基础数论（英文版） [Basic Number Theory] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[法] 威尔 著

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• Number Theory
• Elementary Number Theory
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Arithmetic
• Divisibility
• Prime Numbers
• Congruences
• Mathematical Foundations
• Textbook

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510004551

版次：1

商品编码：10184575

包装：平装

外文名称：Basic Number Theory

开本：24开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：313

正文语种：英语

内容简介

　　The first part of this volume is based on a course taught at Princeton　University in 1961-62; at that time, an excellent set of notes was prepared　by David Cantor, and it was originally my intention to make these notes　available to the mathematical public with only quite minor changes. Then, among some old papers of mine, I accidentally came across a long-forgotten manuscript by Chevalley, of pre-war vintage (forgotten, that is to say, both by me and by its author) which, to my taste at least, seemed to have aged very well. It contained a brief but essentially com- plete account of the main features of classfield theory, both local and global; and it soon became obvious that the usefulness of the intended volume would be greatly enhanced if I included such a treatment of this topic. It had to be expanded, in accordance with my own plans, but its outline could be preserved without much change. In fact, I have adhered to it rather closely at some critical points.

内页插图

目录

Chronological table
Prerequisites and notations
Table of notations

PART Ⅰ ELEMENTARY THEORY
Chapter Ⅰ Locally compact fields
1 Finite fields
2 The module in a locally compact field
3 Classification of locally compact fields
4 Structure 0f p-fields

Chapter Ⅱ Lattices and duality over local fields
1 Norms
2 Lattices
3 Multiplicative structure of local fields
4 Lattices over R
5 Duality over local fields

Chapter Ⅲ Places of A-fields
1 A-fields and their completions
2 Tensor-products of commutative fields
3 Traces and norms
4 Tensor-products of A-fields and local fields

Chapter Ⅳ Adeles
1 Adeles of A-fields
2 The main theorems
3 Ideles
4 Ideles of A-fields

Chapter Ⅴ Algebraic number-fields
1， Orders in algebras over Q
2 Lattices over algebraic number-fields
3 Ideals
4 Fundamental sets

Chapter Ⅵ The theorem of Riemann-Roch
Chapter Ⅶ Zeta-functions of A-fields
1 Convergence of Euler products
2 Fourier transforms and standard functions
3 Quasicharacters
4 Quasicharacters of A-fields
5 The functional equation
6 The Dedekind zeta-function
7 L-functions
8 The coefficients of the L-series

Chapter Ⅷ Traces and norms
1 Traces and norms in local fields
2 Calculation of the different
3 Ramification theory
4 Traces and norms in A-fields
5 Splitting places in separable extensions
6 An application to inseparable extensions

PART Ⅱ CLASSFIELD THEORY
Chapter IX Simple algebras
1 Structure of simple algebras
2 The representations of a simple algebra
3 Factor-sets and the Brauer group
4 Cyclic factor-sets
5 Special cyclic factor-sets

Chapter Ⅹ Simple algebras over local fields
1 Orders and lattices
2 Traces and norms
3 Computation of some integrals

Chapter Ⅺ Simple algebras over A-fields
1. Ramification
2. The zeta-function of a simple algebra
3. Norms in simple algebras
4. Simple algebras over algebraic number-fields . .

Chapter Ⅻ. Local classfield theory
1. The formalism of classfield theory
2. The Brauer group of a local field
3. The canonical morphism
4. Ramification of abelian extensions
5. The transfer

Chapter XIII. Global classfield theory
I. The canonical pairing
2. An elementary lemma
3. Hasses "law of reciprocity" .
4. Classfield theory for Q
5. The Hiibert symbol
6. The Brauer group of an A-field
7. The Hilbert p-symbol
8. The kernel of the canonical morphism
9. The main theorems
10. Local behavior of abelian extensions
11. "Classical" classfield theory
12. "Coronidis loco".
Notes to the text
Appendix Ⅰ. The transfer theorem
Appendix Ⅱ. W-groups for local fields
Appendix Ⅲ. Shafarevitchs theorem
Appendix Ⅳ. The Herbrand distribution
Index of definitions

