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潘鑫 著

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• 考研数学
• 线性代数
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• 高等数学
• 数学辅导
• 考研必备
• 基础讲解
• 名师辅导
• 应试指南
• 教材辅助

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302346852

版次：1

商品编码：11421400

品牌：清华大学

包装：平装

开本：16开

出版时间：2014-05-01

用纸：胶版纸

页数：392

正文语种：中文

编辑推荐

　　

　　考研数学是所有科目中有可能得高分甚至满分的，是考研高分的关键科目之一。作者曾经就职于新东方考研，在国内“学员给老师打分”的教育机构中曾取得全满分的教学评价，也曾在多家培训机构走穴讲课，对考研知识体系和出题套路的理解异常深刻。作者现就职于新思路培训，将其“花言巧语”式的风格继续延续并广受好评。从内容上看，《考研数学三部曲之大话线性代数》完全颠覆了数学教科书的框架，像个身边的好兄弟给你嬉皮笑脸地答疑解惑。希望能给考研学子、本科生、尤其是自我感觉数学底子差而放弃考研的同学们带来新思路。
　　
　　考研为自己，没人逼你，所以你需要足够的自制力。
　　考研不是及格就可以，分数越高越好，所以你需要有决心拿满分（尤其是数学）。
　　考研不需要了解一切，只要精通考点和套路。
　　考研复习没必要按部就班地啃教材，重要的是学得开心。
　　考研都能满分，当然挂科也就断无此可能了。
　　考研数学满分没啥了不起，跟着老潘痛快地开始线性代数之旅吧！
　　

内容简介

　　《考研数学三部曲之大话线性代数》是一本独特的线性代数参考书，以“盖楼”为目标轻松构筑整个线性代数体系。读者每阅读完一章，就是盖完了大楼的一层，而每层中又分为“砖”和“房间”两部分，先运来“砖”再搭建“房间”，这种安排内容的方式使得全书充满了趣味性。
　　《考研数学三部曲之大话线性代数》的特色除了趣味性之外，还有三个“非常”：语言非常通俗易懂，逻辑非常清晰，例题非常丰富。
　　本书的主要内容包括高等院校线性代数课程的所有内容，针对考研数学的特殊性进行了强化，同时对于一些传统课本中的重点、难点、疑点以及容易被忽视的一些潜在要点做出了全新诠释，另外，由于作者常年从事考研培训，本书还包括相当多的不传之秘——考研数学的套路。
　　本书作者就职于著名培训机构，本书正是多年培训生涯的总结，毫无保留。
　　三类读者（哪怕零基础）适合阅读本书：正在准备研究生入学考试的读者；正在准备学校期末考试的在校大学生；工作后需要补学或温习线性代数的读者（如程序员等）。

作者简介

潘鑫，俗称老潘，曾在新东方等多个考研辅导机构担任考研数学讲师，现混迹于新思路，被众多考研学子誉为“知识讲解高人一等，例题解析入木三分”的考研数学讲师。
　　其逻辑思维缜密严谨，尤其擅长于化繁为简、直击要害。曾在多个考研论坛、贴吧发表文章，在网络上具有很高的知名度，是当前很受欢迎的考研数学讲师之一。

