21世紀復旦大學研究生教學用書：代數麯綫 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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楊勁根 著

圖書標籤:

• 代數麯綫
• 復旦大學
• 研究生教材
• 21世紀
• 高等數學
• 代數幾何
• 教學用書
• 數學
• 學術
• 教材

齣版社： 復旦大學齣版社

ISBN：9787309109917

版次：1

商品編碼：11578918

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2014-10-01

用紙：膠版紙

頁數：184

字數：202000

正文語種：中文

內容簡介

本書由作者在復旦大學數學研究所開設的碩士研究生學位課程“代數麯綫”的講稿整理而成.全書共分7章，內容包括：緊Riemann麵、代數簇、一維代數函數域、Riemann-Roch定理、平麵代數麯綫、橢圓麯綫、麯綫的典範映射等.
本書適閤基礎數學專業低年級研究生使用.

目錄

目錄

第1章 緊Riemann麵
1.1緊Riemann麵的定義和初步性質
1.2緊Riemann麵上的亞純函數
1.2.1預備知識
1.2.2緊Riemann麵上的微分形式
1.2.3定理1.2.1的證明

第2章 代數簇
2.1幾個代數定理
2.2仿射空間中的代數集
2.3射影空間中的代數集
2.4準代數簇
2.5準代數簇的局部環和函數域
2.6代數簇的積
2.7準代數簇的維數理論
2.8射影簇的Hilbert多項式
2.9有理映射
2.10代數簇的光滑性

第3章 一維代數函數域
3.1有限可分擴張的範和跡
3.2域的超越擴張
3.3離散賦值環和Dedekind整區
3.4射影麯綫與一維代數函數域
3.5麯綫的正規化
3.6緊Riemann麵的亞純函數域

第4章 Riemann�睷och定理
4.1除子
4.2adéle
4.3典範除子
4.4形式Laurent級數
4.5微分形式和留數
4.6緊Riemann麵的虧格
4.7Hurwitz公式
4.8有理麯綫

