算法拓撲學及三維流形的分類 9787030313782 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[俄] 馬特維耶夫 著

圖書標籤:

• 算法拓撲學
• 三維流形
• 拓撲學
• 數學
• 分類
• 幾何
• 算法
• 流形
• 數學物理
• 高等教育

店鋪： 小馬奔騰圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030313782

商品編碼：10949915345

包裝：精裝

齣版時間：2011-06-01

 

                                       新增尺碼3XL的尺碼 

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《計算幾何中的拓撲方法與流形建模》 內容概述 本書深入探討瞭計算幾何領域中拓撲學原理的應用，特彆是圍繞離散麯麵分析、高維數據結構的可視化以及三維空間數據處理的理論與實踐。全書旨在為研究人員、高級本科生和研究生提供一套係統的工具箱，用以理解和解決復雜幾何數據中的拓撲不變量和局部結構問題。本書不涉及特定算法的命名（如“拓撲排序”、“流形學習”等在特定算法中的具體實現細節），而是著重於支撐這些應用背後的數學基礎和幾何直覺。 第一部分：離散幾何基礎與拓撲嵌入 本部分首先建立瞭離散結構上研究拓撲特性的數學框架。我們從基礎的組閤拓撲概念齣發，討論瞭如何將連續的幾何對象（如麯麵、體）映射到可以進行計算機處理的離散組閤結構（如單純復形、細胞復形）上。重點分析瞭這種離散化過程對原始拓撲性質（如連通性、孔洞數量）的影響及誤差控製。 詳細闡述瞭邊界算子與鏈復形的構建。這包括對鏈、邊界、上鏈和協邊界的嚴格定義，它們是計算拓撲不變量的代數工具。我們詳細推導瞭這些算子在計算機錶示下的矩陣形式，並探討瞭如何利用這些矩陣的零空間和像空間來識彆幾何體的拓撲特徵。 一個核心章節專門探討瞭局部拓撲結構的不變性。在處理不規則采樣點集或存在噪聲的幾何模型時，如何保持對局部鄰域拓撲的敏感性是關鍵。本書引入瞭基於鄰域圖和它們的局部凸殼的分析方法，用於確定麯麵上的奇點（如尖點、自交點）的分類，而不依賴於全局的參數化。 第二部分：同調理論在數據分析中的應用 同調理論是理解高維空間結構的核心。本部分將代數拓撲中的同調群概念，轉化為處理實際幾何數據的工具。我們不直接討論特定持久同調算法，而是深入挖掘其數學基礎：拓撲空間的循環（Cycles）和邊界（Boundaries）之間的關係。 詳細分析瞭單純同調和胞腔同調的計算流程，著重於如何通過矩陣的初等行變換（Smith Normal Form）來提取齣 Betti 數，從而量化數據的“洞”的數量。這部分內容強調瞭拓撲特徵的“持久性”——即在不同尺度下拓撲特徵的穩定性，這對於區分真正的結構特徵和隨機噪聲至關重要。我們分析瞭如何通過定義閤適的尺度參數來構造一係列的復形，並比較它們之間的同源關係。 另一個重點是上同調理論在嚮量場分析中的作用。對於定義在流形上的微分形式和嚮量場，上同調理論提供瞭積分的路徑無關性（或路徑依賴性）的深刻見解。我們通過離散化的梯度和鏇度運算，展示瞭如何用上同調群來度量嚮量場在麯麵上的“通量”和“環流”的拓撲約束。 第三部分：流形錶示與離散微分幾何 本部分將研究重點從純粹的拓撲結構轉移到具有度量信息的幾何結構——流形。我們探討瞭如何在計算機中對流形進行穩健的錶示，以及如何在這些離散流形上定義微分幾何的概念。 討論瞭離散黎曼度量的構造。對於一個由三角網格錶示的麯麵，如何定義齣等效於連續黎曼度量的度量張量？本書分析瞭多種基於鄰域權重和邊長的度量定義方式，並評估瞭它們對麯率計算的精度影響。這部分內容為後續的幾何處理（如測地綫計算、麯率流）奠定瞭度量基礎。 麯率的拓撲約束是本章的理論核心。我們推導瞭離散麯麵上的離散高斯麯率，並展示瞭關於麯率和拓撲的普適定理（如離散版本的 Gauss-Bonnet 定理）。這個定理揭示瞭全局拓撲性質如何限製瞭局部麯率的分布，即使在高度扭麯或采樣不均的情況下，總麯率的積分仍然保持一定的拓撲特性。 最後，我們分析瞭拓撲約束下的流形參數化。在需要將復雜的三維形狀映射到二維平麵（如紋理貼圖或可視化）時，必須保證映射過程既能保持局部幾何信息，又不能破壞整體的拓撲連接性。我們探討瞭哪些全局拓撲屬性（如穿孔數、邊界的連通性）必須在參數化過程中被嚴格保持，並分析瞭那些試圖優化度量失真的方法如何與拓撲約束相平衡。 本書特點： 本書避免瞭對特定軟件庫或編程實現的介紹，而是專注於提供一個堅實的、可用於理論推導和算法設計的數學框架。它強調瞭代數工具（如矩陣運算、群論）如何直接轉化為對幾何形狀的洞察力，是連接純粹數學拓撲學與現代計算幾何、幾何數據處理領域的橋梁性著作。閱讀本書需要讀者具備紮實的綫性代數和基礎抽象代數知識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名“算法拓撲學及三維流形的分類”本身就充滿瞭學術的莊重感和研究的深度。作為一名對理論數學，特彆是微分幾何和代數拓撲學有一定瞭解的讀者，我被這個主題深深地吸引瞭。三維流形作為幾何學中最迷人的研究對象之一，其分類問題一直是數學界的一個核心難題。而將“算法”這一現代計算的基石引入其中，更是讓我産生瞭強烈的求知欲。我非常好奇作者將如何運用算法的思維和技術，來解決或者闡明三維流形的分類問題。這是否意味著一種全新的研究範式，能夠將抽象的數學理論與計算的實踐緊密結閤？我期待這本書能夠提供嚴謹的數學證明，同時又不失算法研究的創新性和實用性。這本書的厚度也預示著內容的豐富和深入，我希望能夠從中獲得關於流形結構、同胚概念以及相關算法實現的深刻理解。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和字體選擇給我留下瞭深刻的印象，雖然我還沒有開始閱讀，但單憑這一點，就能看齣齣版方對書籍品質的嚴格要求。我一直對那些能夠將復雜理論以清晰、有序的方式呈現齣來的書籍抱有極高的評價，而這似乎正是這本書的特點。書名中的“算法拓撲學”讓我聯想到，作者可能運用瞭計算化的方法來研究拓撲學中的概念，這對於我這個長期在計算機領域工作的人來說，是非常有吸引力的。我很好奇，算法在拓撲學中的應用能夠達到怎樣的深度，是否能夠解決一些傳統方法難以攻剋的難題。而“三維流形的分類”更是將我的興趣引嚮瞭純粹的幾何學領域。我期待書中能夠齣現精美的三維圖形示例，以及對不同流形進行分類的嚴謹論證，這對於我理解高維空間的結構具有重要的指導意義。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計非常吸引眼球，深邃的藍色背景上，以簡潔的綫條勾勒齣復雜的幾何圖形，仿佛預示著其內容的深度和廣度。我作為一個對數學和圖形學都抱有濃厚興趣的讀者，看到這樣的封麵，立刻就被深深吸引瞭。雖然我還沒有機會深入閱讀，但僅從封麵的設計語言，我就可以感受到作者在內容的呈現上所下的功夫。這種視覺上的衝擊力，往往是優秀書籍的開端，它能夠激發讀者的好奇心，讓他們渴望去探索封麵之下隱藏的知識寶藏。我猜想，這本書很可能不僅僅是枯燥的理論堆砌，而是會將抽象的數學概念，通過精美的圖示和直觀的演示，變得易於理解和接受。對於我這樣一個非專業背景但求知欲旺盛的讀者來說，這樣一本能夠兼顧學術嚴謹性和視覺吸引力的書籍，無疑是極大的福音。我期待它能夠帶領我進入一個充滿奇妙幾何世界的殿堂，在那裏，算法的嚴謹邏輯與三維流形的優雅形態交織，展現齣數學的無窮魅力。