内页插图

目录

超级导读 线性代数大厦建造史（必看）
磨刀不误砍柴工。只有把刀磨好了，砍柴时才会事半功倍。

1 考研数学线性代数就是一座大楼
运用比喻，生动形象地为大家展示线性代数之美。
2 帮你盖楼
我是一个小有名气的建筑师，我将和大家一起盖好这座六层的大楼。
3 第1章到第6章的内容
大家来看看吧，这里有每一章展开后的样子。
4 满分要这样才行
内因才是最重要的，大家要想考高分，就必须按本节所说的这样去做。
5 给大家的话
愿我的话能激励大家在最疲倦、最懈怠的时候，因为责任而坚持，因为担当而无畏。
第1章 第一层--行列式
所谓行列式，无非是有行有列的东西。同学们，你们分得清什么是行什么是列吗？如果分得清，就一定能学好行列式！
1.1 第一车砖--行列式长什么样
我们在了解新事物的时候，最好先能对此事物有一个直观的认识。
1.2 第二车砖--行列式的本质
看事物不能只看表面，还要看到事物的本质。
1.3 第三车砖--行列式的基本计算方法
如果大家认为行列式很难计算的话，那么在看完本节之后，一定会有不一样的感受！
1.3.1 特殊行列式的计算
1.3.2 一般行列式的计算
1.4 第四车砖--行列式的五条性质
干一件事情，不光要把它干出来，还要有效率。行列式的五条性质将会使得行列式的计算变得容易。
1.4.1 性质1
1.4.2 性质2
1.4.3 性质3
1.4.4 性质4
1.4.5 性质5
1.5 第五车砖--克拉默法则
克拉默法则是什么？它和行列式有什么关系？
1.6 第六车砖--矩阵
来看看矩阵与行列式的区别吧，它们可不是同一个东西！
1.7 第七车砖--矩阵的运算
矩阵的运算一共有三种，想知道是哪三种吗？
1.7.1 矩阵与矩阵相加
1.7.2 数字与矩阵相乘
1.7.3 矩阵与矩阵相乘
1.8 第八车砖--矩阵的转置
矩阵与行列式一样，都可以进行转置，而且无论是行列式还是矩阵，转置指的都是将第一行变为第一列，将第二行变为第二列……
1.9 第九车砖--方阵、对角矩阵、单位矩阵、逆矩阵
方阵是特殊的矩阵，对角矩阵是特殊的方阵，而单位矩阵又是特殊的对角矩阵……
1.9.1 方阵
1.9.2 对角矩阵
1.9.3 单位矩阵
1.9.4 逆矩阵
1.10 第十车砖--矩阵的向量表示法
矩阵可以用向量来表示，到底该怎么表示呢？
1.11 房间101--关于代数余子式的三句话
这三句话太重要了，考研中经常会考到。这是大楼第一层的第一个房间，大家一定要用心去搭建这个房间哦。
1.11.1 第一句话
1.11.2 第二句话
1.11.3 第三句话
1.11.4 真题分析
1.12 房间102--克拉默法则的推论
克拉默法则前面已经讲过了，可又有谁能想到，克拉默法则还有推论呢。
1.12.1 第一个充分必要条件
1.12.2 第二个充分必要条件
1.12.3 第三个充分必要条件
1.12.4 第四个充分必要条件
1.12.5 真题分析
1.13 房间103--关于行列式的两种计算题
前面的“砖”中所讲的行列式的基本计算方法还不够应对考研中所涉及到的行列式的计算题。要想轻松应对考研中的行列式计算题的话，就要认真阅读本节。
1.13.1 抽象行列式的计算
1.13.2 具体行列式的计算
1.14 房间104--贯穿考研试题的思维定势
第1章的最后一个房间，在这个房间中，我要告诉大家一个好消息--一个万能公式。
1.15 小结
1.16 练习题
1.17 结尾语

第2章 第二层--矩阵
矩阵就是矩形啊，就是长方形。同学们，你们知道什么是长方形吗？如果你们知道的话，还有什么理由学不好矩阵呢？
2.1 第一车砖--矩阵的初等变换
任何一个矩阵，都可以进行初等变换。那么，矩阵的初等变换究竟是什么呢？请阅读本节的内容。
2.2 第二车砖--初等矩阵
单位矩阵只经过一次初等变换后形成的矩阵称为初等矩阵。
2.3 第三车砖--矩阵的秩
矩阵的秩是线性代数学科中的一个至关重要的知识点，一个承上启下的“桥梁”。
2.3.1 矩阵的子式的定义
2.3.2 矩阵的秩的定义
2.3.3 利用初等行变换来求矩阵的秩
2.4 房间201--第一个大总结
这个大总结可以说是重要极了，它贯穿于整个线性代数学科。请大家一定要把这个大总结熟练地背下来。
2.5 房间202--第二个大总结
本节内容完全可以由矩阵的运算推出来，但是本节的内容并不多余。如果大家能够熟练地将本节内容背下来，做题速度将会大大加快。
2.6 房间203--矩阵乘法的两条算定律
矩阵乘法满足结合律，矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律。
2.6.1 矩阵乘法满足结合律
2.6.2 矩阵乘法对矩阵加减法满足分配律
2.7 房间204--可交换的矩阵相乘特例
注意，矩阵乘法不满足交换律。但是，在本节的五个式子中，矩阵相乘是可以交换的。
2.8 房间205--关于矩阵转置的四个公式
之前给大家讲过矩阵的转置，本节将要给大家介绍关于矩阵的转置的四个公式。
2.9 房间206--关于矩阵可逆的六个公式
大家对于可逆矩阵并不陌生吧？既然如此，那么本节所讲的关于矩阵可逆的六个公式对大家来说应该也是没有难度的。
2.10 房间207--可逆矩阵、初等变换、初等矩阵、矩阵的秩之间的
关系以及等价矩阵
可逆矩阵、初等变换、初等矩阵以及矩阵的秩都已经给大家讲过了，房间207则是把这几个知识点融会贯通，使得同学们对于这部分知识的掌握达到考研的要求。
2.10.1 可逆矩阵与初等矩阵的关系
2.10.2 初等矩阵与初等变换的关系
2.10.3 初等变换与矩阵的秩的关系
2.10.4 初等矩阵的逆矩阵
2.10.5 等价矩阵
2.11 房间208--分块矩阵以及一些知识点的深化
本节对一些常考题型的解题方法做了归纳总结，使得同学们可以更加轻松快捷的解题！
2.11.1 分块矩阵
2.11.2 反对称矩阵
2.11.3 求一个矩阵的逆矩阵
2.11.4 特殊分块矩阵的逆矩阵
2.11.5 求一个矩阵的若干次幂
2.12 小结
2.13 练习题
2.14 结尾语

