流形、张量分析和应用（第2版） [Manifollds, Tensor Analysis, and Applications 2nd ed] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] 亚伯拉罕（Abraham P.） 著

图书标签:

• 流形
• 张量分析
• 微分几何
• 数学物理
• 广义相对论
• 拓扑学
• 几何学
• 应用数学
• 高等数学
• 物理学

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510070181

版次：2

商品编码：11483421

包装：平装

外文名称：Manifollds, Tensor Analysis, and Applications 2nd ed

开本：24开

出版时间：2014-03-01

用纸：胶版纸

页数：654

正文语种：英文

内容简介

　　The purpose of this book is to provide core material in nonlinear analysis for mathematicians. physicists， engineers， and mathematical biologists. The main goal is to provide a working knowledge of manifolds， dynamical systems， tensors， and differential forms. Some applications to Hamiltonian mechanics， fluid mechanics， electromagnetism. plasma dynamics and control theory are given in Chapter 8， using both invariant and index notation. The current edition of the book does not deal with Riemannian geometry in much detail， and it does not treat Lie groups， principal bundles， or Morse theory. Some of this is planned for a subsequent edition. Meanwhile， the authors will make available to interested readers supplementary chapters on Lie Groups and Differential Topology and invite comments on the book's contents and development.

内页插图

目录

Preface
Background Notation
CHAPTER 1 Topology
1.1 Topological Spaces
1.2 Metric Spaces
1.3 Continuity
1.4 Subspaces. Products. and Quotients
1.5 Compactness
1.6 Connectedness
1.7 Baire Spaces

CHAPTER 2 Banach Spaces and Differential Calculus
2.1 Banach Spaces
2.2 Linear and Multilinear Mappings
2.3 The Derivativc
2.4 Propcrties of che Dcrivarive
2.5 The Inverse and Implicit Function Theorems

CHAPTER 3 Manifolds and Vector Bundles
3.1 Manifolds
3.2 Submanifolds. Products. and Mappings
3.3 The Tangcnt Bundle
3.4 Veaor Bundles
3.5 Submersions. Immersions and Transversality

CHAPTER 4 Vector Fields and Dynamical Systems
4.1 Vector Fields and Flows
4.2 Vector Fields as Differemial Operators
4.3 An Imroduction to Dynamical Systems
4.4 Frobenius' Theorcm and Foliations

CHAPTER 5 Tensors
5.1 Tensors in Linear Spaces
5.2 Tensor Bundles and Tensor Fields
5.3 The Lie Derivative: Algebraic Approach
5.4 The Lie Derivative: Dynamic Approach
5.5 Partitions of Unity

CHAPTER 6 Differential Forms
6.1 Exterior Algebra
6.2 Determinants. Volumes. and the Hodge Star Operator
6.3 Differential Forms
6.4 The Exterior Derivative. tnterior Produa. and Lie Derivative
6.5 Orientation. Volume Elements, and the Codifferential

CHAPTER 7 Integration on Manifolds
7.1 The Definition of (he Integral
7.2 Stokes' Theorem
7.3 The Classical Theorems of Green. Gauss, and Stokes
7.4 Induced Flows on Function Spaces and Ergodicity
7.5 Introduction to Hodge-deRham Theory and Topological Applicarions of
Differential Forms

CHAPTER 8 Applications
8.1 Hamiltonian Mechanics
8.2 Fluid Mechanics
8.3 Electromagnctism
8.3 The Lie-Poisson Bracket in Continuum Mechanics and Plasma Physics
8.4 Constraints and Control

References
Index
Supplementary Chapters-Available from the authors as they are produced
S-1 Lie Groups
S-2 Introduction to Differential Topology
S-3 Topics in Riemannian Geometry