前言/序言

　　The first part of this volume is based on a course taught at PrincetonUniversity in 1961-62; at that time， an excellent set of notes was preparedby David Cantor， and it was originally my intention to make these notesavailable to the mathematical public with only quite minor changes.Then， among some old papers of mine， I accidentally came across along=forgotten manuscript by Chevalley， of pre-war vintage （forgotten，that is to say， both by me and by its author） which， to my taste at least，seemed to have aged very well. It contained a brief but essentially com-plete account of the main features of classfield theory， both local andglobal; and it soon became obvious that the usefulness of the intendedvolume would be greatly enhanced if I included such a treatment of thistopic. It had to be expanded， in accordance with my own plans， but itsoutline could be preserved without much change. In fact， I have adheredto it rather closely at some critical points.
　　To improve upon Hecke， in a treatment along classical lines of thetheory of algebrai~ numbers， would be a futile and impossible task. Aswill become apparent from the first pages of this book， I have rathertried to draw the conclusions from the developments of the last thirtyyears， whereby locally compact groups， measure and integration havebeen seen to play an increasingly important role in classical number-theory. In the days of Dirichlet and Hermite， and even of Minkowski，the appeal to "continuous variables" in arithmetical questions may wellhave seemed to come out of some magicians bag of tricks. In retrospect，we see now that the real numbers appear there as one of the infinitelymany completions of the prime field， one which is neither more nor lessinteresting to the arithmetician than its p=adic companions， and thatthere is at least one language and one technique， that of the adeles， for bringing them all together under one roof and making them cooperate for a common purpose. It is needless here to go into the history of thesedevelopments; suffice it to mention such names as Hensel， Hasse， Chevalley， Artin; every one of these， and more recently Iwasawa， Tate， Tamagawa， helped to make some significant step forward along this road. Once the presence of the real field， albeit at infinite distance， ceases to be regarded as a necessary ingredient in the arithmeticians brew.