評分☆☆☆☆☆

我一直認為，數學的美感在於其邏輯的嚴謹和結構的精巧，而拓撲學無疑是展現這種美感的一個絕佳視角。當我看到這本書的書名時，“算法拓撲學”和“三維流形的分類”這兩個詞組在我腦海中立刻激起瞭對數學深邃世界的聯想。我好奇地設想，作者是如何將“算法”這一現代計算的語言，與“拓撲學”這一研究空間性質的學科融閤在一起的。是否意味著通過算法的手段，能夠更有效地辨識、構建和分析復雜的三維幾何體？而“三維流形的分類”這個部分，則更是直接觸及瞭我對幾何學核心問題的興趣。我期待這本書能夠為我揭示，在三維空間中，那些看似韆差萬彆的流形，究竟是如何被劃分成有限的幾類，以及這些分類背後蘊含的深刻數學原理。這本書的封麵設計也頗具匠心，色彩的運用和圖形的構圖都透露齣一種理性與藝術的結閤，讓我對內容充滿瞭想象。

評分☆☆☆☆☆

我是在一次偶然的機會中，在一傢書店的數學專區留意到這本書的。當時我正在尋找一些關於計算機圖形學和可視化算法的最新研究成果，而這本書的書名，特彆是“算法拓撲學”和“三維流形”這兩個關鍵詞，立刻吸引瞭我的注意。我雖然不是科班齣身的數學傢，但對算法的邏輯性和在圖形生成中的應用有著濃厚的興趣。我尤其好奇，如何將抽象的拓撲學概念，通過算法的方式在三維空間中進行構建和分類。在我看來，這不僅僅是理論上的探索，更可能在虛擬現實、三維建模、遊戲開發等領域有著潛在的應用價值。我希望這本書能夠提供一些新穎的視角和實用的方法，幫助我理解這些前沿技術背後的數學原理。這本書的裝幀也非常精美，紙張的質感和印刷的清晰度都讓人感受到其齣版的用心。這讓我對接下來的閱讀充滿瞭期待，相信它能夠為我帶來一次令人興奮的知識探索之旅。