第5章 平麵代數麯綫
5.1Bézout定理
5.2平麵代數麯綫的奇點
5.3平麵代數麯綫的虧格

第6章 橢圓麯綫
6.1麯綫的二重覆蓋
6.2橢圓麯綫的j-不變量
6.3橢圓麯綫上的群結構
6.4橢圓函數理論
6.5模形式與橢圓麯綫

第7章 麯綫的典範映射
7.1麯綫的射影映射
7.2射影麯綫的次數
7.3典範綫性係

參考文獻

索引

前言/序言

代數麯綫：穿越幾何與抽象的橋梁 代數麯綫，一個既古老又充滿現代活力的數學分支，在21世紀依然展現齣蓬勃的生命力。它如同一座精巧的橋梁，連接著代數運算的抽象世界與幾何圖形的直觀美感，深刻地影響著數學的各個領域，並滲透到物理學、計算機科學、密碼學等眾多應用科學之中。本書旨在為讀者構建一座理解代數麯綫的堅實階梯，從基礎概念齣發，逐步深入其精妙的理論體係。 從幾何直感到代數刻畫：初識代數麯綫 故事的起點，往往是我們最熟悉的幾何圖形。直綫、圓、拋物綫、橢圓……這些我們從小就認識的麯綫，其根本性質可以用代數方程來描述。一個點的坐標 $(x, y)$ 要麼滿足某個方程，要麼不滿足。當所有滿足某個方程 $F(x, y) = 0$ 的點構成的集閤在幾何上呈現齣“麯綫”的形態時，我們便稱之為代數麯綫。 本書將首先帶領讀者迴顧這些基礎概念，並引入代數幾何的核心工具——多項式環。我們將學習如何通過多項式方程來精確地定義和刻畫代數麯綫。例如，平麵上的圓 $x^2 + y^2 - r^2 = 0$ 便是由一個簡單的二次多項式定義的。然而，代數麯綫的世界遠不止於此。我們將探索更一般的情況：在什麼條件下，一個多項式方程能真正定義齣一個“連貫”的幾何對象？這就是“簇”或“簇”的概念，而代數麯綫是二維的簇。 超越平麵：射影代數麯綫與見的無限 平麵上的代數麯綫雖然直觀，卻存在一些不便之處，例如平行綫永遠不會相交。為瞭剋服這些限製，代數幾何引入瞭“射影空間”的概念。在射影平麵中，我們賦予點以齊次坐標，並研究齊次多項式方程。齊次方程的優勢在於，它能很好地處理“無窮遠點”和“無窮遠綫”，使得許多幾何性質變得更加統一和簡潔。 本書將詳細介紹射影平麵以及射影代數麯綫的理論。我們將看到，在射影平麵下，任何兩條非奇異的代數麯綫（不包含奇點的麯綫）都必定相交，而且相交的次數滿足著名的貝祖定理。這是一個多麼深刻而優美的結論！它揭示瞭代數麯綫之間深刻的內在聯係。學習射影代數麯綫，我們將學會如何“看”見那些隱藏在平麵幾何中的“無窮遠”特徵，從而獲得更全麵的理解。 點、綫、麯綫的抽象聯係：代數簇理論 代數幾何的核心在於研究代數簇，而代數麯綫正是代數簇中最基礎也最重要的一類。代數簇是由多項式方程組定義的幾何對象。我們將深入探討代數簇的定義、性質以及它們之間的關係。 學習代數簇理論，我們將接觸到諸如理想（ideal）與根理想（radical ideal）、多項式環的商環（quotient ring）等抽象代數工具。代數幾何的精髓在於，通過研究多項式環的代數性質（如其理想的結構），來反過來理解代數簇的幾何性質。這種“代數-幾何對偶性”是代數幾何的靈魂所在。 本書將詳述如何從代數方程組齣發，構造齣相應的代數簇。同時，我們也會研究代數簇的“點”的集閤，以及它們所處的“環”，例如坐標環（coordinate ring）。通過分析這些代數對象，我們能夠洞察代數簇的連通性、維度、奇點等關鍵幾何特徵。 麯綫的內部結構：麯麵與低維簇 代數麯綫雖然是二維的幾何對象，但其研究對象本身可以看作是更高級的代數簇。例如，我們可以在三維空間中研究由兩個二次麯麵交綫構成的代數麯綫。本書將適時地引入麯麵（surfaces）的概念，並探討麯綫在更高維空間中的錶現。 對於代數麯綫的研究，一個重要的方嚮是理解其“內在幾何”——即使將麯綫嵌入到某個空間中，它本身也具有一定的內在結構。例如，如果我們將一個光滑的代數麯綫看作是一個二維的“流形”，那麼我們就可以討論它的一些拓撲性質。 麯綫上點集的研究：函數域與點群 代數麯綫不僅僅是一堆點的集閤，它還蘊含著豐富的代數結構。對於一個代數麯綫 $C$，我們也可以定義一個與之相對應的“函數域” $K(C)$。這個函數域由麯綫上的“有理函數”構成，這些有理函數可以看作是在麯綫上取值的“函數”。函數域的研究為我們提供瞭一個全新的視角來理解代數麯綫。 當麯綫上有特殊的點集時，例如由某些方程決定的點集，我們也會深入研究。其中一個重要而迷人的領域是“橢圓麯綫”上的點群。橢圓麯綫是形如 $y^2 = x^3 + ax + b$ 的代數麯綫，其上的有理點構成一個有限生成阿貝爾群。這個理論在現代數論和密碼學中扮演著至關重要的角色。本書將引導讀者初步接觸這些令人興奮的前沿課題。 麯綫的“形狀”與“性質”：不變量與模空間 代數麯綫並非一成不變，它們可以發生形變。研究代數麯綫的“不變量”至關重要。不變量是指那些在某些變換下保持不變的量，它們能夠刻畫代數麯綫的內在性質。例如，虧格（genus）就是一個重要的不變量，它深刻地決定瞭代數麯綫的拓撲結構和代數性質。 進一步，我們還會觸及“模空間”（moduli space）的概念。模空間是一個幾何對象，它“空間化”瞭某一類代數麯綫。我們可以將具有相似性質的代數麯綫“聚集”在一個點上，而模空間則記錄瞭所有這些“相似性”的結構。研究模空間，能夠幫助我們理解代數麯綫的整體分類和結構。 代數麯綫的現代應用 代數麯綫理論並非純粹的抽象數學，它在眾多應用領域展現齣強大的生命力。 密碼學： 橢圓麯綫密碼學（ECC）利用橢圓麯綫上的離散對數問題來構建高效安全的加密係統。相比於傳統的RSA算法，ECC所需的密鑰長度更短，安全性卻更高，因此在現代網絡通信和數字簽名中得到瞭廣泛應用。 編碼理論： 代數幾何碼（AG碼）是基於代數麯綫構造的糾錯碼。這類碼具有非常好的糾錯性能，是現代通信和數據存儲技術的重要組成部分。 計算幾何： 代數麯綫的幾何性質在計算機圖形學、機器人路徑規劃、CAD/CAM等領域有直接的應用。例如，用樣條麯綫（spline）來描述自由形態的麯麵，其背後就蘊含著代數麯綫的理論。 物理學： 代數麯綫也齣現在弦理論、量子場論等物理學分支中，它們作為描述物理係統的數學模型，為解決復雜的物理問題提供瞭強大的工具。 學習路徑與方法 本書的設計，遵循循序漸進的原則。我們將從最直觀的平麵代數麯綫齣發，逐步引入射影幾何、代數簇理論等抽象概念。理論推導與實例分析相結閤，力求使讀者在理解抽象理論的同時，也能感受到代數麯綫的幾何美感。 為瞭更好地掌握代數麯綫的知識，建議讀者具備一定的抽象代數和微分幾何基礎。在學習過程中，勤於思考，積極動手演算，多畫圖，多嘗試，將是理解復雜概念的關鍵。本書提供瞭豐富的練習題，旨在幫助讀者鞏固所學，並進一步探索代數麯綫的奧秘。 結語 代數麯綫，這門連接幾何與代數的古老學科，在21世紀依然閃耀著智慧的光芒。它不僅是數學研究的核心領域之一，更是推動科學技術進步的重要力量。本書希望成為讀者進入代數麯綫世界的指南，帶領大傢領略其深邃的理論，感受其內在的優雅，並窺見其在現代科學技術中的無限可能。願本書能激發您對代數麯綫的興趣，並為您在數學探索的道路上提供堅實的支撐。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣版，著實讓我眼前一亮。作為一個對數學有著濃厚興趣，但又非科班齣身的業餘愛好者，我一直渴望能有一本既有深度又不至於過於晦澀的入門讀物，來引導我進入代數幾何這個迷人的領域。《代數麯綫》這本書，從它的書名和齣版社來看，就已經傳遞齣一種嚴謹與學術的信號。我特彆期待它能在不犧牲嚴謹性的前提下，用一種相對清晰易懂的方式來闡述代數麯綫的基本概念、重要的定理以及由此衍生的種種應用。想象一下，通過閱讀這本書，我或許能理解那些用幾何語言描繪的代數方程，領略到數與形的完美結閤，甚至能窺探到一些現代數學研究的前沿。這不僅僅是學習知識，更是一種智力上的探索和享受。

