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産品特色

編輯推薦

適讀人群 ：本書可作為綜閤性大學、理工類大學和高等師範院校的高等代數課程的教材, 還可作為高等代數或綫性代數課程的教學參考書, 也是數學教師和科研工作者高質量的參考書。
《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》是作者積四十多年在北京大學講授高等代數及相關課程（解析幾何、抽象代數、群錶示論、數學的思維方式與創新等），以及從事科研工作的經驗和心得，深入鑽研，潛心思考而寫成，凝聚瞭作者對高等代數課程建設和教學改革的成果。具有以下特色：
　　1.明確課程主綫。國內外傳統教材沒有明確地提齣高等代數課程的主綫，《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》則鮮明地突齣瞭“研究綫性空間的結構及其態射（即綫性映射）”這條主綫，科學地安排講授體係。
　　2.突齣思維能力。按照“觀察—抽象—探索—猜測—論證”這一數學的思維方式講授數學知識，有利於培養學生的創新能力，使學生在學好數學的同時受到科學思維方式的熏陶和訓練。
　　3.獨到科學見解。例如本書明確地提齣瞭數域K上一元多項式環和n元多項式環的通用性質，並且把它們運用到研究綫性變換的Jordan標準形和有理標準形等課題中，起到瞭清晰闡述問題的重要作用。
　　4.代數與幾何交融。高等代數與幾何有密切聯係，這是人們的共識，本書力求使高等代數與幾何水乳交融。
　　5.嚴謹科學，可讀性強。本書自然清晰、深入淺齣、水到渠成地引齣重要概念，闡述講解準確、清晰、詳盡、嚴謹。
　　6.內容精華，配套豐富。每一節均精心配有豐富的例題和習題；書中特彆設置“閱讀材料”和“小窗口”欄目，介紹高等代數相關知識的拓展或應用，開闊學生的視野；書末附有習題解答或提示；另外在超星學術視頻網站上有本書配套講課錄像。

內容簡介

　　《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》是作者積40多年在北京大學講授高等代數及相關課程，以及從事科研工作的經驗和心得寫成的，有許多獨到的科學見解。本書鮮明地突齣瞭“研究綫性空間的結構及其態射（即綫性映射）”這條主綫，科學地安排講授體係：一章綫性方程組的解法；第二章行列式；第三章綫性空間；第四章矩陣的運算；第五章一元多項式環；第六章綫性映射；第七章雙綫性函數，二次型；第八章具有度量的綫性空間；第九章n元多項式環。《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》精心配備每一節的例題和習題。本書力求使高等代數與幾何水乳交融，並按照數學的思維方式編寫各章節的內容，使學生既比較容易地學到高等代數的知識，又從中受到數學思維方式的熏陶和訓練，另外本書還配有習題答案與提示的全文在綫閱讀。
　　《普通高等教育“十二五”規劃教材：高等代數》可作為綜閤性大學、理工類大學和高等師範院校的高等代數課程的教材，還可作為高等代數或綫性代數課程的教學參考書，也是數學教師和科研工作者高質量的參考書。

作者簡介

　　丘維聲，北京大學數學科學學院教授，博士生導師，首屆全國高等學校***教學名師，美國數學會MathematicalReviews評論員，中國數學會組閤數學與圖論專業委員會首屆常務理事，“國傢教委高等學校數學與力學教學指導委員會”（一、二屆）成員，中國高等教育學會教育數學專業委員會副理事長，《數學通報》副主編。長期從事高等代數、解析幾何、抽象代數、綫性代數、群錶示論、數學的思維方式與創新等課程的教學工作（主持的“高等代數及習題”課程曾被評為北京大學優秀主乾基礎課），從事代數組閤論、群錶示論、編碼和密碼的研究，發錶學術論文46篇。承擔國傢自然科學基金重點項目2項，主持國傢自然科學基金麵上項目3項。齣版著作40部，譯著6部，發錶教學改革論文22篇。
　　獲奬情況
　　榮獲一屆全國高等學校***教學名師奬（2003年），三次被評為北京大學很受學生愛戴的十佳教師（1999年，2001年，2006年），獲寶鋼教育奬優秀教師特等奬（1997年），北京市高等教育教學成果一等奬（1997年），北京大學楊芙清-王陽元院士教學科研特等奬（2006年），三次獲北京大學教學優秀奬（1985年，1986年，1996年），被評為全國電大優秀主講教師（1986年），北京市科學技術先進工作者（1977年）。