前言/序言

几何、代数与物理的交汇：现代数学方法在连续介质力学与微分几何中的应用 一、本书概述 本书致力于深入探讨几何结构、代数框架与物理实在之间的深刻联系，重点聚焦于微分几何的基本概念在连续介质力学、广义相对论以及现代数据分析中的实际应用。本书的架构旨在为读者提供一套坚实而灵活的数学工具箱，用以描述和分析复杂的空间形变、场量分布以及非线性动力学系统。我们避开了纯粹的理论拓扑学探讨，转而强调那些能直接服务于物理建模和工程分析的实用工具。 全书的叙事线索围绕着“流形”这一核心概念展开，但其重点在于流形上的微分结构，即如何在此基础上定义向量场、微分形式和曲率。我们着重于发展读者对张量分析的直观理解，将其视为描述物理量（如应力、应变、电磁场）在坐标变换下不变性的语言。 二、核心内容模块 本书结构分为四个紧密联系的模块，每部分都以前一部分的知识为基础，逐步深入到更复杂的应用层面。 模块一：欧几里得空间中的基础几何与微积分（回归与拓展） 本模块是对经典微积分和线性代数在高维空间中的系统性回顾与推广。我们从多重线性代数出发，详述张量的定义、分解（如SVD在几何解释中的作用）、张量积和张量收缩，强调其在物理意义上的区分：协变张量（如度量张量）与反变张量（如位移向量）。 随后，我们过渡到曲线论和曲面论，使用局部坐标系来定义切空间、法线和平移。重点讲解第一、第二基本形式，及其与曲率的内在联系。通过引入外微分（Exterior Calculus）的预备知识，我们为后续引入更抽象的流形概念做好了铺垫，特别关注梯度、散度、旋度在分量形式和几何形式下的等价性。 模块二：流形上的几何基础与微分形式 此模块是本书的理论核心，但其侧重于可微流形（Differentiable Manifolds）作为物理空间的推广模型。我们引入拓扑空间与可微结构的区别，并定义图集（Atlas）和坐标变换。 切空间（Tangent Space）的构建是关键。我们不使用抽象的向量空间定义，而是将其定义为对函数进行方向导数的线性映射集合。基于切空间，我们构建上指标（反变）和下指标（协变）张量场。 本书对微分形式（Differential Forms）的讨论非常详尽，将其视为对向量场进行积分的工具。我们详细阐述楔积（Wedge Product），并深入研究外导数（Exterior Derivative, $d$）。重点展示德拉姆上同调（De Rham Cohomology）的直观物理意义——例如，它如何刻画场方程中零旋度的场的保守性（闭性）和零散度的场的可积性（精确性）。 模块三：联络、曲率与经典场论 在本模块中，我们处理非欧几里得几何的核心问题：平行移动。我们引入联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），强调其由度量张量唯一确定的事实。 协变导数（Covariant Derivative）的引入是理解“弯曲空间中导数”的关键。我们详细推导黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的定义、代数对称性及其在描述空间内禀几何方面的作用。 应用方面，我们将这些工具应用于： 1. 测地线方程：作为弯曲空间中“直线”的运动方程。 2. 能量守恒与微分形式：利用霍奇对偶性（Hodge Duality）和法拉第定律，展示电磁场在四维时空（闵可夫斯基空间或更一般的弯曲时空）中的统一描述，以及洛伦兹规范下的能量守恒。 模块四：连续介质的几何描述与应用 本模块将理论几何工具直接映射到弹性力学和流体力学的现代描述中。 我们采用物质点（Material Point）的概念，将变形描述为从参考构形到当前构形的映射 $mathbf{x} = chi(mathbf{X}, t)$。 有限变形理论：详细分析梯度变形张量 $mathbf{F}$、柯西-格林张量 $mathbf{C}$ 和 $mathbf{B}$，以及雅可比行列式在体积和面积元素变化中的作用。 应力与应变描述：区分第一、第二皮奥拉-基尔霍夫应力张量以及柯西应力张量，展示它们是如何通过拉回（Pullback）和推前（Pushforward）操作在参考和当前构形之间转换的。 几何约束的引入：讨论在各向同性材料模型中，如何使用不变量理论来简化本构关系（如冯·卡门应力率），从而避免在复杂坐标系下手动处理高阶导数。 三、本书特色与目标读者 本书的设计哲学是“物理直觉驱动的数学推导”。我们力求在引入抽象概念时，始终提供明确的物理或几何图像作为支撑。书中包含大量的推导细节和算例，特别是针对那些在传统教科书中被跳过的张量分量代数细节。 目标读者包括： 1. 研究生及高年级本科生：在应用数学、理论物理（尤其是广义相对论、场论）、以及固体力学或流体力学领域进行深入研究的学生。 2. 专业工程师与研究人员：需要掌握非线性有限元分析（FEA）中几何非线性理论基础的从业者。 3. 希望从纯向量分析过渡到现代几何语言的物理学家。 通过学习本书，读者将能够自信地处理弯曲空间中的微分方程，熟练地在不同坐标系和拉格朗日/欧拉描述间进行转换，并掌握描述复杂形变和场演化的现代数学语言。