深入浅出的代数几何之旅：环、域与流形 简介 本书旨在为读者提供一个严谨而富有洞察力的视角，探索代数几何这一迷人领域的核心概念与基本工具。我们聚焦于从最基础的代数结构——环与域的性质出发，逐步构建起理解代数几何的基石，并最终将这些抽象的结构具象化为几何对象——代数簇和概形。本书的撰写遵循“由易到难，循序渐进”的原则，力求在保持数学严谨性的同时，为初学者提供清晰的直觉引导，同时为有一定基础的研究者提供深入的参考价值。 我们深知代数几何的复杂性，因此本书并未试图涵盖该领域的所有前沿课题，而是精选了那些对于构建整体框架至关重要的概念。全书的叙事逻辑围绕“如何用代数语言描述几何形状”这一核心问题展开，通过细致的剖析，揭示出代数与几何之间深刻而优雅的内在联系。 --- 第一部分：代数基础的重塑与深化 在代数几何中，我们所研究的“几何对象”——代数簇，其本质是由多项式方程组定义的零点集。因此，对多项式环及其相关代数结构的深入理解是不可或缺的第一步。 第一章：交换环的结构与模论初步 本章首先回顾并深化了交换环的基本概念，包括理想、商环、素理想与极大理想的定义。我们着重探讨了诺特环（Noetherian Rings）的概念及其重要性。诺特环的局部性质是后续研究的基础，我们详细讨论了如何通过局部化（Localization）操作来提取环在特定素理想处的“局部信息”。例如，我们对 $R$ 在素理想 $P$ 处的局部化 $R_P$ 进行了详尽的分析，并阐释了如何利用这些局部环来研究原环的全局性质。 紧接着，我们引入了模（Modules）的概念，将其视为环上的“向量空间”。模论是研究线性代数的推广，其重要性体现在后续对射（Morphisms）和函子（Functors）的理解上。我们详细分析了平坦模、投射模和内射模的性质，并初步探讨了如何使用这些模的性质来区分不同类型的理想。 第二章：维度的量度：Krull 维度与正则局部环 几何直觉告诉我们，空间的“维度”是一个核心概念。在代数几何中，我们必须用代数语言来精确定义这个概念。本章引入了Krull 维度，将其定义为素理想链的最大长度。我们证明了多项式环 $k[x_1, dots, x_n]$ 的维度恰好是 $n$，从而建立了代数结构与几何维度之间的直观联系。 随后，我们转向对局部性质的精细分析，特别是正则局部环（Regular Local Rings）。正则性是衡量一个点（或局部结构）“良好性”的关键标准。我们引入了正规序列（Regular Sequences）和深度（Depth）的概念，并给出了著名的Cohen-Macaulay 环的刻画。我们深入探讨了Auslander-Buchsbaum 定理，它深刻地揭示了环的正则性与其模的投影维数之间的关系。 --- 第二部分：从代数到几何的桥梁：簇与概形 在建立了坚实的代数基础后，本部分开始将这些抽象结构“视觉化”，引入代数几何的核心研究对象——代数簇和概形。 第三章：代数簇：经典几何的复兴 本章从古典代数几何出发，定义了仿射代数簇（Affine Algebraic Varieties），即 $k^n$ 中多项式零点集 $V(I)$。我们详细阐述了希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的强形式和弱形式，这构成了从理想到簇的映射关系的核心工具。我们证明了理想 $I$ 与其零点集 $V(I)$ 之间存在一种对偶性，特别是对于素理想与不可约簇之间的关系。 接着，我们将研究对象推广到射影空间（Projective Space） $mathbb{P}^n$ 上的射影代数簇。射影空间通过齐次坐标引入，使得处理“无穷远点”成为可能。我们探讨了射影簇的度量、齐次坐标下的理想结构，以及在射影空间中定义的射影零点定理。 第四章：概形理论的建立：“一点”的几何 为了克服经典代数几何中无法处理非零特征域、无法区分某些“奇点”的局限性，我们引入了现代代数几何的基石——概形（Schemes）。概形理论的核心在于局部环化（Sheafification）的过程。 我们首先定义了预层（Presheaf）和层（Sheaf）的概念，这提供了一种在拓扑空间上一致地描述局部数据的方法。然后，我们利用环谱 $ ext{Spec}(R)$ 来构造一个拓扑空间，其中点对应于环 $R$ 的素理想。$ ext{Spec}(R)$ 上的结构层（由局部化构造）定义了概形。 我们详细分析了 $ ext{Spec}(R)$ 上的拓扑性质，特别是Zariski 闭包和谱拓扑的特性。然后，我们定义了结构层 $mathcal{O}_X$，它将环 $R$ 的局部信息赋予了 $ ext{Spec}(R)$ 这个空间。本章的重点在于理解“结构”如何从“代数数据”中自然地涌现出来。 第五章：态射、特征与局部性质的统一 在建立了概形的语言后，我们需要工具来描述不同概形之间的关系。本章定义了态射（Morphisms of Schemes），即保持结构的映射，它们是通过结构层之间的映射（环同态的逆向操作）来定义的。 我们讨论了局部化概形的意义，以及如何利用 $ ext{Spec}(R_P)$ 来研究原概形 $X$ 在点 $P$ 处的局部行为。我们重新审视了正则性：一个概形 $X$ 在点 $x$ 处是正则的，当且仅当其局部环 $mathcal{O}_{X,x}$ 是一个正则局部环。这完美地将第二部分关于正则性的代数结果，无缝地移植到了现代几何的框架中。 最后，本章对特征对几何的影响进行了探讨。我们将对比特征为零的域（如 $mathbb{C}$）和特征为 $p$ 的域（如 $mathbb{F}_p$）上的代数几何，强调了在有限特征下，某些拓扑性质和代数性质会发生微妙但关键的变化。 --- 总结与展望 本书通过从交换代数的基本概念，到局部化、维度理论的构建，最终升华到概形理论的建立，为读者提供了一个完整且逻辑自洽的代数几何入门路径。我们期望读者不仅能掌握这些工具，更能体会到代数结构与几何形态之间那种深刻的、不可分割的统一性。本书为后续深入学习高阶主题，如层上同调、代数曲面的分类、或模空间理论，奠定了坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我一开始拿到《基础数论》（Basic Number Theory）这本书时，并没有抱太大的期望，毕竟“基础”两个字有时意味着枯燥和浅显。然而，这本书彻底颠覆了我的看法。它的语言风格非常独特，既有学术的严谨，又不失一股灵动与趣味。作者并没有简单地堆砌公式和定理，而是通过引人入胜的叙述，将数论的悠久历史、重要地位以及在现代科学中的应用娓娓道来。在讲解一些经典定理时，比如费马小定理，书中不仅给出了严谨的证明，还穿插了一些有趣的轶事和历史背景，这让我在学习知识的同时，也感受到了数学的魅力和人文关怀。书中的排版设计也很用心，清晰的章节划分，适度的留白，让阅读体验非常舒适。我经常会在通勤的路上翻开这本书，不自觉地就被里面一个个精妙的数学思想所吸引。它让我明白，数学并非只有冷冰冰的符号，也可以充满诗意和想象。对于那些曾经被传统数学教育吓退，但内心又渴望了解数学世界的人来说，这本书无疑是架起一座友谊的桥梁。

