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封建湖 等 著

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• 数值分析
• 数学
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• 计算方法
• 科学计算
• 21世纪教材
• 工程数学

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030097309

版次：2

商品编码：11025745

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-03-01

页数：327

正文语种：中文

编辑推荐

这本《21世纪高等院校教材：数值分析原理》作为高等院校工科硕士研究生和数学系各专业本科生的“数值分析”（或“计算方法”）课程的教科书，系统地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法、概念以及有关的理论分析和应用。本书从零开始讲起，只要具备高等数学、线性代数知识的学生就可以使用本教材。

内容简介

《21世纪高等院校教材：数值分析原理》系统地介绍了现代科学与工程计算中常用的数值计算方法及有关的理论和应用。全书共分9章，包括误差分析，函数插值，函数逼近，数值积分与数值微分、线性方程组的直接解法和迭代解法，非线性方程的数值解法，矩阵特征值与特征向量的计算，以及常微分方程初值问题的数值解法等。《21世纪高等院校教材：数值分析原理》基本概念清晰准确，理论分析科学严谨，语言叙述通俗易懂，结构编排由浅入深，注重启发性。《21世纪高等院校教材：数值分析原理》始终贯穿一个基本理念，即在数学理论上等价的方法在实际数值计算时往往是不等效的，因此，《21世纪高等院校教材：数值分析原理》精选了大量的计算实例，用来说明各种数值方法的优劣与特点。各章末还有一定数量的习题供读者练习之用。
《21世纪高等院校教材：数值分析原理》读者对象：高等院校工科研究生和数学系各专业本科生，从事科学与工程计算的科研工作者。

目录

第一章 绪论
1.1 数值分析的对象与任务
1.2 误差基础知识
1.2.1 误差来源
1.2.2 误差度量
1.2.3 初值误差传播
1.3 舍入误差分析及数值稳定性
1.3.1 浮点数系及其运算的舍入误差
1.3.2 算法的数值稳定性
习题1

第二章 函数插值
2.1 插值问题
2.2 插值多项式的构造方法
2.2.1 拉格朗日插值法
2.2.2 牛顿插值法
2.2.3 等距节点插值公式
2.2.4 带导数的插值问题
2.3 分段插值法
2.3.1 高次插值的评述
2.3.2 分段插值
2.3.3 三次样条插值
2.3.4 B样条插值
习题2

第三章 函数逼近
3.1 赋范线性空间与函数逼近问题
3.1.1 赋范线性空间
3.1.2 函数逼近问题
3.2 内积空间与正交多项式
3.2.1 内积空间
3.2.2 正交多项式的性质
3.2.3 常用的正交多项式系
3.3 最佳平方逼近与广义fourier级数
3.3.1 最佳平方逼近问题的求解
3.3.2 基于正交函数基的最佳平方逼近
3.3.3 广义Fourier级数
3.4 曲线拟合的最小二乘方法
3.4.1 曲线拟合模型及其求解
3.4.2 关于离散gram矩阵的进一步讨论
3.4.3 用关于点集的正交函数系作最小二乘曲线拟合
3.5 最佳一致逼近多项式
3.5.1 魏尔斯特拉斯定理
3.5.2 最佳一致逼近多项式的存在惟一性
3.5.3 最佳一致逼近多项式求法的讨论
习题3

第四章 数值积分与数值微分
4.1 数值积分概述
4.1.1 求积公式的代数精确度
4.1.2 收敛性与稳定性
4.2 牛顿-柯特斯公式
4.2.1 插值型求积公式
4.2.2 牛顿-柯特斯公式
4.2.3 复化求积公式
4.2.4 截断误差
4.2.5 区间逐次分半求积法
4.3 龙贝格求积算法
4.4 高斯型求积公式
4.4.1 一般理论
4.4.2 高斯-勒让德求积公式
4.4.3 高斯-切比雪夫求积公式
4.4.4 高斯-拉盖尔求积公式
4.4.5 高斯-埃尔米特求积公式
4.5 奇异积分与振荡函数积分的计算
4.5.1 无界函数积分的计算
4.5.2 无穷区间积分的计算
4.5.3 振荡函数积分的计算
4.6 二重积分的计算
4.6.1 基本方法
4.6.2 复化求积公式
4.6.3 高斯型求积公式
4.7 数值微分
4.7.1 插值法
4.7.2 泰勒展开法
习题4

