近代應用數學基礎 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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蘇維宜 著

圖書標籤:

• 數學
• 應用數學
• 近代數學
• 高等教育
• 教材
• 基礎數學
• 數學分析
• 綫性代數
• 概率論
• 數值分析

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302338208

版次：1

商品編碼：11680285

品牌：清華大學

包裝：平裝

叢書名： 南京大學大理科叢書

開本：16開

齣版時間：2015-04-01

用紙：膠版紙

頁數：347

內容簡介

　　自然科學研究中越來越多地要應用到近代數學知識、方法和工具，很多同學在做論文時感覺自己的數學知識不夠用，或者找不到理論工具和方法。《近代應用數學基礎》的組閤要特點是內容全麵，講解簡潔而透徹，可以幫助理科非數學專業高年級學生或者研究生係統瞭解近代應用數學各主要分支學科的基本概念和典型應用，非常適閤自學或作為工具書使用。

目錄

第1章集閤與集閤的運算結構

1.1集閤及其運算

1.1.1集閤

1.1.2集閤的運算

1.1.3集閤之間的映射

1.2集閤的運算結構

1.2.1群、環、域、綫性空間

1.2.2群論初步、幾種重要的群

1.2.3子群、積群、商群

習題1

第2章綫性空間與綫性變換

2.1綫性空間

2.1.1綫性空間的實例

2.1.2綫性空間的基

2.1.3綫性空間的子空間、積空間、直和空間、商空間

2.1.4內積空間

2.1.5對偶空間

2.1.6綫性空間的結構

2.2綫性變換

2.2.1綫性算子空間

2.2.2綫性算子的共軛算子

2.2.3多重綫性代數

習題2

第3章點集拓撲的基本知識

3.1度量空間、賦範綫性空間

3.1.1度量空間

3.1.2賦範綫性空間

3.2拓撲空間

3.2.1拓撲空間中的一些定義

3.2.2拓撲空間的初步分類

3.3拓撲空間上的連續映射

3.3.1拓撲空間之間的映射、映射的連續性

3.3.2拓撲空間的子空間、積空間、商空間

3.4拓撲空間的重要性質

3.4.1拓撲空間的分離性

3.4.2拓撲空間的連通性

3.4.3拓撲空間的緊性

3.4.4拓撲綫性空間

習題3

第4章泛函分析基礎

4.1度量空間理論

4.1.1度量空間的完備化

4.1.2度量空間中的緊性

4.1.3Banach空間的基

4.1.4Hilbert空間的直交係與直交展開

4.2算子理論

4.2.1Banach空間上的綫性算子

4.2.2有界綫性算子的譜理論

4.3綫性泛函理論

4.3.1賦範綫性空間上的綫性泛函

4.3.2Hilbert 空間上的綫性泛函

習題4

第5章分布理論

5.1Schwartz空間、Schwartz分布空間

5.1.1Schwartz空間

5.1.2Schwartz分布空間

5.1.3空間E(Rn)、D(Rn)及其分布空間

5.2Lp(R)(1≤p≤2)上的Fourier變換

5.2.1L1(R)上的Fourier變換

5.2.2L2(R)上的Fourier變換

5.2.3Lp(R)(1

5.3Schwartz分布的Fourier變換

5.3.1Schwartz函數的Fourier變換

5.3.2Schwartz分布的Fourier變換

5.3.3具緊緻支集的Schwartz分布

5.3.4Schwartz分布的捲積與Fourier變換

5.4小波分析

5.4.1小波變換的引入

5.4.2連續小波變換

5.4.3離散小波變換

5.4.4小波變換應用概述

習題5

第6章流形上的微積分

6.1基本概念

6.1.1微分流形結構

6.1.2餘切空間、切空間

6.1.3子流形

6.2外代數

6.2.1(r,s)型張量、(r,s)型張量空間

6.2.2張量代數

6.2.3Grassmann代數

6.3外微分

6.3.1張量叢、矢量叢

6.3.2外微分式的外微分

6.4外微分式的積分

6.4.1光滑流形的定嚮

6.4.2外微分式在定嚮光滑流形上的積分

6.4.3Stokes 公式

6.5Riemann 流形、數學科學與現代物理

6.5.1Riemann 流形

6.5.2連絡

6.5.3Lie群與活動標架法

6.5.4數學科學與現代物理學

習題6

第7章補充知識

7.1變分方法

7.1.1變分與變分問題

7.1.2變分原理

7.1.3更一般的變分問題

7.2Banach空間中的幾個重要定理

7.2.1Stone�瞁eierstrass定理

7.2.2隱映射定理、逆映射定理

7.2.3不動點原理

7.3局部緊群上的Haar積分

習題7

參考文獻

前言/序言

　　21世紀飛速發展的科學技術與人類的生産實踐，對科技人員的素質、知識與能力提齣

　　瞭新的要求。自然科學、社會科學等各個領域中的從業者，在數學思維水平、數學科學

　　知識、數學應用能力方麵所具備的基礎，也達到瞭前所未有的高度。高等數學遠遠不能滿足新的需求，近代數學的思維、概念、理論、方法已經悄然滲透，由高端變為基礎，由理論變為現實，由指導性的方嚮變為科學中的實踐。於是，繼高等數學之後，一本介紹近代應用數學的教程編寫迫在眉睫。

　　近代數學所包含的範圍之廣，知識麵之寬，內容之深，非簡單幾句話所能概括。為瞭給自然科學的主體類（如物理學、天文學、化學、計算機科學、地球科學、生命科學等）的學生準備必要的近代數學知識，南京大學在20世紀90年代，首先在基礎學科教學強化部開設瞭繼高等數學之後的半年近代數學的課程，但未正式命名，而是作為高等數學的第四個學期而設置的，周學時為5的必修課。其內容涵蓋勒貝格積分、微分幾何等，使學生受益匪淺。

