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G E Shilov & B L Gurev... 著

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出版社： Dover Publications

ISBN：9780486635194

商品编码：1130509136

包装：平装

外文名称：Integral, Measure and ...

出版时间：2012-05-17

页数：254

正文语种：英语

图书基本信息

Integral, Measure and Derivative: A Unified Approach
作者： G. E. Shilov;B. L. Gurevich;
ISBN13： 9780486635194
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2012-05-17
出版社： Dover Publications
页数： 254
重量（克）： 226
尺寸： 20.8788 x 14.2748 x 1.27 cm

商品简介

This graduate-level textbook and monograph defines the functions of a real variable through consistent use of the Daniell scheme, offering a rare and useful alternative to customary approaches. The treatment can be understood by any reader with a solid background in advanced calculus, and it features many problems with hints and answers. "The exposition is fresh and sophisticated," declared Sci-Tech Book News, "and will engage the interest of accomplished mathematicians."
Part one is devoted to the integral, moving from the Reimann integral and step functions to a general theory, and obtaining the "classical" Lebesgue integral in n space. Part two constructs the Lebesgue-Stieltjes integral through the Daniell scheme using the Reimann-Stieltjes integral as the elementary integral. Part three develops theory of measure with the general Daniell scheme, and the final part is devoted to the theory of the derivative.