第五章 解线性代数方程组的直接法
5.1 高斯消去法
5.1.1 高斯顺序消去法
5.1.2 高斯主元消去法
5.2 矩阵三角分解法
5.2.1 直接三角分解法
5.2.2 列主元直接三角分解法
5.2.3 平方根法
5.2.4 三对角和块三对角方程组的追赶法
5.3 矩阵的条件数和方程组的性态
5.3.1 向量和矩阵范数
5.3.2 扰动方程组解的误差界
5.3.3 矩阵的条件数和方程组的性态
5.3.4 关于病态方程组的求解
习题5

第六章 解线性代数方程组的迭代法
6.1 向量和矩阵序列的极限
6.1.1 极限概念
6.1.2 序列收敛的等价条件
6.2 迭代法的基本理论
6.2.1 简单迭代法的构造
6.2.2 简单迭代法的收敛性和收敛速度
6.2.3 高斯-赛德尔迭代法及其收敛性
6.3 几种常用的迭代法
6.3.1 雅可比迭代法
6.3.2 与雅可比法相应的高斯-赛德尔迭代法
6.3.3 逐次超松弛（SOR）迭代法
6.4 最速下降法与共轭梯度法
6.4.1 最速下降法
6.4.2 共轭梯度法
习题6

第七章 非线性方程求根
7.1 二分法
7.2 迭代法的算法和理论
7.2.1 不动点迭代法
7.2.2 不动点迭代法的一般理论
7.2.3 局部收敛性，收敛阶
7.3 迭代的加速收敛方法
7.3.1 使用两个迭代值的组合方法
7.3.2 使用三个迭代值的组合方法
7.4 牛顿迭代法
7.4.1 标准牛顿迭代法及其收敛阶
7.4.2 重根情形的牛顿迭代法
7.4.3 牛顿下山法
7.5 弦割法和抛物线法
7.5.1 弦割法及其收敛性
7.5.2 抛物线法
7.6 非线性方程组的迭代解法简介
7.6.1 一般概念
7.6.2 不动点迭代法
7.6.3 牛顿迭代法
习题7

第八章 矩阵特征值与特征向量计算
8.1 乘幂法与反幂法
8.1.1 乘幂法
8.1.2乘幂法的加速技术
8.1.3 反幂法
8.2 雅可比方法
8.2.1 古典雅可比方法
8.2.2 雅可比过关法
8.3 QR方法
8.3.1 反射矩阵与平面旋转矩阵
8.3.2 矩阵的QR分解
8.3.3 豪斯霍尔德方法
8.3.4 QR方法的收敛性
8.3.5 带原点平移的QR方法
8.4 求实对称三对角阵特征值的二分法
8.4.1 矩阵A的特征多项式序列及其性质
8.4.2 特征值的计算
习题8

第九章 常微分方程初值问题的数值解法
9.1 引言
9.2 欧拉方法
9.2.1显式欧拉方法
9.2.2 隐式欧拉方法和欧拉方法的改进
9.2.3 单步法的局部截断误差和阶
9.3 龙格-库塔方法
9.3.1 泰勒方法
9.3.2 龙格-库塔方法
9.3.3 龙格-库塔方法的其他问题
9.4 单步法的进一步讨论
9.4.1 收敛性
9.4.2 相容性
9.4.3 稳定性
9.5 线性多步方法
9.5.1 线性多步方法的一般问题
9.5.2 线性多步方法的构造
9.5.3 预估-校正方法
9.6 线性多步法的进一步讨论
9.6.1 线性多步法的相容性
9.6.2 线性多步法的收敛性
9.6.3 线性多步法的稳定性
9.6.4 预估-校正法的稳定性
9.7 一阶方程组与刚性问题简介
9.7.1 一阶方程组
9.7.2 刚性问题简介
习题9
参考文献
附录 关于线性常系数差分方程的几点知识
参考答案