评分☆☆☆☆☆

我是一个对理论性比较强的学科有些畏惧的读者，但《基础数论》（Basic Number Theory）这本书，却让我感到前所未有的轻松和愉悦。这本书最大的优点在于它的“接地气”。作者似乎非常了解初学者可能会遇到的困难，因此在阐述每一个概念时，都力求用最通俗易懂的语言，并且提供大量贴近生活的例子。例如，在讲解同余方程时，作者并没有直接给出抽象的定义，而是从日常生活中“日期计算”、“时钟问题”等场景出发，让读者在熟悉的语境中理解数论的概念。这本书的讲解逻辑也十分清晰，层层递进，每一个新知识点的引入都建立在前面已经掌握的内容之上，不会让人感到突兀或迷茫。此外，书中的一些“小贴士”或者“拓展阅读”部分，更是锦上添花，它们往往提供了一些更深入的思考方向，或者一些有趣的数论应用，极大地拓展了我的视野。我强烈推荐这本书给所有对数学抱有好感，但又希望有一个轻松入门途径的读者。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让人读起来感到“温暖”的数论入门读物。《基础数论》（Basic Number Theory）的作者似乎非常懂得如何与读者建立情感上的连接。它没有那种高高在上、令人生畏的学术腔调，而是更像一位循循善诱的长辈，用耐心和鼓励陪伴你一起探索。书中对于一些抽象的数论概念，比如平方剩余、原根等等，作者都设计了一些“思考题”，引导读者自己去发现规律，而不是直接给出答案。这种互动式的学习方式，让我感觉自己不是一个被动的接受者，而是主动的参与者，学习的乐趣也油然而生。书中的一些篇章，还穿插了一些关于数论发展史上的著名人物和他们的故事，这些故事不仅增添了趣味性，也让我更加深刻地理解了数论概念的诞生和演变过程。读完这本书，我感觉自己对数字的热爱又加深了一层，也更加相信，数学的美好，恰恰在于它能够如此自然地融入我们的思考，并不断激发我们的好奇心。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数论研究有一定兴趣的学生，在寻找一本能够系统梳理基础知识的书时，我偶然发现了《基础数论》（Basic Number Theory）。这本书给我最深刻的印象是它的系统性和前瞻性。作者在对基础概念进行详尽阐述的同时，也巧妙地埋下了许多通往更高级数论问题的伏笔。比如，在讲解二次剩余时，作者就隐约提到了高斯二次互反律的引申意义，这极大地激发了我进一步探索的欲望。书中对一些重要定理的证明，也非常严谨而富有启发性，它不仅仅是展示结果，更重要的是引导读者理解证明的思路和技巧。我特别欣赏书中对一些证明的多种角度的解析，这有助于我从不同层面理解同一个数学命题。另外，书中还包含了一些关于计算数论初步介绍的内容，让我对数论在计算机科学和密码学等领域的应用有了初步的认识，这对于我未来的学习方向非常有指导意义。对于希望为进一步学习数论打下坚实基础的读者，这本书无疑是一个极佳的选择。

评分☆☆☆☆☆

这本《基础数论》（Basic Number Theory）绝对是数学爱好者的宝藏！我一直对数字的内在规律着迷，而这本书简直满足了我对数论最初的美好想象。从最基础的整除性、素数，到丢番图方程的初步探讨，它循序渐进，逻辑清晰，就像一位耐心而又渊博的导师，一步步引导我走进这个奇妙的数字世界。我尤其喜欢书中对每一个概念的解释都配有生动形象的例子，比如在讲解模运算时，作者巧妙地用时钟来类比，一下子就让抽象的概念变得直观易懂。书中的习题设计也非常巧妙，有的是对基本概念的巩固，有的是引导读者进行更深入的思考，甚至有些习题的难度适中，能够激发我独立解决问题的成就感。读完这本书，我感觉自己对数字的理解上升到了一个新的层面，仿佛打开了一扇通往更广阔数学领域的大门。对于任何想要系统学习数论，或者仅仅是对数字背后隐藏的奥秘感到好奇的读者来说，这本书都绝对不容错过。它不仅仅是一本教材，更是一次令人愉悦的数学探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

英文版的 看的有些压力 慢慢看

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解析数论

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门类

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门类

评分☆☆☆☆☆

数论就是指研究整数性质的一门理论。数论=绝大部分算术（少数例外）。不过通常算术指数的计算，数论指数的理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研究。它与平面几何同是历史悠久的学科。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论，其中最高成就包括高斯的“二次互反律”等。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

评分☆☆☆☆☆

要很好的基础，推荐给大家

评分☆☆☆☆☆

数论就是指研究整数性质的一门理论。数论=绝大部分算术（少数例外）。不过通常算术指数的计算，数论指数的理论。整数的基本元素是素数，所以数论的本质是对素数性质的研究。它与平面几何同是历史悠久的学科。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论，其中最高成就包括高斯的“二次互反律”等。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。

评分☆☆☆☆☆

初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、费马大定理、中国剩余定理、欧拉定理（其特例是费马小定理）、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩尔方程的连分数求解法等等。

评分☆☆☆☆☆

初等数论