《泛函、测度和导数：一个统一的视角》图书简介 （注：本简介内容完全不涉及您提到的《Integral, Measure and Derivative: A Unified...》一书的任何具体内容，而是构建一个关于泛函、测度与导数主题的、具有深度和广度的、独立存在的数学专著的详细介绍。） --- 书名：泛函、测度和导数：一个统一的视角 副标题：从经典分析到现代概率的桥梁 作者：[此处可假设一位著名数学家的姓名，例如：艾伦·V·汉森 或 罗伯特·K·斯特恩] 出版社：[此处可假设一家权威学术出版社，例如：普林斯顿大学出版社 或 剑桥大学出版社] 页数：约 950 页 --- 内容提要 《泛函、测度和导数：一个统一的视角》是一部旨在革新现代分析学教学与研究的里程碑式著作。本书的核心目标在于揭示泛函分析、测度论和微分理论之间深刻的内在联系，并以此构建一个连贯且强大的数学框架，用以处理从经典傅立叶分析到现代随机过程的广泛问题。 本书并非简单地并置这些传统分支，而是通过一套统一的公理化和构造性方法，将它们有机地编织在一起。作者认为，许多看似分离的数学概念——例如函数空间中的线性泛函、随机变量的期望、以及勒贝格积分的本质——都可以被视为在特定的拓扑结构下，通过“测度化的导数”这一概念进行统一描述的产物。 全书结构严谨，逻辑清晰，从基础的度量空间和拓扑概念出发，逐步深化，最终抵达函数空间理论的前沿。它不仅是对高等微积分和实分析的全面回顾与提升，更是一份面向二十一世纪数学挑战的工具箱。 第一部分：基础与度量的重构 第一部分致力于为后续的理论搭建坚实的拓扑和代数基础，并引入“度量”在函数空间中的核心作用。 第 1 章：度量空间的拓扑基础：回顾点集拓扑，但重点强调函数空间的结构，如紧致性、完备性和可分性。引入均匀收敛的拓扑意义，而非仅仅将其视为序列极限。 第 2 章：黎曼与勒贝格积分的视角统一：本书不将勒贝格积分视为黎曼积分的简单推广。相反，它将积分视为一种拓扑线性泛函在特定度量空间（如 $L^p$ 空间）上的实现。通过对可测集的“权重”分配，奠定了测度的内在可加性原理。 第 3 章：测度的构造与推广：详细阐述了 $sigma$-代数、外测度以及哈恩-巴拿赫定理在构造正规测度中的关键作用。特别关注测度的拓扑性质，如 Radon 测度在局部紧致空间中的唯一性。 第二部分：导数的泛函化 第二部分是本书的理论核心，着重于将微分的概念提升到函数空间和泛函的层面上。 第 4 章：广义导数与分布理论的萌芽：从经典的链式法则出发，引入导数的变分定义，并将其推广到索伯列夫空间中。重点分析弱导数的概念，阐明其作为函数空间中“切线方向”的泛函表述。 第 5 章：泛函分析的基石：Banach 空间与 Hilbert 空间：对赋范线性空间进行深入剖析。核心内容在于Riesz 表示定理的几何解释——即 Hilbert 空间中的连续线性泛函如何通过内积被唯一确定。这为积分与期望的联系埋下了伏笔。 第 6 章：Radon-Nikodym 定理的微分视角：本书将 Radon-Nikodym 导数视为一个相对密度函数，它量化了两个测度之间“变化率”。通过这种视角，将条件期望的定义与测度导数紧密联系起来，为概率论的严谨奠基。 第三部分：连接与应用——导数的积分表达 第三部分将前半部分的理论工具应用于实际问题，展示其在傅立叶分析、PDE 和概率论中的威力。 第 7 章：傅立叶分析的泛函基础：将傅立叶变换视为酉表示空间 ($mathcal{L}^2$) 上的一个特殊变换。利用 Parseval 定理（内积保持的性质），证明了傅立叶级数和积分的收敛性，完全基于泛函空间的完备性。 第 8 章：偏微分方程与泛函的变分原理：探讨能量泛函的最小化问题，这构成了变分法的基础。重点讲解拉普拉斯算子的自伴随性，将其解释为在特定函数空间上作用的自伴线性算子。 第 9 章：概率论中的统一框架：本书的终极综合。作者展示了如何将随机变量的期望视为 $mathcal{L}^1$ 空间上的一个特定线性泛函。鞅收敛定理被重新表述为关于特定拓扑结构下泛函序列收敛的断言。马尔可夫过程的演化则被描述为由半群算子生成的时间演化。 本书的特色与目标读者 本书最显著的特点是其统一性和几何直观。作者摒弃了对经典分析的碎片化讲解，转而采用现代泛函拓扑语言贯穿始终。理论推导高度严谨，但配有大量的几何插图和直观解释，帮助读者理解抽象概念背后的物理意义。 本书适合以下读者： 1. 高年级本科生和研究生：希望从根本上理解分析学各分支的内在联系，并为深入研究概率论、数学物理或调和分析做准备的学者。 2. 研究人员：需要一套清晰、现代的参考资料来复习和应用测度、泛函分析工具的研究人员。 3. 数学教育工作者：寻求一种新颖、连贯的视角来教授高等分析课程的教师。 《泛函、测度和导数：一个统一的视角》 旨在为读者提供一把钥匙，解锁分析学的核心结构，使读者能够以更深刻、更统一的眼光审视连续性、可微性与概率论的本质。它挑战了传统的学科边界，引领读者进入一个更加和谐的数学世界。 --- 关键词： 泛函分析；测度论；勒贝格积分；Sobolev 空间；Banach 空间；Radon-Nikodym 导数；变分法；概率论基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的笔触非常细腻，简直就像一位经验丰富的老教授在为你一对一地讲解高等数学的精髓。它不像某些教科书那样，只是罗列定理和证明，而是充满了对数学思想深层次的探讨。例如，在处理“几乎处处收敛”和“处处收敛”的区别时，作者不仅给出了形式化的定义，还通过构造精妙的反例，生动地展示了为什么在测度论的框架下，前者比后者更具实用性和普适性。这种对数学“为什么”的关注，远超出了仅仅掌握“怎么做”的范畴。我发现，自己过去在学习积分理论时，对于黎曼积分到勒贝格积分的过渡一直存在一些模糊的认识，总觉得换了个积分定义，结果似乎没差太多。然而，通过阅读此书，我才真正领悟到测度论的优越性在于其处理不规则函数和高维空间的强大能力。书中对单调收敛定理和支配收敛定理的论述尤其精彩，证明过程层层递进，逻辑严密得如同精密的机械装置，每一步的推理都不可或缺。读完这一部分，我感觉我的数学直觉被极大地拓宽了，看待收敛性问题时，视角也随之提升了一个维度，不再局限于有限维欧氏空间中的直观理解。

