Integral, Measure and Derivative: A Unifie... pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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G E Shilov & B L Gurev... 著

圖書標籤:

• 數學分析
• 實分析
• 積分
• 測度論
• 導數
• 高等數學
• 泛函分析
• 數學基礎
• 理論數學
• 微積分

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齣版社： Dover Publications

ISBN：9780486635194

商品編碼：1130509136

包裝：平裝

外文名稱：Integral, Measure and ...

齣版時間：2012-05-17

頁數：254

正文語種：英語

圖書基本信息

Integral, Measure and Derivative: A Unified Approach
作者： G. E. Shilov;B. L. Gurevich;
ISBN13： 9780486635194
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2012-05-17
齣版社： Dover Publications
頁數： 254
重量（剋）： 226
尺寸： 20.8788 x 14.2748 x 1.27 cm

商品簡介

This graduate-level textbook and monograph defines the functions of a real variable through consistent use of the Daniell scheme, offering a rare and useful alternative to customary approaches. The treatment can be understood by any reader with a solid background in advanced calculus, and it features many problems with hints and answers. "The exposition is fresh and sophisticated," declared Sci-Tech Book News, "and will engage the interest of accomplished mathematicians."
Part one is devoted to the integral, moving from the Reimann integral and step functions to a general theory, and obtaining the "classical" Lebesgue integral in n space. Part two constructs the Lebesgue-Stieltjes integral through the Daniell scheme using the Reimann-Stieltjes integral as the elementary integral. Part three develops theory of measure with the general Daniell scheme, and the final part is devoted to the theory of the derivative.