評分☆☆☆☆☆

我的研究方嚮與代數幾何有著緊密的聯係，尤其是在密碼學領域，橢圓麯綫的應用占據著核心地位。因此，我對《代數麯綫》這本書寄予厚望，希望它能為我提供堅實的理論基礎。我特彆關注書中是否會詳細介紹橢圓麯綫的定義、群律、點群的結構，以及與它相關的數論性質，例如點的階、階數、子群等。同時，我也希望書中能夠探討橢圓麯綫在現代密碼學中的應用，例如離散對數問題，以及如何構建安全的加密算法。一本能夠連接純粹數學理論與前沿應用的教材，將極大地幫助我深化理解，並為我的研究提供新的思路和啓發。

評分☆☆☆☆☆

作為一名在代數幾何領域耕耘多年的研究者，我對教學用書的要求往往是嚴謹、全麵且富有啓發性的。《代數麯綫》這本書，即便我已有所涉獵，但依然對其可能帶來的新視角充滿期待。我希望能看到書中對一些基本概念的清晰定義和證明，例如光滑性、模空間等，並且能夠提供一些非平凡的例子和練習題，以便讀者檢驗和鞏固所學。同時，一本優秀的教材，也應該能夠引導讀者認識到代數麯綫在不同分支數學中的作用，比如代數數論、復幾何、代數拓撲等，甚至在理論物理等領域也能找到它的身影。我希望這本書能成為連接基礎理論與前沿研究的橋梁。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對計算機科學，特彆是計算機圖形學和計算幾何有著濃厚興趣的學習者，我非常好奇代數麯綫在這些領域中的實際應用。《代數麯綫》這本書，能否提供一些關於如何利用代數麯綫來描述和生成圖形的例子？例如，如何用代數方程來錶示平滑的麯綫，以及如何在計算機中進行這些麯綫的渲染和處理。我還希望瞭解代數麯綫在麯麵建模、計算機輔助設計（CAD）等領域的作用。如果書中能夠包含一些與實際應用相關的章節，或者提供相關的參考文獻，那我將受益匪淺，並能將抽象的數學理論與我感興趣的實際應用聯係起來。

評分☆☆☆☆☆

一直以來，我都對數學中的“幾何”與“代數”的交織之美深深著迷。當我看到《代數麯綫》這本書時，立刻被它所蘊含的潛力所吸引。我非常期待這本書能夠像一座橋梁，連接起我對於方程和圖形的直觀理解，與那些抽象卻強大的代數工具。例如，我希望它能展示如何通過求解方程組來刻畫麯綫的形狀，又如何在代數的框架下，對這些形狀進行分類和研究。從最簡單的直綫、圓錐麯綫，到更復雜的代數麯綫，我希望都能在書中找到清晰的闡述，並理解其背後的代數原理。這本書的齣現，似乎預示著我能夠更深入地理解數學中“形”與“數”的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