第3章 第三层--向量
同学们，你们矩阵都能学得那么好，而从矩阵中抽出一行或一列就是向量。也就是说，向量也是矩阵，只不过是特殊的矩阵罢了，更简单了。你们有理由学不好吗？
3.1 第一车砖--向量与向量组的基本概念
我们可以把向量组看成是一个大箱子，里面装着可爱的“向量们”。
3.2 第二车砖--线性表出的概念
“线性表出”也叫“线性表示”，是反映一个向量与一个向量组之间关系的专有名词。
3.3 第三车砖--线性相关与线性无关的概念
本节内容如果大家能掌握好，本章的后续章节就都不用怕啦！
3.4 第四车砖--最大无关组
“最大无关组”也称“极大无关组”、“最大线性无关组”、“极大线性无关组”。
3.5 第五车砖--“向量组的秩”的概念
啊！又出现了一个带“秩”的词！大家快来看看它是啥玩意儿吧！
3.6 第六车砖--“向量组的秩”与“矩阵的秩”的关系
“向量组的秩”与“矩阵的秩”都带“秩”字，它们到底有没有关系？
3.7 第七车砖--线性表出的推广
百尺竿头，更进一步。让我们将“线性表出”推广开来吧！
3.8 第八车砖--等价向量组
什么？难道不光是两个矩阵能等价，向量组也能？
3.9 房间301--关于线性相/无关要记的几个结论
理科有时也像文科，该记的就记，该背的就背！
3.10 房间302--方程组的求解
本节我要给大家讲的解方程组的方法与“克拉默法则”有什么区别呢？
3.10.1 求齐次方程组的通解
3.10.2 求非齐次方程组的通解
3.11 房间303--五个重要的定理
背下来！
3.11.1 定理1
3.11.2 定理2
3.11.3 定理3
3.11.4 定理4
3.11.5 定理5
3.11.6 真题分析
3.12 房间304--线性表出的本质
看到本质就一通百通啦！
3.13 房间305--初等行变换前后相应的列向量组具有相同的
线性相关性
本节是很有意思的一节，标题就是知识点，要搞明白哦。
3.14 房间306--与秩有关的八个公式
八大公式要背下来，务必！考研题中常在此处做文章。
3.15 房间307--向量空间
向量空间的不传之秘。
3.15.1 向量空间，基，维数，坐标
3.15.2 基变换公式
3.15.3 正交向量，正交矩阵，正交化
3.16 房间308--线性相/无关的证明题
本节要总结一下线性相/无关的证明题的解题方法。只要大家认真阅读，考研题中关于线性相/无关的证明题基本可以像刘翔一样迅速跨过。
3.16.1 方法1
3.16.2 方法2
3.17 小结
3.18 练习题
3.19 结尾语

第4章 第四层--解线性方程组
小学就学过解方程组，现在只不过是未知数个数多了一点儿。什么？你不会？你一定是在开玩笑。
4.1 房间401--求两个方程组的公共解
在第3章中，我们已经了解了如何求解齐次方程组和非齐次方程组。这一节我要告诉 大家的是如何求两个方程组的公共解。很简单，联立即可……
4.2 房间402--同解方程组的证明
“同解方程组”与上一节所讨论的问题“两个方程组的公共解”有共同点也有不同点。
4.2.1 方法1
4.2.2 方法2
4.3 房间403--已知齐次方程组的基础解系，反求齐次方程组
已知齐次方程组求基础解系这大家肯定是会了，如果反过来呢？已知齐次方程组的基础解系，该如何反求齐次方程组呢？
4.4 房间404--线性方程组解的性质
你了解线性方程组解的性质吗？如果还是一头雾霾，看完霾就散了。
4.5 房间405--通过讨论方程组中参数的取值，判断解的类型
方程组大家都会求解了吧？现在只不过是带参数的方程组而已，换汤不换药。
4.6 房间406--已知方程组解的类型，求方程组中的参数
如果上一个房间的解题方法掌握好的话，那本房间的落成简直不费吹灰之力。
4.7 小结
4.8 练习题
4.9 结尾语