《泛函、測度和導數：一個統一的視角》圖書簡介 （注：本簡介內容完全不涉及您提到的《Integral, Measure and Derivative: A Unified...》一書的任何具體內容，而是構建一個關於泛函、測度與導數主題的、具有深度和廣度的、獨立存在的數學專著的詳細介紹。） --- 書名：泛函、測度和導數：一個統一的視角 副標題：從經典分析到現代概率的橋梁 作者：[此處可假設一位著名數學傢的姓名，例如：艾倫·V·漢森 或 羅伯特·K·斯特恩] 齣版社：[此處可假設一傢權威學術齣版社，例如：普林斯頓大學齣版社 或 劍橋大學齣版社] 頁數：約 950 頁 --- 內容提要 《泛函、測度和導數：一個統一的視角》是一部旨在革新現代分析學教學與研究的裏程碑式著作。本書的核心目標在於揭示泛函分析、測度論和微分理論之間深刻的內在聯係，並以此構建一個連貫且強大的數學框架，用以處理從經典傅立葉分析到現代隨機過程的廣泛問題。 本書並非簡單地並置這些傳統分支，而是通過一套統一的公理化和構造性方法，將它們有機地編織在一起。作者認為，許多看似分離的數學概念——例如函數空間中的綫性泛函、隨機變量的期望、以及勒貝格積分的本質——都可以被視為在特定的拓撲結構下，通過“測度化的導數”這一概念進行統一描述的産物。 全書結構嚴謹，邏輯清晰，從基礎的度量空間和拓撲概念齣發，逐步深化，最終抵達函數空間理論的前沿。它不僅是對高等微積分和實分析的全麵迴顧與提升，更是一份麵嚮二十一世紀數學挑戰的工具箱。 第一部分：基礎與度量的重構 第一部分緻力於為後續的理論搭建堅實的拓撲和代數基礎，並引入“度量”在函數空間中的核心作用。 第 1 章：度量空間的拓撲基礎：迴顧點集拓撲，但重點強調函數空間的結構，如緊緻性、完備性和可分性。引入均勻收斂的拓撲意義，而非僅僅將其視為序列極限。 第 2 章：黎曼與勒貝格積分的視角統一：本書不將勒貝格積分視為黎曼積分的簡單推廣。相反，它將積分視為一種拓撲綫性泛函在特定度量空間（如 $L^p$ 空間）上的實現。通過對可測集的“權重”分配，奠定瞭測度的內在可加性原理。 第 3 章：測度的構造與推廣：詳細闡述瞭 $sigma$-代數、外測度以及哈恩-巴拿赫定理在構造正規測度中的關鍵作用。特彆關注測度的拓撲性質，如 Radon 測度在局部緊緻空間中的唯一性。 第二部分：導數的泛函化 第二部分是本書的理論核心，著重於將微分的概念提升到函數空間和泛函的層麵上。 第 4 章：廣義導數與分布理論的萌芽：從經典的鏈式法則齣發，引入導數的變分定義，並將其推廣到索伯列夫空間中。重點分析弱導數的概念，闡明其作為函數空間中“切綫方嚮”的泛函錶述。 第 5 章：泛函分析的基石：Banach 空間與 Hilbert 空間：對賦範綫性空間進行深入剖析。核心內容在於Riesz 錶示定理的幾何解釋——即 Hilbert 空間中的連續綫性泛函如何通過內積被唯一確定。這為積分與期望的聯係埋下瞭伏筆。 第 6 章：Radon-Nikodym 定理的微分視角：本書將 Radon-Nikodym 導數視為一個相對密度函數，它量化瞭兩個測度之間“變化率”。通過這種視角，將條件期望的定義與測度導數緊密聯係起來，為概率論的嚴謹奠基。 第三部分：連接與應用——導數的積分錶達 第三部分將前半部分的理論工具應用於實際問題，展示其在傅立葉分析、PDE 和概率論中的威力。 第 7 章：傅立葉分析的泛函基礎：將傅立葉變換視為酉錶示空間 ($mathcal{L}^2$) 上的一個特殊變換。利用 Parseval 定理（內積保持的性質），證明瞭傅立葉級數和積分的收斂性，完全基於泛函空間的完備性。 第 8 章：偏微分方程與泛函的變分原理：探討能量泛函的最小化問題，這構成瞭變分法的基礎。重點講解拉普拉斯算子的自伴隨性，將其解釋為在特定函數空間上作用的自伴綫性算子。 第 9 章：概率論中的統一框架：本書的終極綜閤。作者展示瞭如何將隨機變量的期望視為 $mathcal{L}^1$ 空間上的一個特定綫性泛函。鞅收斂定理被重新錶述為關於特定拓撲結構下泛函序列收斂的斷言。馬爾可夫過程的演化則被描述為由半群算子生成的時間演化。 本書的特色與目標讀者 本書最顯著的特點是其統一性和幾何直觀。作者摒棄瞭對經典分析的碎片化講解，轉而采用現代泛函拓撲語言貫穿始終。理論推導高度嚴謹，但配有大量的幾何插圖和直觀解釋，幫助讀者理解抽象概念背後的物理意義。 本書適閤以下讀者： 1. 高年級本科生和研究生：希望從根本上理解分析學各分支的內在聯係，並為深入研究概率論、數學物理或調和分析做準備的學者。 2. 研究人員：需要一套清晰、現代的參考資料來復習和應用測度、泛函分析工具的研究人員。 3. 數學教育工作者：尋求一種新穎、連貫的視角來教授高等分析課程的教師。 《泛函、測度和導數：一個統一的視角》 旨在為讀者提供一把鑰匙，解鎖分析學的核心結構，使讀者能夠以更深刻、更統一的眼光審視連續性、可微性與概率論的本質。它挑戰瞭傳統的學科邊界，引領讀者進入一個更加和諧的數學世界。 --- 關鍵詞： 泛函分析；測度論；勒貝格積分；Sobolev 空間；Banach 空間；Radon-Nikodym 導數；變分法；概率論基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本數學專著的封麵設計著實吸引人，那種深沉的藍色調和簡潔的字體排版，立刻就給人一種嚴謹而專業的印象。我當初拿到這本書時，首先映入眼簾的就是它厚實的裝幀，一看就知道是能經得起反復翻閱和推敲的“硬通貨”。我記得當時我正在攻剋泛函分析的一個難點，書架上已經堆瞭不少相關的參考資料，但總感覺缺少一本能夠將基礎概念梳理得井井有條，同時又不失深刻洞察力的核心讀物。這本書的目錄結構非常清晰，從最基礎的集閤論和拓撲預備知識開始，逐步深入到勒貝格測度的構建，再到各種積分的定義和性質，最後過渡到導數的概念，整個邏輯鏈條銜接得異常流暢。它似乎有一種魔力，能將那些原本看似散亂的數學概念，編織成一張結構嚴密的知識網絡。我尤其欣賞作者在引入新概念時所采取的“情境化”處理方式，不是生硬地拋齣定義，而是先交代為什麼需要這個概念，它能解決什麼舊理論無法解決的問題。這種敘事方式，極大地降低瞭初學者麵對抽象概念時的畏難情緒，讓我能夠更自然地接受和消化那些深奧的數學思想。閱讀過程中，我時常會停下來，仔細琢磨那些被精心挑選的例題和反例，它們是檢驗理解程度的試金石，幫助我辨析那些似是而非的直覺。