评分☆☆☆☆☆

要评价《流形、张量分析和应用（第2版）》这本书，我首先想到的是它严谨的数学基础和清晰的逻辑结构。作者在内容的编排上，充分考虑了读者的学习曲线，从最基本的集合论和拓扑概念开始，逐步过渡到微分几何和张量代数的核心内容。每个定理的证明都显得非常详尽，力求让读者理解每一步的推导过程，而不是简单地给出结论。对于那些希望打下扎实理论基础的研究者来说，这本书无疑是极好的选择。我特别注意到作者在讲解张量时，不仅给出了坐标表示，还强调了张量的几何意义，这使得我能够从更本质的层面去理解张量，而不是仅仅将其视为一组符号。书中涉及的例子虽然不多，但都经过精心挑选，能够很好地说明所介绍的概念。我个人认为，这本书更适合有一定数学背景的读者，比如数学、物理、工程等专业的本科高年级学生或研究生。如果你想系统地学习流形和张量理论，并且不畏惧深入的数学推导，那么这本书绝对值得你拥有。它的内容质量很高，可以作为一本长期参考的书籍。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉就像是在探索一个全新的数学宇宙。它没有直接告诉你“答案”，而是引导你去发现“答案”的过程。从流形的定义开始，作者就不断地抛出问题，引导读者去思考“什么是光滑性？”、“什么是切空间？”、“如何在这个空间上定义距离？”等等。这种探究式的讲解方式，虽然前期需要付出更多的努力去理解，但一旦理解了，那种掌握知识的感觉就会非常牢固。书中关于张量计算的章节，我觉得尤其经典，它详细地介绍了协变张量、逆变张量、张量积、张量收缩等概念，并且用非常严谨的语言解释了它们在物理定律中的作用。我反复阅读了几遍关于张量变换的章节，感觉自己对物理量的“客观性”有了更深的理解。尽管有时候书中的某些公式让我感到头晕目眩，需要反复查阅前面的定义和定理，但每一次克服困难后的进步，都让我对这本书的敬意又添一分。这本书的排版也很好，公式清晰，符号一致，这一点对于阅读数学书籍来说至关重要。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我最直观的感受就是其“厚重感”和“实用性”的完美结合。说它厚重，是因为它确实涵盖了流形理论和张量分析的相当广泛的内容，从基础的拓扑流形、光滑流形，到黎曼流形，再到更深入的联络、曲率等概念，都有涉及。而说它实用，则体现在作者在讲解这些抽象概念的同时，始终没有忘记它们在物理学（如广义相对论、电动力学）和工程学（如连续介质力学、计算机视觉）中的具体应用。书中列举的案例非常丰富，有些甚至是当前研究的前沿领域。这一点对于我这种希望将理论知识转化为实际应用的读者来说，价值巨大。我尤其喜欢书的附录部分，里面提供了许多关于张量计算的实用技巧和代码实现思路，这为我进一步深入研究提供了很好的参考。虽然有些章节的数学推导比较繁琐，需要花费不少时间和精力去消化，但当我理解了其中的某个关键推导，然后看到它如何自然地导出某个物理定律或者工程公式时，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。作者在处理复杂问题时，往往能抓住问题的核心，并用清晰的逻辑将其分解，这使得我即使面对高难度的内容，也能找到突破口。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《流形、张量分析和应用（第2版）》的时候，我其实是有点忐忑的。我知道这个领域本身就充满挑战，更何况是“第2版”，意味着内容会更加深入和精炼。然而，当我翻开书的第一页，这种感觉就被一种莫名的吸引力取代了。书的开篇并没有一开始就抛出艰涩的概念，而是从一些相对直观的几何思想入手，循序渐进地引导读者进入流形的世界。作者在讲解概念时，使用了大量的几何直观图示，这对于我这种更偏爱可视化学习的人来说，简直是福音。即便是一些高维度的抽象概念，通过这些图示，我也能勉强抓住一丝脉络。而且，每章的结尾都附带了精心设计的习题，这些习题并非简单的计算，更多的是对概念的理解和应用能力的考察，做起来很有挑战性，也很有成就感。虽然我还没有完全吃透书中的所有内容，但至少目前为止，我感觉自己对微分几何的基本框架有了初步的认识，也对张量在物理和工程中的应用有了更深的体悟。这本书的语言风格也很严谨，但又不失清晰，对于初学者来说，既能感受到学术的深度，又不至于望而却步。我特别欣赏作者在引入新概念时，总是会先说明它的重要性和它要解决的问题，这种“知其然，更知其所以然”的讲解方式，让我更容易建立起知识体系。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，初次接触《流形、张量分析和应用（第2版）》时，我曾担心其内容的抽象性会让我难以入手。然而，书中的许多例子，尤其是涉及微分几何在曲面研究中的应用，以及张量在描述物理场时的巧妙之处，极大地激发了我的学习兴趣。作者在讲解一些关键概念时，会适时地引用一些经典的物理问题，比如曲率的概念在描述时空弯曲中的作用，或者张量在描述应力、电场强度时的简洁性。这种将抽象数学与具体物理场景相结合的方式，让我能够更直观地感受到这些数学工具的强大力量。虽然书中某些章节的论证过程需要我花费相当长的时间去琢磨，但一旦领悟其精髓，便能体会到数学的严谨和优美。我特别欣赏作者在介绍新的数学结构时，总是会先行铺垫好所需的背景知识，让读者能够有条不紊地进行学习。这本书不仅是一本教材，更像是一本引人入胜的数学探索指南，让我看到了数学在理解世界方面的无限潜力。

评分☆☆☆☆☆

有点儿专业 看了看需要的基础知识较多

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书不错，优惠的时候买了很多！

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很不错的书，内容很详细，还会继续关注的！

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书的印刷很好，包装也不错，喜欢在?京东上买书了，又快服务也好

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还没看，等着过一段时间再看。这本书算是挺经典的了

评分☆☆☆☆☆

专著，数学相关专业人员可以一看！

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书不错，还用塑料薄膜包裹，很细心

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京东上买东西还是体验不错,货真价实!

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在这方面做得很厉害！