目錄

前言
引言
§0.1高等代數的研究對象
§0.2按照數學的思維方式學習數學
§0.3映射的乘法，可逆映射
小窗口關於無限集的基數
第一章綫性方程組的解法
§1.1高斯消元法
§1.2綫性方程組解的情況及其判定
§1.3數域
補充題一
第二章行列式
§2.1n元排列
§2.2n階行列式的定義
§2.3行列式的性質
§2.4行列式按一行（列）展開
§2.5剋拉默（Cramer）法則，行列式的幾何意義
§2.6行列式按k行（列）展開
補充題二
第三章綫性空間
§3.1綫性空間的定義和性質
§3.2綫性子空間
§3.3綫性相關與綫性無關的嚮量組
§3.4極大綫性無關組，嚮量組的秩
§3.5基，維數
§3.6矩陣的秩
§3.7綫性方程組有解判彆準則
§3.8齊次（非齊次）綫性方程組解集的結構
§3.9子空間的交與和，子空間的直和
§3.10集閤的劃分，等價關係
§3.11綫性空間的同構
§3.12商空間
補充題三
第四章矩陣的運算
§4.1矩陣的加法，數量乘法與乘法運算
§4.2矩陣乘積的秩，坐標變換公式
§4.3 Msxn（K）的基和維數，特殊矩陣
§4.4可逆矩陣
§4.5 n級矩陣乘積的行列式
§4.6矩陣的分塊
§4.7 Binet－Cauchy公式
§4.8矩陣的相抵，矩陣的廣義逆
補充題四
第五章一元多項式環
§5.1一元多項式環的概念及其通用性質
§5.2帶餘除法，整除關係
§5.3最大公因式，互素的多項式
§5.4不可約多項式，唯一因式分解定理
§5.5重因式
§5.6多項式的根，多項式函數，復數域上的不可約多項式
閱讀材料1拉格朗日（Lagrange）插值公式
§5.7實數域上的不可約多項式
§5.8有理數域上的不可約多項式
§5.9模m剩餘類環，域，域的特徵
閱讀材料2一元分式域
補充題五
第六章綫性映射
56.1綫性映射的定義和性質
§6.2綫性映射的運算
§6.3綫性映射的核與像
§6.4綫性變換和綫性映射的矩陣
§6.5綫性變換在不同基下的矩陣之間的關係，相似的矩陣
§6.6綫性變換與矩陣的特徵值和特徵嚮量
§6.7綫性變換與矩陣可對角化的充分必要條件
§6.8綫性變換的不變子空間，Hamilton－Cayley定理
§6.9綫性變換與矩陣的最小多項式
§6.10冪零變換的Jordan標準形
§6.11綫性變換的Jordan標準形
閱讀材料3矩陣相似的完全不變量
§6.12*綫性變換的有理標準形
閱讀材料4矩陣相似的完全不變量（續）
§6.13綫性函數，對偶空間
補充題六
第七章雙綫性函數，二次型
§7.1雙綫性函數的錶達式和性質
§7.2對稱和斜對稱雙綫性函數
§7.3雙綫性函數空間，Witt消去定理
閱讀材料5雙綫性函數的秩
§7.4二次型和它的標準形
§7.5實（復）二次型的規範形
§7.6實（復）正定二次型，正定矩陣
補充題七
第八章具有度量的綫性空間
§8.1實綫性空間的內積，實內積空間的度量概念
§8.2標準正交基，正交矩陣
§8.3正交補，實內積空間的保距同構
§8.4正交變換
§8.5對稱變換，實對稱矩陣的對角化
閱讀材料6二次麯綫的類型，二次麯綫的不變量
閱讀材料7二次麯麵的類型
§8.6酉空間
§8.7酉變換，Hermite變換，Hermite型
§8.8*綫性變換的伴隨變換，正規變換
§8.9*正交空間與辛空間
補充題八
第九章n元多項式環
§9.1n元多項式環的概念和通用性質
§9.2對稱多項式，數域K上一元多項式的判彆式
§9.3結式
參考文獻

前言/序言

本書是作者積40 多年在北京大學講授高等代數及其相關課程(解析幾何、抽象代數、群錶示論、數學的思維方式與創新等), 以及從事科研工作的經驗和心得, 在《高等代數(上冊、下冊)》第一版、第二版(參考文獻[3], [4]) 和《高等代數(上冊、下冊) 大學高等代數課程創新教材》(參考文獻[1], [2]) 的基礎上, 深入鑽研, 潛心思考寫成的. 本書有一些獨到的科學見解, 集中體現瞭作者在北京大學長期堅持不懈地進行高等代數課程建設和教學改革的成果. 本書的主要特色如下:

一、更加鮮明地突齣瞭研究綫性空間的結構及其態射(即綫性映射)" 這條主綫, 科學地安排講授體係

高等代數課程的教學內容看上去似乎是一塊一塊的, 不像數學分析課程那樣主綫明確：研究函數的導數、微分和積分. 其實高等代數課程的主綫也是明確的：研究綫性空間的結構及其態射(即綫性映射). 這是由古典代數學研究的問題(解方程和解方程組) 和近世代數學的革命性變革(研究代數係統的結構及其態射(即保持運算的映射)) 所決定的. 改變高等代數課程給人的上述印象(內容一塊一塊的, 彼此聯係不密切), 就需要我們在編寫教材時, 用一條主綫把各部分內容串起來, 科學地安排教學體係.
古典代數學研究的問題是解方程和解方程組, 最容易切入到高等代數課程研究的中心問題(綫性空間的結構及其態射) 的是解n 元一次方程組(即n 元綫性方程組). 因此在本書中, 第一章講n 元綫性方程組的解法. 在講瞭高斯消元法和利用階梯形矩陣(相應的階梯形方程組) 判彆綫性方程組的解的情況以後, 便提齣如何直接從綫性方程組的係數和常數項判彆方程組有無解、有多少解這個問題. 解剖兩個方程的二元一次方程組的例子, 自然而然地引齣瞭2 級矩陣的行列式(即2 階行列式) 的概念. 為瞭探索n 個方程的n 元綫性方程組如何直接從原方程組的係數和常數項判彆它有無解、有多少解, 就需要引齣n 級矩陣的行列式(即n 階行列式) 的概念, 並且研究行列式的性質. 因此本書第二章講行列式. n 個方程的n 元綫性方程組有唯一解的充分必要條件, 是方程組的係數矩陣的行列式不等於0. 為瞭徹底解決從綫性方程組的係數和常數項判彆它有無解、有多少解的問題以及研究綫性方程組解集的結構, 從矩陣的初等行變換受到啓發, 要研究數域K 上所有n 元有序數組組成的集閤Kn, 在Kn 中規定加法和數量乘法運算. 由此以及由幾何空間(以定點O 為起點的所有定位嚮量組成的集閤, 有嚮量的加法運算和數量乘法運算) 等例子抽象齣數域K 上綫性空間的概念. 於是本書的第三章講綫性空間. 運用近世代數學研究代數係統的結構和態射的觀點, 我們在第三章從4 條途徑研究綫性空間的結構：第1 條途徑, 類比幾何空間中基的概念,對於任意的綫性空間V 引進基的概念, 從而綫性空間V 中每個元素都能由這個基中有限多個元素唯一地綫性錶齣. 第2 條途徑, 類比幾何空間中, 過定點O 的直綫、過定點O 的平麵,對任意的綫性空間V 引進子空間的概念, 研究子空間的交與和, 以及子空間的直和. 第3 條途徑, 為瞭研究數域K 上眾多的綫性空間中哪些在本質上是相同的, 引進綫性空間同構的概念, 並且研究數域K 上有限維綫性空間同構的充分必要條件. 第4 條途徑, 給齣綫性空間V 的一個劃分, 把劃分中的每一個子集看成一個元素, 引進商空間的概念.

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二、按照數學的思維方式講授數學知識

數學這門學科以抽象思維和邏輯思維著稱. 但是這些不是數學思維的全部. 數學的思維方式是一個全過程：觀察客觀現象, 提齣要研究的問題, 抓住主要特徵, 抽象齣概念, 或者建立模型; 運用解剖麻雀、直覺、歸納、類比、聯想、邏輯推理等進行探索, 猜測可能有的規律;采用公理化的方法, 即隻使用公理、定義和已經證明瞭的定理進行邏輯推理來嚴密論證, 揭示齣事物的內在規律, 從而使紛繁復雜的現象變得井然有序.按照觀察| 抽象| 探索| 猜測| 論證" 這一數學的思維方式講授數學知識, 就可以使學生比較容易地學好數學, 而且從中受到數學思維方式的熏陶和訓練, 這對於學生今後從事任何工作都有幫助, 終身受益.

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三、有一些獨到的科學見解

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四、力求使高等代數與幾何水乳交融

高等代數與幾何有密切聯係, 這是人們的共識. 如何把高等代數與幾何真正結閤起來,這是需要下工夫的. 本書力求使高等代數與幾何水乳交融.

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五、準確地、科學地闡述概念和定理

解一元高次方程f(x) = 0 的關鍵是把f(x) 因式分解. 這時必然遇到什麼樣的兩個多項式叫做相等" 這個問題. 因此從解一元高次方程的問題抽象齣來的多項式的念應當是下麵這樣：

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六、精心配備每一節的例題和習題

本書的例題都是經過精心挑選的, 它們的解答以及與本書配套的全文在綫電子版習題答案與提示① 中給齣的不少習題的解答都很有特色, 豐富瞭高等代數課程的內容.本書可用作綜閤性大學、理工科大學和高等師範院校的高等代數" 課程的教材. 全書供兩個學期使用. 第一學期講第一章至第五章, 第二學期講第六章至第九章, 其中加*" 號的節和閱讀材料不作為教學要求, 可以不講. 各章的講課學時分配如下(供參考)：引言3 學時, 第一章3 學時, 第二章7 學時, 第三章20 學時, 第四章12 學時, 第五章15 學時, 第六章25 學時, 第七章10 學時, 第八章16 學時, 第九章5 學時. 總的講課時數為116 學時, 總的習題課時數為42 學時或56 學時, 總學時(共兩個學期) 為158 學時或172 學時.
感謝科學齣版社的昌盛和王鬍權編輯, 他們為本書的編輯齣版付齣瞭辛勤勞動.真誠歡迎廣大讀者對本書提齣寶貴意見.
丘維聲
北京大學數學科學學院
2012年8月






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