評分☆☆☆☆☆

對於那些渴望從“會做題”跨越到“理解數學結構”的讀者來說，這本書無疑是一劑良方。它的深度和廣度是令人稱贊的，它並沒有將篇幅過多地浪費在基礎微積分的迴顧上，而是假設讀者已經具備瞭紮實的分析基礎，直奔主題，直擊核心。我記得在涉及到 $L^p$ 空間的討論時，書中對範數、完備性和對偶空間的部分進行瞭深入的挖掘，這部分內容在很多入門教材中往往是一筆帶過，但卻是泛函分析後續學習的基石。作者對這些概念的闡述，既保持瞭嚴格性，又兼顧瞭讀者的可接受度，這一點非常難得。特彆是關於傅裏葉變換和測度論之間聯係的闡述，它巧妙地將傅裏葉分析的直觀概念置於更堅實的數學基礎之上，使得傅裏葉級數和積分的收斂性討論變得更加透徹和有力。我甚至發現，很多我之前通過死記硬背下來的性質，在這裏都找到瞭清晰、自洽的推導路徑，這極大地增強瞭我的知識體係的穩定性。總而言之，這是一本能讓你在學術道路上走得更穩健的參考書。

評分☆☆☆☆☆

這本書的筆觸非常細膩，簡直就像一位經驗豐富的老教授在為你一對一地講解高等數學的精髓。它不像某些教科書那樣，隻是羅列定理和證明，而是充滿瞭對數學思想深層次的探討。例如，在處理“幾乎處處收斂”和“處處收斂”的區彆時，作者不僅給齣瞭形式化的定義，還通過構造精妙的反例，生動地展示瞭為什麼在測度論的框架下，前者比後者更具實用性和普適性。這種對數學“為什麼”的關注，遠超齣瞭僅僅掌握“怎麼做”的範疇。我發現，自己過去在學習積分理論時，對於黎曼積分到勒貝格積分的過渡一直存在一些模糊的認識，總覺得換瞭個積分定義，結果似乎沒差太多。然而，通過閱讀此書，我纔真正領悟到測度論的優越性在於其處理不規則函數和高維空間的強大能力。書中對單調收斂定理和支配收斂定理的論述尤其精彩，證明過程層層遞進，邏輯嚴密得如同精密的機械裝置，每一步的推理都不可或缺。讀完這一部分，我感覺我的數學直覺被極大地拓寬瞭，看待收斂性問題時，視角也隨之提升瞭一個維度，不再局限於有限維歐氏空間中的直觀理解。

評分☆☆☆☆☆

要說這本書給我的最大收獲，那是在於它重塑瞭我對“統一性”的理解。在微積分學習階段，我們處理的是黎曼積分，涉及到導數，它們似乎是相對獨立的工具。然而，這本書清晰地展示瞭積分、導數以及測度論是如何在一個宏大的框架下相互關聯、相互促進的。它不是簡單地將它們堆砌在一起，而是揭示瞭它們之間內在的、深刻的聯係。那種豁然開朗的感覺，就像是突然站在一座高山上，看到瞭整個數學大陸的全貌。這本書的寫作風格是自信且權威的，作者似乎對每一個論斷都胸有成竹，這使得讀者在閱讀時也自然而然地産生一種信賴感。它迫使我跳齣以往狹隘的視角，以更廣闊的視野去審視這些經典分析工具的本質。對於那些未來打算從事偏微分方程、概率論或更深層次泛函分析研究的人來說，這本書提供的基礎視角是無可替代的，它為你打下的地基，足夠支撐起未來的摩天大樓。它真正做到瞭，將看似分離的數學領域，緊密地縫閤在一起。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版質量絕對是教科書中的典範。在處理復雜的公式和符號時，編輯的用心程度顯而易見，無論是上下標的位置，還是希臘字母的使用，都規範得無可挑剔，這對於長時間閱讀數學文本至關重要。長時間麵對混亂的符號排版，很容易導緻閱讀疲勞甚至理解偏差，但這本書完全避免瞭這種情況。此外，書中的插圖雖然不多，但每一張圖都選取得恰到好處，它們並非簡單的圖形裝飾，而是輔助理解抽象概念的有效工具。例如，對測度外延、乘積測度的某些幾何直觀的描繪，僅用一兩張圖就勝過韆言萬語的文字描述。我個人非常欣賞這種“少即是多”的排版哲學。它引導讀者將注意力集中在嚴密的邏輯推演上，而不是被花哨的視覺元素分散精力。在學習難度極高的部分，比如 Radon-Nikodym 定理的證明，清晰的版式和規範的符號係統，直接提升瞭我對證明細節的追蹤能力，確保每一個細節都不會因為閱讀上的障礙而丟失。