前言/序言

《数学物理方程及其数值解法》 内容概要： 本书是面向高等院校数学、物理、力学、工程及相关专业本科生和研究生而编写的教材。它系统地介绍了数学物理方程的基本理论、经典解法以及现代数值计算方法。本书的重点在于阐述如何运用数学物理方程来描述和解决科学工程领域中的实际问题，并提供了一系列行之有效的数值计算工具和技术。 第一部分：数学物理方程基础 1. 数学物理方程的起源与分类： 方程的物理背景： 本章将追溯数学物理方程在物理学中的起源，例如从波动方程到电磁场的传播，从热传导方程到物质的扩散与能量的输运，再到泊松方程/拉普拉斯方程在引力场、静电场、流体静力学中的应用。通过生动具体的物理场景，揭示数学物理方程的普适性和重要性。 基本方程的数学形式： 详细介绍三类最基本的数学物理方程：波动方程（一阶导数的形式，常涉及传播现象，如声波、光波、弹性波）、热传导方程（一阶时间导数，描述扩散和衰减过程）以及拉普拉斯方程/泊松方程（二阶偏导数，描述稳态场、势能等）。分析其阶数、线性/非线性、齐次/非齐次等性质。 方程的分类与特征： 基于二阶偏微分方程的二次型判别，详细介绍椭圆型、抛物型和双曲型方程的数学分类。深入探讨不同类型方程所描述的物理过程的本质区别：椭圆型方程通常描述稳态问题，解具有全局依赖性；抛物型方程描述具有时间演化的扩散过程，解具有单向依赖性；双曲型方程描述传播现象，解具有有限传播速度和波的传播特性。 初边值问题与混合问题： 明确提出求解数学物理方程时必须给定的边界条件和初始条件。详细阐述不同类型的边界条件（第一类/Dirichlet，第二类/Neumann，第三类/Robin，混合边界条件），以及初始条件（初值）和它们在确定方程唯一解中的关键作用。 2. 基本方程的解析解法： 分离变量法： 这是求解齐次线性偏微分方程最重要、最基础的解析方法之一。本章将详细阐述如何对具有简单几何区域（如矩形、圆形、球形）的方程，通过分离变量法将其转化为一系列常微分方程组，进而求解。重点介绍傅里叶级数和傅里叶变换在处理不同边界条件下的级数展开和求解中的应用。 傅里叶变换方法： 扩展分离变量法的思路，介绍傅里叶变换及其逆变换在求解无界区域上的偏微分方程问题中的强大威力。例如，如何处理无限长杆的热传导问题、无限空间的波动问题。 格林函数方法： 介绍格林函数作为一种特殊的“点源”响应函数，在求解非齐次线性偏微分方程问题中的应用。阐述格林函数的构造方法、性质以及如何利用其求解任意源项和边界条件下的问题。格林函数方法为理解方程的结构和解的叠加提供了深刻的洞察。 其他解析方法简介： 简要介绍一些更高级的解析方法，如特征线法（特别适用于双曲型方程）、镜像法、积分变换法（拉普拉斯变换、Z变换等）在特定问题中的应用，为读者拓宽视野。 第二部分：数学物理方程的数值解法 1. 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： 差分近似： 详细介绍如何利用泰勒展开将偏微分方程中的导数用差分算子进行近似。推导一阶、二阶向前差分、向后差分和中心差分的精度。 网格划分与节点： 阐述如何将求解区域离散化为有限个节点，形成计算网格。解释网格尺寸对精度和计算量的影响。 方程的离散化： 将原偏微分方程在每个节点上用差分形式表示，从而转化为一个大型的代数方程组。 显式与隐式格式： 详细分析时间相关的方程（如热传导方程、波动方程）的差分格式。介绍显式格式（直接求解下一时刻的状态，计算简单但稳定性受限）和隐式格式（需要求解线性方程组，计算量较大但稳定性好）。深入探讨稳定性分析（如CFL条件）和收敛性理论。 求解线性方程组： 讨论求解离散化后产生的稀疏线性方程组的方法，包括直接法（如高斯消元法、追赶法）和迭代法（如雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、共轭梯度法）。 在各类方程中的应用： 分别展示有限差分法在热传导方程、波动方程、拉普拉斯方程等问题上的具体实现和算例。 