第5章 第五层--特征值、特征向量、相似矩阵
当大家看到车的标志，就可以分辨“奥迪”、“宝马”和“奔驰”。车标就相当于“特征值、特征向量”。相似三角形了解不？相似矩阵比相似三角形更简单。
5.1 第一车砖--特征值、特征向量的基本概念
特征值和特征向量一定要搞透，才能进行之后的计算。
5.2 第二车砖--特征值、特征向量的计算方法
一个方阵的特征值和特征向量可以通过某种计算方法计算出来吗？废话！
5.3 第三车砖--对称矩阵、正交矩阵的复习
本节纯属复习，但相当有必要，结合其他知识，可以“温故而知新”。
5.4 第四车砖--矩阵有多少个特征值为零
第二车砖中，我们搞清楚了求特征值的方法。本节要讨论一个矩阵有多少个特征值为0。
5.5 第五车砖--相似矩阵
相似矩阵，顾名思义，真的很相似……
5.6 第六车砖--对角化
如果矩阵A可以相似于对角矩阵，则称矩阵A可以对角化。信老潘，就这么简单！
5.7 第七车砖--合同矩阵
合同矩阵与相似矩阵的定义式类似，所以请大家务必要区分清楚，记混是要犯错误的！
5.8 房间501--如何证明两个矩阵有相同的特征值
四种方法，一节搞定。
5.9 房间502--几个需要记住的结论
四条结论，务必背下。
5.9.1 结论1
5.9.2 结论2
5.9.3 结论3
5.9.4 结论4
5.10 房间503--与特征向量有关的证明题通常会用到反证法
有时，从结论出发，一顺到头才叫爽！
5.11 房间504--通过A的特征值、特征向量来推关于A的多项式的
特征值、特征向量
推理是很有意思的，破案。
5.12 房间505--什么样的方阵可以对角化
在本章的第六车砖中，我给大家介绍了对角化的概念。但是，并不是说任意的一个方阵A，就一定可以对角化！
5.13 房间506--若方阵可以对角化，那么 以及P怎么求
本节内容基于上一节内容，上一节弄明白了，本节就跟看小说一样。
5.14 房间507--关于相似矩阵的五个小结论
五个小结论，无穷大用途！
5.15 房间508--实对称矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量
必正交
任何一个矩阵的两个来自于不同特征值的特征向量必线性无关，而对于对称矩阵来说，它的两个来自于不同特征值的特征向量不但线性无关，而且正交。
5.16 房间509--实对称矩阵一定可以相似于对角矩阵
在房间505中，我告诉了大家判断某矩阵是否可以对角化的两个步骤，而对于实对称矩阵来说，一定可以对角化，根本就不需要用那两个步骤去判断。
5.17 房间510--实对称矩阵一定可以合同于对角矩阵
标题即结论，很重要。
5.18 小结
5.19 练习题
5.20 结尾语

第6章 第六层--二次型
二次型就是多项式，而且是二次多项式。高中时大家连三次和四次多项式都见过，那么二次多项式又怎么会有难度呢？
6.1 第一车砖--二次型的定义
二次型只不过是每项均由“常数 变量 变量”所组成的多项式（大家上初中时就学过多项式）而已，就这么简单。
6.2 第二车砖--二次型的对应矩阵
每个人都有一个梦想，每个二次型都有对应矩阵，而且可以互推，有点像函数表达式与函数图像的关系！
6.3 第三车砖--利用矩阵乘法来表示二次型
任何一个二次型 都可以表示成 （其中 ，A为二次型的对应矩阵）。
6.4 第四车砖--标准形
标准形是特殊的二次型，那么，它到底如何“标准”呢？
6.5 第五车砖--规范形
规范形是特殊的标准形。也就是说，它比“标准形”更“标准” ！
6.6 第六车砖--化二次型为标准形
基本技能，不多少，看正文吧。
6.7 第七车砖--合同二次型
若两个二次型的对应矩阵是合同矩阵，那么称这两个二次型为合同二次型。
6.8 第八车砖--正定二次型、正定矩阵
正定二次型是特殊的二次型。特殊性体现在：当 不全为零时，二次型 恒大于零。
6.9 房间601--用正交变换法化二次型为标准形
本节要与下一节结合来回看，了解两种方法的特点。
6.10 房间602--用配方法化二次型为标准形
本节要与上一节结合来回看，了解两种方法的特点。
6.11 房间603--两个对称矩阵合同的充分必要条件
在第5章的第七车砖中介绍了两个矩阵合同的定义。可是实际上，我们很难通过定义来判断两个矩阵是否合同。于是我们迫切需要一个充分必要条件！
6.12 房间604--正定二次型、正定矩阵的证明方法
大家不要害怕证明题，其实很多时候，证明题甚至比计算题更简单！
6.12.1 正定矩阵的证明方法
6.12.2 正定二次型的证明方法
6.13 小结
6.14 练习题
6.15 结尾语

