是一个宝贵的资源。我好奇书中是否会涉及一些重要的例子，比如有理数域的扩张，或者更复杂的代数数域，并展示在这些域上傅里叶分析的实际应用。这本书就像一个未知的宝藏，等待着我去发掘它所蕴含的丰富数学思想。

评分☆☆☆☆☆

这是一本我一直期待能拥有的数学专著，关于数域上的傅里叶分析，这个主题本身就充满了深邃的数学魅力。我一直对数论和调和分析的交叉领域感到着迷，而这本书恰恰触及了这个核心。想象一下，将我们熟悉的概念，比如函数的傅里叶级数和傅里叶变换，推广到更抽象的代数结构，比如数域，这本身就足以激发无尽的遐想。我好奇书中是如何构建这种推广的，是仅仅通过类比，还是发展出了一套全新的、适用于数域结构的数学工具？这本书的出现，无疑为我深入理解这些高级概念提供了一个绝佳的起点。我猜测书中会涉及很多关于代数整数环、理想、特征标以及与它们相关的傅里叶分析理论，例如类群上的傅里叶分析。我对书中是否会介绍与数域上的L函数、Theta函数等前沿研究的联系也非常感兴趣。毕竟，这些工具在数论的许多分支中都扮演着至关重要的角色。这本书的名字本身就暗示着内容的广度和深度，对于任何希望在代数数论和分析学领域有所建树的读者来说，它都应该是一本必不可少的参考书。我迫不及待地想翻开它，探索那隐藏在抽象数域中的优雅的傅里叶世界。

评分☆☆☆☆☆

初次看到《数域上的傅里叶分析》这个书名，我的第一反应便是其挑战性和潜在的深刻性。这并非一本面向初学者的入门读物，而是直指数学研究前沿的专著，其内容之艰深可想而知。我预想本书会构建一套严谨的数学框架，来处理那些在数域上定义的、具有周期性或其他相关性质的函数。这其中可能涉及到复数域之外的更一般化的“复数”概念，以及在这些数域中定义的“积分”或“求和”的推广。想象一下，在整数环的扩张体上进行傅里叶变换，这需要多精妙的数学思想和多扎实的代数基础啊！我推测书中会深入探讨一些代数数论的核心概念，例如域的扩张、代数整数以及它们所构成的环的性质，然后将傅里叶分析的工具巧妙地应用到这些结构上。我尤其好奇本书是否会涉及一些著名的数论定理，例如狄利克雷单位定理或类数公式，是如何在傅里叶分析的视角下得到新的理解或证明的。对于我这样一位对抽象代数和分析学都有浓厚兴趣的数学爱好者来说，这本书提供了一个将两个看似独立的领域完美结合的绝佳机会。它仿佛是一扇通往更高深数学殿堂的门，等待着有决心和毅力去探索的读者。

评分☆☆☆☆☆

GTM的书太适合裁对基础数学热爱的人了

评分☆☆☆☆☆

ddj好谢谢你了解我吗对啊对啊是啊所以我

评分☆☆☆☆☆

这本书非常的不错，值得阅读。它从一般意义上的傅里叶分析推广到了一般数域上，使得我们在一般的数域上可以对其进行分析的运算，这其中也用到了拓扑，测度论等知识，如果大家想真正地读懂这本书的细节，最好还是要去看看拓扑，代数，测度和表示的基本知识，希望大家能够从这本书中，真正地了解代数上的分析学问。祝大家阅读愉快！

评分☆☆☆☆☆

全英文的书，很有味道，角度不一样

评分☆☆☆☆☆

这是一本数论书，有一定的难度。傅立叶分析几百年来一直是数学的主流，数论当然也是。建议数学工作者仔细研读本书，这样的书不多

评分☆☆☆☆☆

此书讲了很多有意思的东西，值得慢慢品读，虽然没看过，但是老师推荐来着

评分☆☆☆☆☆

一本相当不错的数学书，推荐！

评分☆☆☆☆☆

这本书非常的不错，值得阅读。它从一般意义上的傅里叶分析推广到了一般数域上，使得我们在一般的数域上可以对其进行分析的运算，这其中也用到了拓扑，测度论等知识，如果大家想真正地读懂这本书的细节，最好还是要去看看拓扑，代数，测度和表示的基本知识，希望大家能够从这本书中，真正地了解代数上的分析学问。祝大家阅读愉快！

评分☆☆☆☆☆

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