算法拓扑学及三维流形的分类 9787030313782 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[俄] 马特维耶夫 著

图书标签:

• 算法拓扑学
• 三维流形
• 拓扑学
• 数学
• 分类
• 几何
• 算法
• 流形
• 数学物理
• 高等教育

店铺： 小马奔腾图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030313782

商品编码：10949915345

包装：精装

出版时间：2011-06-01

 

                                       新增尺码3XL的尺码 

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《计算几何中的拓扑方法与流形建模》 内容概述 本书深入探讨了计算几何领域中拓扑学原理的应用，特别是围绕离散曲面分析、高维数据结构的可视化以及三维空间数据处理的理论与实践。全书旨在为研究人员、高级本科生和研究生提供一套系统的工具箱，用以理解和解决复杂几何数据中的拓扑不变量和局部结构问题。本书不涉及特定算法的命名（如“拓扑排序”、“流形学习”等在特定算法中的具体实现细节），而是着重于支撑这些应用背后的数学基础和几何直觉。 第一部分：离散几何基础与拓扑嵌入 本部分首先建立了离散结构上研究拓扑特性的数学框架。我们从基础的组合拓扑概念出发，讨论了如何将连续的几何对象（如曲面、体）映射到可以进行计算机处理的离散组合结构（如单纯复形、细胞复形）上。重点分析了这种离散化过程对原始拓扑性质（如连通性、孔洞数量）的影响及误差控制。 详细阐述了边界算子与链复形的构建。这包括对链、边界、上链和协边界的严格定义，它们是计算拓扑不变量的代数工具。我们详细推导了这些算子在计算机表示下的矩阵形式，并探讨了如何利用这些矩阵的零空间和像空间来识别几何体的拓扑特征。 一个核心章节专门探讨了局部拓扑结构的不变性。在处理不规则采样点集或存在噪声的几何模型时，如何保持对局部邻域拓扑的敏感性是关键。本书引入了基于邻域图和它们的局部凸壳的分析方法，用于确定曲面上的奇点（如尖点、自交点）的分类，而不依赖于全局的参数化。 第二部分：同调理论在数据分析中的应用 同调理论是理解高维空间结构的核心。本部分将代数拓扑中的同调群概念，转化为处理实际几何数据的工具。我们不直接讨论特定持久同调算法，而是深入挖掘其数学基础：拓扑空间的循环（Cycles）和边界（Boundaries）之间的关系。 详细分析了单纯同调和胞腔同调的计算流程，着重于如何通过矩阵的初等行变换（Smith Normal Form）来提取出 Betti 数，从而量化数据的“洞”的数量。这部分内容强调了拓扑特征的“持久性”——即在不同尺度下拓扑特征的稳定性，这对于区分真正的结构特征和随机噪声至关重要。我们分析了如何通过定义合适的尺度参数来构造一系列的复形，并比较它们之间的同源关系。 另一个重点是上同调理论在向量场分析中的作用。对于定义在流形上的微分形式和向量场，上同调理论提供了积分的路径无关性（或路径依赖性）的深刻见解。我们通过离散化的梯度和旋度运算，展示了如何用上同调群来度量向量场在曲面上的“通量”和“环流”的拓扑约束。 第三部分：流形表示与离散微分几何 本部分将研究重点从纯粹的拓扑结构转移到具有度量信息的几何结构——流形。我们探讨了如何在计算机中对流形进行稳健的表示，以及如何在这些离散流形上定义微分几何的概念。 讨论了离散黎曼度量的构造。对于一个由三角网格表示的曲面，如何定义出等效于连续黎曼度量的度量张量？本书分析了多种基于邻域权重和边长的度量定义方式，并评估了它们对曲率计算的精度影响。这部分内容为后续的几何处理（如测地线计算、曲率流）奠定了度量基础。 曲率的拓扑约束是本章的理论核心。我们推导了离散曲面上的离散高斯曲率，并展示了关于曲率和拓扑的普适定理（如离散版本的 Gauss-Bonnet 定理）。这个定理揭示了全局拓扑性质如何限制了局部曲率的分布，即使在高度扭曲或采样不均的情况下，总曲率的积分仍然保持一定的拓扑特性。 最后，我们分析了拓扑约束下的流形参数化。在需要将复杂的三维形状映射到二维平面（如纹理贴图或可视化）时，必须保证映射过程既能保持局部几何信息，又不能破坏整体的拓扑连接性。我们探讨了哪些全局拓扑属性（如穿孔数、边界的连通性）必须在参数化过程中被严格保持，并分析了那些试图优化度量失真的方法如何与拓扑约束相平衡。 本书特点： 本书避免了对特定软件库或编程实现的介绍，而是专注于提供一个坚实的、可用于理论推导和算法设计的数学框架。它强调了代数工具（如矩阵运算、群论）如何直接转化为对几何形状的洞察力，是连接纯粹数学拓扑学与现代计算几何、几何数据处理领域的桥梁性著作。阅读本书需要读者具备扎实的线性代数和基础抽象代数知识。