2. 有限元法（Finite Element Method, FEM）： 基本思想与变分原理： 介绍有限元法的核心思想是将求解区域划分为一系列小的、简单的单元（如三角形、四边形、四面体、六面体），并在每个单元上用形函数（基函数）对解进行近似。重点介绍求解过程中涉及的变分原理（如伽辽金法、最小二乘法、加权残量法）。 单元划分与形函数： 详细讲解如何构建单元的几何模型，以及在单元内部定义形函数（通常是多项式）。介绍线性、二次等不同阶数的形函数。 单元刚度矩阵与载荷向量： 阐述如何在每个单元上积分，得到单元刚度矩阵和单元载荷向量。 组装全局方程： 讲解如何将所有单元的刚度矩阵和载荷向量按照节点编号进行组装，形成全局的线性方程组。 处理边界条件： 详细说明如何在有限元框架下施加各种类型的边界条件。 优势与适用范围： 强调有限元法在处理复杂几何形状、非均匀介质以及各种边界条件方面的强大优势，特别是在结构力学、流体力学、电磁场等领域。 在各类方程中的应用： 展示有限元法在椭圆型方程（如泊松方程）、抛物型方程和双曲型方程等问题上的实现过程和算例。 3. 谱方法简介： 基函数与全局逼近： 介绍谱方法的基本思想是利用全局性的、具有良好数学性质的基函数（如多项式、三角函数）来逼近解。 傅里叶谱方法和多项式谱方法： 分别介绍傅里叶谱方法（适用于周期性边界条件）和多项式谱方法（如切比雪夫谱方法、Legendre谱方法，适用于非周期性边界条件）。 精度优势： 阐述谱方法通常具有指数级的收敛速度，在某些问题上可以获得极高的精度。 适用性与局限性： 指出谱方法对几何形状和边界条件的限制，以及在处理非线性问题时的复杂性。 4. 计算方法实现与误差分析： 编程实现基础： 结合实际应用，指导读者如何利用编程语言（如Python, MATLAB, C++）实现上述数值方法。介绍常用的数值计算库和工具。 算法优化： 讨论如何优化算法，提高计算效率，例如使用更高效的线性方程组求解器，并行计算等。 误差分析与精度控制： 深入讨论数值解的误差来源（截断误差、舍入误差），以及如何进行误差估计和控制。强调精度与计算成本之间的权衡。 第三部分：应用与拓展 1. 典型应用案例分析： 波动现象的模拟： 如字符串的振动、薄膜的振动、声波的传播、电磁波的辐射与传播。 传热传质问题： 如固体材料的温度分布、流体混合过程中的浓度分布、土壤中的水分扩散。 流体动力学方程： 如Navier-Stokes方程的简化形式在层流和湍流问题中的应用。 弹性力学问题： 如应力应力分析、结构的变形。 其他领域： 简要提及在量子力学、生物医学工程、金融数学等领域的应用。 2. 面向未来的展望： 现代计算技术： 介绍高性能计算、GPU加速、分布式计算等在求解复杂数学物理方程中的作用。 新兴数值方法： 简要介绍一些正在发展中的数值方法，如无网格法（Meshless Methods）、边界元法（Boundary Element Method, BEM）、谱元法（Spectral Element Method）等。 与机器学习的结合： 探讨数值方法与机器学习、深度学习等前沿技术在模型构建、参数反演、数据驱动模拟等方面的潜在结合点。 本书的特点： 理论与实践相结合： 既深入阐述了数学物理方程的理论基础和解析解法，又系统介绍了常用的数值解法，并提供了实现和应用的指导。 内容循序渐进： 从基本概念入手，逐步深入到复杂的数值算法，适合不同背景的读者。 丰富的例证： 穿插了大量经典和现实的物理、工程问题作为算例，帮助读者理解抽象的数学概念。 强调计算能力： 鼓励读者通过编程实践，掌握数值方法的实际应用技能。 注重数学建模： 引导读者如何将实际问题转化为数学模型，再通过解析或数值方法求解。 通过学习本书，读者将能够深刻理解数学物理方程在描述和解决科学工程问题中的核心作用，熟练掌握求解这些方程的各种解析和数值方法，并具备利用计算工具解决实际问题的能力。