精彩书摘

　　超级导读 线性代数大厦建造史（必看）
　　致正在准备研究生入学考试的同学们的话：本书共七章，此章虽不讲具体的知识点，但其地位是相当重要的。因此，强烈建议大家，一定要阅读本章的内容。
　　1 考研数学线性代数就是一座大楼
　　这座大楼共六层。第一层有四个房间，第二层有八个房间，第三层有八个房间，第四层有六个房间，第五层有十个房间，第六层有四个房间。你是一名工人，房地产开发商要求你在一片空地上盖这么一座大楼，并且你和开发商签了合同，合同中规定了停工日期。只要到了停工日期，无论你盖完没盖完，你都不能再盖了，必须接受开发商的检查。开发商比较懒，他并不真正来工地一个一个门牌号的依次检查，而是把你叫到办公室，然后问你关于其中几个房间的构造是什么样的。比如，你到了他办公室后，他可能会问三个问题（当然有可能问更多的问题）。
　　· 你介绍一下房间207和房间103的构造。
　　· 你介绍一下房间304的构造。
　　· 你介绍一下房间508和房间602的构造。
　　……
　　这三个问题如果你都答得让他满意，他会认为你已经把大楼完全盖好了，于是他会给你三十万元作为奖励；如果你有一个问题没有答出来，只答出了两个问题，他会给你二十万元；如果你只答出了一个问题，他就只给你十万元；如果你一个问题都没答出，他会非常生气，认为你根本没盖，一分钱也不给你。
　　以上这段话我想说的是什么呢，请继续往下看。
　　大楼： 考研数学线性代数这个学科；
　　大楼的每层： 指考研线性代数这个学科的每一章；
　　每层的房间数量： 每一章的考点数量；
　　房地产开发商： 考研数学线性代数部分的命题人；
　　工人： 你自己；
　　停工日期： 考试的日期；
　　开发商的办公室： 考研考场；
　　开发商问你的问题： 考研数学线性代数部分的题目；
　　开发商给你的钱： 考研数学线性代数部分的得分。
　　有了这些对应关系后，我把前面的一大段话换一种方式叙述一遍。
　　考研数学线性代数部分的知识可以分为6章。第1章有4个考点，第2章有八个考点，第3章有8考点，第4章有6个考点，第5章有10个考点，第6章有4个考点。考研命题人规定了考研的日期，日期一到，不管你有没有复习完，都要去考场参加考试。在考试中，你也许会在卷子上遇到三道（当然，有可能更多）线性代数的题，比如：
　　第1题：考到的是第2章的考点7和第1章的考点3。
　　第2题：考到的是第3章的考点4。
　　第3题：考到是第5章的考点8和第6章的考点2。
　　这三个问题你如果都答对了，你就得满分，否则你将会被扣掉相应的分。
　　2 帮你盖楼
　　亲爱的同学，相信你看完上一节后，已经对你即将要盖的这座考研数学线性代数大厦有了最初步的认识。而我，是一个小有名气的建筑师，我将和你一起盖好这座六层的大楼。无论如何，请相信我一句话：不管你的建筑功底如何，哪怕你是学音乐美术的，对建筑一窍不通，只要你愿意接受我的帮助，我可以保证你把这座六层的大楼盖的金碧辉煌，我更可以保证你在面对开发商的询问时，对答如流。
　　也许我上面的话太啰嗦。好，那我说直白点：任何人，记住是任何人，只要具有初中（连高中都不用）的数学基础，只要你认真看完此书，那么，考研数学线性代数部分得满分是十分容易的。
　　3 第1章到第6章的内容
　　第1章：第一层——行列式（其中有4个房间）；
　　第2章：第二层——矩阵（其中有8个房间）；
　　第3章：第三层——向量（其中有8个房间）；
　　第4章：第四层——解线性方程组（其中有6个房间）；
　　第5章：第五层——特征值、特征向量、相似矩阵（其中有10个房间）；
　　第6章：第六层——二次型（其中有4个房间）。
　　以上只是第1章到第6章的标题，下面我要告诉大家的是每一章展开后的样子。
　　我就以第1章为例，说一下展开后的第1章是什么样子的，其他各章的表达形式是一样的。
　　看到这里，我相信你会觉得很奇怪，因为根据我之前说的，你们通常会觉得第1章的样子应该如下图：
　　可实际上，为什么除了房间以外，又多了“砖”呢？听我解释：没有砖能盖楼吗？不能吧，因为巧妇难为无米之炊，砖是盖楼的基础。
　　那么这个“砖”，在线性代数大楼中又相当于什么呢？我以高考数学举例。
　　高考数学考试大纲中一定会写：要考排列组合、要考等差数列、要考立体几何等，却绝对不会写：要考加减乘除四则运算、要考正负数、要考绝对值等。为什么不写考这些？因为这些是基础，是“砖”，会这些东西是必须的，是最基本的要求，所以高考考试大纲里就不必提了。尽管没提，但是你能不会吗？显然不能不会。在线性代数中也是一样，虽然考研卷子上只考“房间”，但是如果没有“砖”，你怎么可能搭建一个个的房间呢？明白了吧。
　　所以接下来每一章的内容都是由“砖”和“房间”两部分所组成的。
　　4 满分要这样才行
　　想要考研数学线性代数部分全对，这是每位考生的心愿。要想达成这个心愿，你需要做到以下两点：
　　（1）书中的每一个知识点都要看。我想强调的是：本书不存在任何看不懂的可能性，因为我采用的表达方式非常通俗。因此，别落下任何一个知识点。
　　（2）在你看完每一章后，你需要把每一章的“房间”背下来（“砖”不用刻意去背，只要会了就行了，因为“砖”是最基本的。正如同参加高考的考生要背高考考试大纲中的考点，而不用去背最基本的加减乘除四则运算法则）。不是看懂就行，一定要背下来，这一点至关重要。我举个例子，比如当你看完第1章之后你需要对自己说：这一章共有4个房间，每个房间的内容是什么。如果忘了，就查书，直到背下来为止。相信我，这一招可以收到奇效。当然，如果能够默写下来的话，那就更好了。比如，当你看完第1章后，你最好的方式就是拿一张白纸，白纸上这么写：
　　大楼第一层：
　　房间101： ……………
　　房间102： ……………
　　房间103： ……………
　　房间104： ……………
　　你只要能默写出来，那么这第一层就可以算是盖好了。每层都这样，考研数学线性代数部分一定是可以得满分的。
　　5 给大家的话
　　有志者，事竟成。破釜沉舟，百二秦关终属楚；
　　苦心人，天不负。卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。