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这本书的排版和字体选择给我留下了深刻的印象，虽然我还没有开始阅读，但单凭这一点，就能看出出版方对书籍品质的严格要求。我一直对那些能够将复杂理论以清晰、有序的方式呈现出来的书籍抱有极高的评价，而这似乎正是这本书的特点。书名中的“算法拓扑学”让我联想到，作者可能运用了计算化的方法来研究拓扑学中的概念，这对于我这个长期在计算机领域工作的人来说，是非常有吸引力的。我很好奇，算法在拓扑学中的应用能够达到怎样的深度，是否能够解决一些传统方法难以攻克的难题。而“三维流形的分类”更是将我的兴趣引向了纯粹的几何学领域。我期待书中能够出现精美的三维图形示例，以及对不同流形进行分类的严谨论证，这对于我理解高维空间的结构具有重要的指导意义。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名“算法拓扑学及三维流形的分类”本身就充满了学术的庄重感和研究的深度。作为一名对理论数学，特别是微分几何和代数拓扑学有一定了解的读者，我被这个主题深深地吸引了。三维流形作为几何学中最迷人的研究对象之一，其分类问题一直是数学界的一个核心难题。而将“算法”这一现代计算的基石引入其中，更是让我产生了强烈的求知欲。我非常好奇作者将如何运用算法的思维和技术，来解决或者阐明三维流形的分类问题。这是否意味着一种全新的研究范式，能够将抽象的数学理论与计算的实践紧密结合？我期待这本书能够提供严谨的数学证明，同时又不失算法研究的创新性和实用性。这本书的厚度也预示着内容的丰富和深入，我希望能够从中获得关于流形结构、同胚概念以及相关算法实现的深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常吸引眼球，深邃的蓝色背景上，以简洁的线条勾勒出复杂的几何图形，仿佛预示着其内容的深度和广度。我作为一个对数学和图形学都抱有浓厚兴趣的读者，看到这样的封面，立刻就被深深吸引了。虽然我还没有机会深入阅读，但仅从封面的设计语言，我就可以感受到作者在内容的呈现上所下的功夫。这种视觉上的冲击力，往往是优秀书籍的开端，它能够激发读者的好奇心，让他们渴望去探索封面之下隐藏的知识宝藏。我猜想，这本书很可能不仅仅是枯燥的理论堆砌，而是会将抽象的数学概念，通过精美的图示和直观的演示，变得易于理解和接受。对于我这样一个非专业背景但求知欲旺盛的读者来说，这样一本能够兼顾学术严谨性和视觉吸引力的书籍，无疑是极大的福音。我期待它能够带领我进入一个充满奇妙几何世界的殿堂，在那里，算法的严谨逻辑与三维流形的优雅形态交织，展现出数学的无穷魅力。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学的美感在于其逻辑的严谨和结构的精巧，而拓扑学无疑是展现这种美感的一个绝佳视角。当我看到这本书的书名时，“算法拓扑学”和“三维流形的分类”这两个词组在我脑海中立刻激起了对数学深邃世界的联想。我好奇地设想，作者是如何将“算法”这一现代计算的语言，与“拓扑学”这一研究空间性质的学科融合在一起的。是否意味着通过算法的手段，能够更有效地辨识、构建和分析复杂的三维几何体？而“三维流形的分类”这个部分，则更是直接触及了我对几何学核心问题的兴趣。我期待这本书能够为我揭示，在三维空间中，那些看似千差万别的流形，究竟是如何被划分成有限的几类，以及这些分类背后蕴含的深刻数学原理。这本书的封面设计也颇具匠心，色彩的运用和图形的构图都透露出一种理性与艺术的结合，让我对内容充满了想象。

评分☆☆☆☆☆

我是在一次偶然的机会中，在一家书店的数学专区留意到这本书的。当时我正在寻找一些关于计算机图形学和可视化算法的最新研究成果，而这本书的书名，特别是“算法拓扑学”和“三维流形”这两个关键词，立刻吸引了我的注意。我虽然不是科班出身的数学家，但对算法的逻辑性和在图形生成中的应用有着浓厚的兴趣。我尤其好奇，如何将抽象的拓扑学概念，通过算法的方式在三维空间中进行构建和分类。在我看来，这不仅仅是理论上的探索，更可能在虚拟现实、三维建模、游戏开发等领域有着潜在的应用价值。我希望这本书能够提供一些新颖的视角和实用的方法，帮助我理解这些前沿技术背后的数学原理。这本书的装帧也非常精美，纸张的质感和印刷的清晰度都让人感受到其出版的用心。这让我对接下来的阅读充满了期待，相信它能够为我带来一次令人兴奋的知识探索之旅。