评分☆☆☆☆☆

任何一门学科的发展都离不开历史的积淀，《数值分析原理》这本书，我希望能看到一些关于数值分析发展历史的简要介绍。我希望它能够简述一些经典算法的提出背景、发展过程以及重要贡献者。例如，高斯消元法、牛顿迭代法等经典算法的提出，以及它们在数学和工程领域产生的深远影响。了解这些历史，不仅能够帮助我们理解这些算法的“来龙去脉”，更能从中体会到数学家们解决问题的智慧和探索精神。我希望这些历史的片段能够穿插在理论讲解之中，让阅读的过程更具人文色彩，也能够激发我们对数值分析领域更深层次的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学的抽象性和严谨性着迷，但同时我也深知，理论的价值最终要体现在解决实际问题的能力上。对于《数值分析原理》这本书，我最期待的就是它能否在理论讲解的同时，深入浅出地介绍数值方法在工程、科学以及其他领域的实际应用。我希望它不仅仅是罗列公式、推导定理，而是能够通过生动具体的案例，展示这些抽象的数学工具如何被用来解决现实世界中的难题。比如，在进行流体力学模拟时，如何运用有限差分法求解Navier-Stokes方程；在进行图像处理时，如何利用傅里叶变换进行信号分析；抑或是，在金融领域，如何运用蒙特卡洛方法进行风险评估。如果书中能够提供一些附带的程序代码示例，哪怕是伪代码，也会极大地增强其实践指导意义。我希望这本书能让我感受到数学的力量，不仅仅是逻辑上的美，更是它作为解决问题工具的强大生命力。当我看到那些抽象的算法能够驱动着复杂的系统运转，解决那些手工计算无法企及的难题时，我才会真正体会到数值分析的魅力所在。

评分☆☆☆☆☆

我曾经阅读过一些数学书籍，它们的排版设计往往是我评价其优劣的重要标准之一。《数值分析原理》这本书，我期待它能够拥有一个清晰、美观、易于阅读的排版。我希望公式能够清晰地居中显示，并且编号规范。我希望定理、引理、推论等重要概念能够有醒目的标记，例如使用不同的字体或背景色。我希望文字与公式、图表能够有机地结合，形成良好的视觉平衡。我希望页边距适中，行距得当，让长时间的阅读也不会感到疲劳。我甚至希望书中能够采用一些高质量的纸张印刷，让翻阅的触感也能够提升阅读的愉悦感。对于一本理工科教材而言，一个优秀的排版设计，能够极大地提升阅读的效率和舒适度。

评分☆☆☆☆☆

《数值分析原理》这本书，作为一本“21世纪高等院校教材”，我期待它能够在内容上有所创新和拓展，而不仅仅是重复经典的知识。我希望它能够涵盖一些数值分析领域的新进展和前沿方向，例如，机器学习中的数值优化算法，数据科学中的数值方法，或者某些特定领域的数值模拟技术。我希望书中能够介绍一些最新的研究成果，让读者能够对数值分析的未来发展有一个初步的认识。同时，我也希望它能够体现出“21世纪”的特点，比如，更加强调算法的效率、稳定性和并行计算等方面的考量。我希望这本书能够让我感受到数值分析作为一门充满活力的学科，而不仅仅是一门“老掉牙”的理论。

评分☆☆☆☆☆

数学的严谨性是其生命力之所在，但对于初学者而言，过度的抽象和晦涩的语言可能会成为一道难以逾越的障碍。《数值分析原理》这本书，我希望它在保证数学严谨性的前提下，能够做到尽可能清晰易懂。我希望作者能够避免使用过于专业化、生僻的术语，或者在使用这些术语时，能够给出清晰的定义和解释。我希望书中能够配备大量的图示和表格，将抽象的数学概念可视化，例如，用图形来展示插值曲线的逼近效果，用表格来展示迭代法的收敛过程。同时，我也希望作者能够运用一些生动形象的比喻来解释复杂的概念，让读者更容易产生共鸣。例如，可以将迭代法比作“试错”过程，将矩阵分解比作“拆解”复杂问题。我期待这本书能够成为我学习数值分析的“引路人”，让我能够克服畏难情绪，享受学习过程。