前言/序言

考研数学三部曲之大话线性代数

《线性代数的艺术：从理论到实践的探索之旅》 本书旨在带领读者踏上一段深入探索线性代数世界的奇妙旅程，它不仅仅是一本教科书，更是一部引导思考、激发兴趣的艺术品。我们试图打破传统线性代数教学的沉闷刻板，以清晰的逻辑、生动的语言和丰富的实例，将抽象的概念具象化，将枯燥的公式鲜活化，让读者在不知不觉中领悟线性代数那迷人的内在逻辑与强大生命力。 一、 奠定基石：向量空间的直观理解与基石构建 线性代数的宏伟殿堂，其核心基石便是向量空间。我们并非一开始就抛出冰冷的定义，而是从三维空间中的向量入手，让读者直观感受向量的“方向”与“大小”。通过多维度的拓展，自然而然地引出向量空间的抽象概念，并重点强调“线性组合”、“生成”、“线性无关”和“基”等关键概念的几何意义。 向量的几何世界： 从二维平面上的箭头，到三维空间中的箭头，再到高维空间的“抽象箭头”，我们将通过可视化的方式，让读者理解向量的加法、数乘操作在几何上是如何表现的。我们将借助图形和类比，例如城市中的街道纵横交错，不同的街道代表不同的方向，而我们在街道上行走的不同步数，则对应着向量的数乘。 线性组合的魔力： 任何向量是否都能通过其他向量“组合”而成？线性组合的概念将在此被深入剖析。我们不只停留在公式层面，而是通过“拼图”的比喻，形象地展示如何用一组“基本拼图”（基向量）来构建出任何“大图”（目标向量）。 线性无关的精髓： 为什么有些向量组合起来是“多余”的？线性无关的概念将通过“信息冗余”的比喻来解释。如果一组向量中存在一个向量，可以被其他向量线性表示，那么它就是“冗余”的，如同在描述一个物体时，重复了相同的特征。我们将探讨如何判断一组向量的线性无关性，并强调线性无关向量组在构建“最精简”的向量空间表示上的重要性。 基向量：空间的“坐标系”： 如何为向量空间设定一个“参照系”？基向量的引入便是为向量空间搭建了“坐标系”。我们将详细讲解如何选择一组基向量，以及任何向量在该基下的坐标表示的唯一性。这就像我们在城市中，有了东西南北的街道（基向量），我们就能精确地定位任何一个地点（向量）的位置（坐标）。 二、 变换的魔力：线性变换的几何解读与矩阵的威力 向量空间并非静止不动，线性变换赋予了它们动态的生命。本书将以极其直观的方式，揭示线性变换的本质，并将抽象的变换过程与我们熟悉的矩阵紧密联系起来。 几何变换的视角： 旋转、伸缩、剪切……这些我们熟悉的几何变换，在数学上都归结为线性变换。我们将通过生动的动画和实例，展示一个向量在经过线性变换后，其方向和大小会发生怎样的变化。例如，一个二维平面的旋转，可以看作是将坐标轴进行了某种“扭曲”，而矩阵就是这种“扭曲”的精确描述。 矩阵：线性变换的“代码”： 矩阵不再是冷冰冰的数字堆砌，而是线性变换的“代码”。我们将深入讲解如何通过矩阵来表示一个线性变换，以及矩阵乘法在几何上是如何对应着变换的复合。从一个伸缩变换到另一个旋转变换，它们的组合效果，就体现在两个矩阵的乘积之中。 特征值与特征向量：变换的“不变方向”： 在无数次的变换中，总有一些特殊的方向保持不变，仅仅发生了伸缩。这些便是特征向量，而它们对应的伸缩比例，就是特征值。我们将通过“镜子”的比喻，形象地解释特征值和特征向量的意义：镜子中的反射，本质上是一种特殊的线性变换，而某些方向上的物体，只会沿着自身方向拉伸或压缩，这就是特征向量。这将为理解更复杂的概念，如主成分分析（PCA）打下坚实基础。 行列式的奥秘：变换的“空间扭曲因子”： 行列式，这个看似神秘的数字，实际上揭示了线性变换对空间“体积”或“面积”的缩放程度。我们将通过小块区域的变形，来理解行列式为正时表示方向不变但面积（体积）会按比例放大，为负时则表示方向反转同时面积（体积）会按比例放大。零行列式则意味着空间被压扁成更低的维度。 三、 解构方程：方程组的几何意义与求解的艺术 线性方程组是线性代数中最常见的应用之一。