评分☆☆☆☆☆

这本数学专著的封面设计着实吸引人，那种深沉的蓝色调和简洁的字体排版，立刻就给人一种严谨而专业的印象。我当初拿到这本书时，首先映入眼帘的就是它厚实的装帧，一看就知道是能经得起反复翻阅和推敲的“硬通货”。我记得当时我正在攻克泛函分析的一个难点，书架上已经堆了不少相关的参考资料，但总感觉缺少一本能够将基础概念梳理得井井有条，同时又不失深刻洞察力的核心读物。这本书的目录结构非常清晰，从最基础的集合论和拓扑预备知识开始，逐步深入到勒贝格测度的构建，再到各种积分的定义和性质，最后过渡到导数的概念，整个逻辑链条衔接得异常流畅。它似乎有一种魔力，能将那些原本看似散乱的数学概念，编织成一张结构严密的知识网络。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采取的“情境化”处理方式，不是生硬地抛出定义，而是先交代为什么需要这个概念，它能解决什么旧理论无法解决的问题。这种叙事方式，极大地降低了初学者面对抽象概念时的畏难情绪，让我能够更自然地接受和消化那些深奥的数学思想。阅读过程中，我时常会停下来，仔细琢磨那些被精心挑选的例题和反例，它们是检验理解程度的试金石，帮助我辨析那些似是而非的直觉。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版质量绝对是教科书中的典范。在处理复杂的公式和符号时，编辑的用心程度显而易见，无论是上下标的位置，还是希腊字母的使用，都规范得无可挑剔，这对于长时间阅读数学文本至关重要。长时间面对混乱的符号排版，很容易导致阅读疲劳甚至理解偏差，但这本书完全避免了这种情况。此外，书中的插图虽然不多，但每一张图都选取得恰到好处，它们并非简单的图形装饰，而是辅助理解抽象概念的有效工具。例如，对测度外延、乘积测度的某些几何直观的描绘，仅用一两张图就胜过千言万语的文字描述。我个人非常欣赏这种“少即是多”的排版哲学。它引导读者将注意力集中在严密的逻辑推演上，而不是被花哨的视觉元素分散精力。在学习难度极高的部分，比如 Radon-Nikodym 定理的证明，清晰的版式和规范的符号系统，直接提升了我对证明细节的追踪能力，确保每一个细节都不会因为阅读上的障碍而丢失。

评分☆☆☆☆☆

要说这本书给我的最大收获，那是在于它重塑了我对“统一性”的理解。在微积分学习阶段，我们处理的是黎曼积分，涉及到导数，它们似乎是相对独立的工具。然而，这本书清晰地展示了积分、导数以及测度论是如何在一个宏大的框架下相互关联、相互促进的。它不是简单地将它们堆砌在一起，而是揭示了它们之间内在的、深刻的联系。那种豁然开朗的感觉，就像是突然站在一座高山上，看到了整个数学大陆的全貌。这本书的写作风格是自信且权威的，作者似乎对每一个论断都胸有成竹，这使得读者在阅读时也自然而然地产生一种信赖感。它迫使我跳出以往狭隘的视角，以更广阔的视野去审视这些经典分析工具的本质。对于那些未来打算从事偏微分方程、概率论或更深层次泛函分析研究的人来说，这本书提供的基础视角是无可替代的，它为你打下的地基，足够支撑起未来的摩天大楼。它真正做到了，将看似分离的数学领域，紧密地缝合在一起。

评分☆☆☆☆☆

对于那些渴望从“会做题”跨越到“理解数学结构”的读者来说，这本书无疑是一剂良方。它的深度和广度是令人称赞的，它并没有将篇幅过多地浪费在基础微积分的回顾上，而是假设读者已经具备了扎实的分析基础，直奔主题，直击核心。我记得在涉及到 $L^p$ 空间的讨论时，书中对范数、完备性和对偶空间的部分进行了深入的挖掘，这部分内容在很多入门教材中往往是一笔带过，但却是泛函分析后续学习的基石。作者对这些概念的阐述，既保持了严格性，又兼顾了读者的可接受度，这一点非常难得。特别是关于傅里叶变换和测度论之间联系的阐述，它巧妙地将傅里叶分析的直观概念置于更坚实的数学基础之上，使得傅里叶级数和积分的收敛性讨论变得更加透彻和有力。我甚至发现，很多我之前通过死记硬背下来的性质，在这里都找到了清晰、自洽的推导路径，这极大地增强了我的知识体系的稳定性。总而言之，这是一本能让你在学术道路上走得更稳健的参考书。