评分☆☆☆☆☆

在21世纪的今天，学习任何一门学科，都离不开信息技术的支持。《数值分析原理》这本书，我希望它能够与时俱进，在介绍数值方法的同时，能够提及相关的计算工具和编程语言。例如，在讲解矩阵运算时，可以提及MATLAB、Python（NumPy, SciPy）等工具的使用；在讲解数值积分或微分方程的求解时，可以提及相应的函数库或算法实现。我希望书中能够提供一些代码示例，帮助读者将理论知识转化为实际的编程操作，亲手去验证算法的有效性。这不仅仅是为了让读者掌握如何使用工具，更是为了让他们理解算法的内在逻辑，并通过编程实践加深对算法的理解。我希望这本书能够成为我学习数值分析的“实践指南”，而不仅仅是一本“理论手册”。

评分☆☆☆☆☆

语言是思维的载体，《数值分析原理》这本书，其语言风格对我而言至关重要。我希望作者能够采用一种清晰、简洁、流畅的语言来阐述复杂的数学概念。我希望它能够避免使用冗长、晦涩的句子结构，而是采用短小精悍、逻辑性强的表达方式。我希望作者能够像一位经验丰富的老师，用循循善诱的语气，将知识娓娓道来，而不是冷冰冰地陈述事实。我希望书中能够体现出作者对数值分析领域的深刻理解和独到见解，通过其精炼的语言，将复杂的思想传达给读者。同时，我也希望书中能够注意不同章节之间的过渡和衔接，让整本书的阅读体验更加连贯和愉悦，而不是章节之间的割裂感。

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我一直坚信，理论与实践的结合是学习任何学科的关键。《数值分析原理》这本书，我非常期待它能够在理论讲解之后，提供丰富的习题和思考题。我希望这些习题能够覆盖教材中的各个知识点，并且难度有所梯度，从基础的概念巩固到复杂的综合应用。我希望习题能够不仅仅是机械的计算，而是能够引导读者去思考算法的原理、性能以及改进方向。例如，在学习求解非线性方程组时，希望习题能够让读者比较不同迭代方法的收敛速度和鲁棒性。我希望书中能够提供一些“挑战性”的思考题，鼓励读者去探索数值分析的边界，甚至尝试提出新的算法或改进现有算法。如果书中能够提供部分习题的解答或者解题思路，那将是对我学习过程的极大帮助，让我能够及时检验自己的学习成果，并从中发现不足。

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这本书的封面设计，老实说，并没有给我留下太深刻的印象。那种略显陈旧的字体搭配着柔和但缺乏鲜明特点的色调，让它在书店的书架上显得有些“泯然众人矣”。我承认，我是一个容易被“颜值”吸引的读者，尤其是在面对浩如烟海的书籍时。我总是倾向于选择那些封面设计新颖、具有现代感的作品，它们似乎预示着内容也会是紧跟时代、充满活力的。而这本《数值分析原理》，虽然名字听起来很“硬核”，但它的外观却未能激起我最初的探索欲望。它给人的感觉更像是一本承载着厚重历史和经典理论的教科书，而不是一本能够点燃我学习热情、激发我深入研究的“新伙伴”。我希望能看到一些更有设计感、更能体现出“21世纪高等院校教材”这个定位的元素，也许是更具冲击力的色彩搭配，亦或是更具艺术感的排版布局，亦或是能加入一些与数值分析领域前沿发展相关的视觉符号。不过，外观毕竟是次要的，我还是决定翻开它，去探寻其内在的价值，希望它能像一块未经雕琢的璞玉，等待我去发掘其光芒。

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阅读一本好的教材，我最看重的是其逻辑清晰的结构和循序渐进的讲解方式。对于《数值分析原理》这本书，我希望它能够将复杂的数值分析概念，按照一定的逻辑顺序，由浅入深地层层递进。我希望开头的部分能够从最基础的概念入手，例如误差分析、收敛性等，然后逐步引入插值与逼近、方程的求根、线性方程组的求解、常微分方程的数值解等经典内容。每一章都应该有清晰的教学目标，并且在讲解过程中，能够适当地引用一些相关的数学背景知识，但又不至于过于冗长，以免打断阅读的流畅性。我希望作者能够采用一种“引导式”的教学方法，在讲解每一个算法时，不仅介绍其原理和推导过程，还能解释其适用范围、优缺点以及可能存在的局限性。我希望它能够帮助我构建起一个完整而牢固的数值分析知识体系，而不是零散的知识点堆砌。

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书很好的，服务态度很好，

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好评！

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