本书将从几何角度出发，揭示方程组解的存在性与唯一性的根源，并展示各种求解方法的优雅之处。 方程组的几何图像： 一个二元一次方程组，在二维平面上可以看作是两条直线。这两条直线的位置关系（相交、平行、重合）直接对应着方程组解的情况（唯一解、无解、无穷多解）。我们将把这种几何直观推广到更高维度，让读者从“空间的交汇点”来理解方程组的解。 高斯消元法：从“乱麻”到“清晰”： 高斯消元法并非简单的算法，而是将复杂的方程组逐步化简、剥茧抽丝的过程。我们将通过“整理表格”的比喻，详细讲解每一步操作的原理，以及如何通过行初等变换来找到方程组的解。 矩阵在求解中的角色： 增广矩阵、行简化阶梯形矩阵……这些概念将与高斯消元法紧密结合，展示矩阵形式在系统性求解方程组中的强大优势。我们将强调，通过对矩阵进行操作，我们可以一步到位地揭示方程组的结构。 齐次与非齐次方程组： 齐次线性方程组（常数项全为零）总有零向量解，而非齐次方程组的解则是在齐次方程组解的基础上，加上一个特解。我们将深入探讨这两种方程组解空间的结构差异。 四、 空间之美：内积空间、正交性与降维的智慧 在向量空间的基础上，我们引入内积的概念，为空间赋予了“距离”和“角度”的概念，这使得我们能够进行更精细化的分析，并引出正交性和维度约简等重要思想。 内积：向量间的“亲密指数”： 内积（点乘）不再仅仅是一个计算，它衡量了两个向量在方向上的“相似度”。当两个向量垂直时，它们的内积为零，这便是我们熟悉的“正交”概念。我们将通过“投影”的比喻，来理解内积的几何含义。 正交基：空间的“最佳坐标系”： 拥有正交基的向量空间，就像拥有了一套“无需考虑角度”的完美坐标系。我们将讲解如何构建正交基（例如格拉姆-施密特正交化），并阐述正交基在简化计算和理论分析中的巨大优势。 投影：将向量“折叠”到子空间： 投影是将一个向量“映射”到另一个向量（或子空间）上的过程。我们将通过“光线照射”的比喻，来理解投影的几何意义，并展示它在信息提取和降噪中的应用。 降维的智慧：主成分分析（PCA）的启蒙： 在高维数据中，往往隐藏着低维的结构。主成分分析（PCA）便是利用线性代数的工具（如协方差矩阵的特征值分解），找到数据最重要的“方向”（主成分），从而实现数据的降维。我们将从内积空间和正交性的角度，初步揭示PCA背后的数学原理。 五、 拓展视野：相似矩阵、对角化与应用展望 本书的最后部分，将带领读者进一步深入线性代数的殿堂，理解更高级的概念，并触及线性代数在各个领域的广泛应用。 相似矩阵：同一个“变换”的不同“语言”： 两个矩阵如果相似，意味着它们代表着同一个线性变换，只是在不同的基下表示。我们将深入探讨相似矩阵的性质，以及如何通过相似变换来简化矩阵的分析。 对角化：简化矩阵的终极之道： 当一个矩阵可以被对角化时，意味着我们可以找到一组基，使得该矩阵在该基下变成一个对角矩阵。对角矩阵的运算极其简单，这使得对角化成为分析矩阵性质和解决复杂问题的有力工具。我们将深入讲解对角化的条件和方法。 二次型：从多项式到几何图形： 二次型是包含平方项和交叉项的多项式，它在几何上对应着椭圆、双曲线等二次曲线。我们将通过矩阵的对称性和特征值，来分析二次型的几何意义，并展示如何通过旋转变换将其化为标准形式。 应用前沿： 从计算机图形学中的三维变换，到机器学习中的数据建模，再到工程领域的结构分析，线性代数无处不在。我们将简要展望线性代数在不同领域的应用，激发读者进一步学习和探索的兴趣，例如，图像的压缩、推荐系统的算法、量子计算的基础等等。 结语： 《线性代数的艺术》希望成为您探索线性代数世界的贴心向导。我们力求通过清晰的逻辑、直观的讲解和丰富的实例，让您不仅能够掌握线性代数的知识，更能领略其内在的数学之美和无穷的应用潜力。这趟旅程，或许充满挑战，但收获的将是严谨的思维、抽象的能力，以及对数学世界更深层次的理解。愿您在这场思想的探索中，乐在其中，学有所得！