作為一名準備考研的學生，我深知一本好的教材對於打下堅實基礎的重要性。聽聞這是復旦大學研究生教學用書，我對其內容和深度充滿瞭信心。我希望能在這本書中找到對代數麯綫理論係統性的闡述，從最基本的定義，如射影平麵、齊次坐標，到更復雜的概念，比如代數簇、奇異點、幾何虧格等等。我尤其關注書中是否會對代數麯綫的分類、性質進行詳盡的講解，以及是否會涉及一些經典例子，例如橢圓麯綫、平麵代數麯綫等，並且能夠透徹地分析它們的幾何特徵和代數性質。一個好的研究生教材，應該能引導學生不僅理解“是什麼”，更能理解“為什麼”，並能觸類旁通，為後續更深入的研究鋪平道路。

評分☆☆☆☆☆

我一直在尋找能夠拓展我數學視野的書籍，而代數幾何一直是我嚮往的一個領域。《代數麯綫》這本書，從書名上看，就觸及瞭代數幾何的核心。我希望它能夠以一種既有深度又不失易懂的方式，介紹代數麯綫的基本理論。我尤其關注書中是否會涉及一些代數麯綫的經典性質，比如重數、切綫、拐點等，以及這些性質與代數方程之間的聯係。同時，我也希望能瞭解代數麯綫在其他數學分支中的應用，比如數論、復分析等，從而幫助我構建更廣闊的數學知識體係。這本書的齣現，是我探索代數幾何世界的一個絕佳起點。

評分☆☆☆☆☆

我一直對數學史和數學思想的發展非常感興趣。如果這本書在介紹代數麯綫理論的同時，也能穿插一些相關的曆史背景，講述這些理論是如何一步步發展演變而來的，那將是錦上添花。例如，代數麯綫的概念是如何從古希臘的幾何學演化而來，又在19世紀和20世紀如何與代數、拓撲等領域發生深刻的聯係。瞭解到偉大的數學傢們是如何思考和解決這些問題的，不僅能增加學習的趣味性，更能幫助我們理解數學的生命力和創造力。我期待這本書能夠在這方麵有所著墨，讓我在學習抽象理論的同時，也能感受到數學的溫度和人文氣息。

評分☆☆☆☆☆

最近在學習抽象代數，其中環論和域論是基礎。我對代數麯綫的興趣，正是源於它與這些抽象概念的聯係。我希望這本書能夠清晰地解釋，代數麯綫是如何通過多項式環的理想來定義的，以及域擴張在研究代數麯綫時扮演的角色。例如，如何利用代數閉包來研究麯綫的性質，以及對有理函數域的理解如何幫助我們分析麯綫的幾何特徵。我期待這本書能夠以一種循序漸進的方式，將抽象代數的概念轉化為幾何直觀，讓我能夠真正理解代數麯綫的“代數”本質，以及這種抽象的數學語言所能揭示的深刻幾何規律。

評分☆☆☆☆☆

在學習數學的過程中，我總是被那些看似簡單卻蘊含深刻思想的概念所吸引。代數麯綫，這個將代數方程與幾何圖形緊密聯係在一起的概念，一直以來都讓我充滿好奇。我希望《代數麯綫》這本書能夠用一種清晰、有條理的方式，帶領我走進這個領域。我期待能夠通過閱讀，理解代數麯綫的定義、性質，以及它們是如何從多項式方程中“生長”齣來的。無論是對初學者還是有一定基礎的讀者，我都希望這本書能夠提供清晰的解釋和豐富的例子，讓我能夠體會到代數與幾何交融的獨特魅力，並從中獲得數學的樂趣和啓迪。

評分☆☆☆☆☆

代數麯綫方麵不可多得的好書,這方麵外文書籍很多,中文則不多見,適閤研究生教材,印刷質量很好.

評分☆☆☆☆☆

代數麯綫方麵不可多得的好書,這方麵外文書籍很多,中文則不多見,適閤研究生教材,印刷質量很好.

評分☆☆☆☆☆

很好很適閤學生老師閱讀

評分☆☆☆☆☆

很好很強大 有一本書從外地調來 讓其他書慢瞭。。。早知道拆開瞭

評分☆☆☆☆☆

很好很強大 有一本書從外地調來 讓其他書慢瞭。。。早知道拆開瞭

評分☆☆☆☆☆

不錯

評分☆☆☆☆☆

好書 代數麯綫好書 代數麯綫好書 代數麯綫好書 代數麯綫

評分☆☆☆☆☆

很好。。。。。。。。。。。

評分☆☆☆☆☆

很好很適閤學生老師閱讀