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我必须承认，我是在朋友的强烈推荐下才入手这本《考研数学三部曲之大话线性代数》的。此前，我对考研数学的恐惧主要集中在三大块，而线性代数一直是我心中的“拦路虎”。市面上很多号称“通俗易懂”的书，读起来要么是故弄玄虚，要么是内容不够深入，根本无法应对考试的深度和广度。但这本书的编排逻辑非常巧妙，它不是简单地堆砌知识点，而是遵循了“发现问题—提出工具—解决问题”的清晰路径。比如，在讲解正交变换和最小二乘法时，作者非常细腻地展示了在数据拟合场景下，如果不使用这些工具，计算会变得多么繁琐和低效，从而凸显了线性代数工具箱的强大威力。它的例题选择也很有针对性，既有基础概念的巩固，也有高难度综合题的思路引导，尤其是一些技巧性的解题心得，真的是字字珠玑，让人有茅塞顿开之感。读这本书，我第一次体会到了学完一个章节后，那种“我能解决问题了”的踏实感。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和设计也相当人性化，这在严肃的理工科教材中是比较少见的。纸张的质感很好，墨迹清晰，长时间阅读下来眼睛不容易疲劳。但更重要的是它在内容逻辑上的推进速度，掌握得恰到好处。它不会一开始就把所有证明过程和繁复的推导细节都抛出来，而是先让你熟悉操作，建立信心，然后逐步引入更深层次的理论证明，形成一个螺旋上升的学习曲线。比如，在讲解矩阵对角化时，它先演示了对角化后计算矩阵幂的便捷性，让你感受到“为什么要做对角化”，然后再引入相似变换的本质，最后才是详细的步骤。这种“先知其用，后知其所以然”的结构，非常符合人的认知习惯，避免了初学者在面对复杂的证明时立刻产生畏难情绪。总而言之，这是一本能让你在保持学习热情的同事，稳步提升专业能力的好书。

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说实话，我抱着试一试的心态买了这本《考研数学三部曲之大话线性代数》，毕竟我已经尝试过好几本不同的参考书了，效果都不尽如人意。这本书最让我眼前一亮的是它对“抽象”概念的“具象化”处理能力。线性代数的核心难点在于其高度的抽象性，比如向量空间、线性映射这些概念，在没有图像或模型支撑时，很难在大脑中形成稳定图像。这本书在这方面做得非常出色，它用大量的图示和类比，把这些抽象的对象“拉回”到三维空间，甚至更低维度的直观感受中。特别是对于子空间和基的选取，它不再是单纯的计算过程，而是让你去想象一个“信息承载的容器”是如何通过不同视角去描述自身的。这种教学策略极大地降低了学习的认知门槛，让学习过程变得更加流畅和自然，减少了单纯靠死记硬背公式来“蒙混过关”的风险。对于希望真正理解而非仅仅是应试的学生来说，这本书无疑是极佳的选择。

评分☆☆☆☆☆

这部《考研数学三部曲之大话线性代数》简直是为我这种对矩阵和向量空间感到头疼的数学小白量身定制的。我一直以为线性代数就是一堆枯燥的符号和公式，看了很多传统的教材，不是过于学术化，就是讲解得太跳跃，总觉得抓不住重点。但这本书的叙事方式非常接地气，就像一位经验丰富的老师在跟你唠家常一样，把那些高深的理论用生活中的例子串联起来。比如讲到行列式时，它没有直接抛出定义，而是通过一个小小的几何变换问题来引出，让你在理解几何意义的基础上，自然而然地接受了代数运算的合理性。尤其喜欢它对特征值和特征向量的讲解，不再是死记硬背的求解步骤，而是深入剖析了它们在系统稳定性分析中的核心作用。读完第一遍，感觉脑子里的“迷雾”散去了不少，那些曾经让我夜不能寐的知识点，现在似乎也变得清晰起来了。这本书的价值不仅仅在于知识的传授，更在于它重塑了我对“数学”本身的认知，让学习不再是一件苦差事。

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作为一个已经工作几年后重拾书本准备二战的考生，我最大的挑战是记忆力的衰退和学习效率的下降。我需要一本能够快速切入重点，并且能有效巩固记忆的资料。《考研数学三部曲之大话线性代数》在这方面展现了惊人的效率。它的章节结构紧凑，几乎没有冗余的篇幅，每一页纸都充满了实质性的内容。作者似乎非常了解考研数学的出题偏好，对那些常考的、容易混淆的知识点进行了特别的加粗和注释，像是一个贴心的“考点雷达”。比如，关于矩阵的秩和零空间维度的关系，书中用了一个专门的总结框，将所有相关定理以对比的形式呈现出来，让你一眼就能分辨出何时使用哪个定理。这种精准的定位和提炼，极大地节省了我的复习时间，让我能够把更多精力投入到更困难的科目上。如果说时间是考研路上最宝贵的资源，那么这本书就是时间管理的大师。

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很好很强大很好很强大

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不错吖，同学说这类书考研不错的吖，觉得也很不错

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没有包装，是旧书。

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很基础的一本书 对我帮助很大

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挺好

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京东发货快，服务好，不错。书给孩子看的。

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送货速度快，正版图书。好！

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锕接口人啊的课了？锕就可以吗你

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很好，考研必备，送货速度快，质量好