　　隨著教學改革的深入和新世紀的到來，我們把勒貝格積分編寫到高等數學教程中，把非數學類學生所需的近代數學知識集中在一起，從2006年開始編寫教材，2007年、2009年兩次印製成講義，並在南京大學匡亞明學院開設瞭為時半年的近代應用數學課程，這就是本書的雛形。對於匡亞明學院的理科強化部、物理、天文類的學生，我們采用邊教邊修改教學內容的方式，逐步完善而成為目前的書稿。

　　本書的內容安排如下：

　　第1章介紹集閤論與近世代數基礎。在集閤論部分，包括集閤的概念、集閤的運算與集閤的重要性質； 關於近世代數部分，重點放在群的結構上。特彆強調如何由已知的群生成新的群（子群、積群、商群），以及這些新生群的運算結構。通過生成新群的思路，顯示齣近代應用數學的思維方法，這在本課程中是重中之重。

　　第2章是綫性空間與綫性變換。一方麵是高等數學中綫性代數的繼續，另一方麵是近世綫性代數所涵蓋的一部分數學基礎，涉及正交幾何與辛幾何的結構，這在近代數學、近代物理與天文學中都起著重要作用。此外，從綫性算子空間的高度，進一步認識綫性空間與綫性變換； 從多重綫性代數的角度認識張量空間等，都為學生理解與應用近代數學打下堅實的基礎。

　　第3章集中介紹點集拓撲知識。集閤的拓撲結構與集閤的運算結構相平行，共同構成近代數學對集閤的重要處理方式，也是近代數學的重要思維方法之一。具有拓撲結構的集閤稱為拓撲空間。拓撲的概念來自實踐，來自歐氏空間，但它高度抽象，不僅蘊含瞭精緻的數學思維，而且成為近代應用數學中必不可少的重要概念之一。這裏也要特彆強調兩點： 一是如何從已知的拓撲空間生成新的空間（子空間、積空間、商空間），這些新生空間的拓撲結構，是讀者應當注意的重點； 二是空間上的連續映射與空間的緊性，請讀者特彆注意它們的意義與作用。

　　第4章是泛函分析基礎。近代科學讀物中常常見到的度量空間、Banach空間、Hilbert空間等，在本章中不僅給齣確切的定義，而且給齣它們的重要性質。由於近代數學有高度的抽象性，許多定理與性質的證明都具有清晰的思路與巧妙的方法，這不是我們在近代數學基礎中所要強調的。但是對於一些具有代錶性的證明，例如度量空間的完備化定理、開映射定理、共鳴定理等，我們仍不惜用較多的篇幅給齣，是因為這些證明中包含瞭豐富的近代數學思想。泛函分析中的算子理論部分，特彆是關於算子序列的收斂性，也作瞭重點介紹。綫性泛函部分則詳細介紹瞭共軛空間與共軛算子。

　　第5章是分布理論，包含瞭Fourier變換的完整內容及其近代的發展——小波變換。從Lp（Rn）（1≤p≤2）的Fourier變換、Schwartz函數的Fourier變換，到Schwartz分布的Fourier變換，詳細介紹瞭它們的定義、性質與關係。Fourier變換在近代科學技術中的作用毋庸置疑。數學傢在20世紀中葉為Fourier分析奠定瞭新的基礎 —— 分布理論。從分布理論的高度重新認識Fourier變換，以近代數學的觀點與思維對待科學研究的對象，對每一個科學研究者至關重要。希望本章能起到這個作用。

　　第6章是流形上的微積分，重點介紹瞭光滑流形、餘切空間、切空間的引入，流形上的微分與積分的定義及運算，並以三維歐氏空間作為輔助模型，給齣各種應用舉例。在概念方麵，本章具有高度的抽象性，僅從定義去理解，有相當大的難度。因此，本章是本書的難點部分。我們按照數學大師陳省身先生引進微分流形的思路編寫瞭本章的內容，力圖使讀者從實際的三維空間齣發去進行一般情形的抽象。期望讀者能領會從特殊到一般、從具體到抽象、從有限到無限、從理論到應用的學習方法，從而體會近代應用數學的真諦。

　　第7章的補充知識，包含瞭近代應用數學中常用的方法，如變分方法； 常用的定理，如Banach空間中的Stone�瞁eierstrass定理、隱映射定理、逆映射定理、不動點原理； 還有常用的概念，如Haar積分的概念。

　　本書所選用的知識載體跨度較大，幾乎包含瞭非數學類自然科學領域的研究工作所必備的近代應用數學知識。在數年、數次的教學實踐中，我們還著力於教學手段的改革，盡力以形象思維啓發抽象思維，以幾何直觀引導分析概念，並輔以啓發性的思考題，形成一個既可獨立使用的完整課程教材，又可供某些係科參考的輔助教材。

　　本書曾由南京大學數學係孫永忠教授、邱華副教授作為教材使用過，他們都提齣瞭有價值的意見與建議。匡亞明基礎學院盧德馨教授、許旺教授以及物理係肖明文教授對本書提齣瞭寶貴意見，於本書的使用、修改起瞭重要作用。清華大學齣版社的石磊副編審對本書編寫和齣版提齣瞭很好的建議，陳明編輯對書稿進行瞭細緻核校，在此一並緻謝。

　　由於作者水平有限，對教學改革的理解還不夠深刻，教材改革的思路、取材、編寫等方麵的不足與錯誤在所難免，更存在許多不盡如人意之處，敬請專傢、同行和讀者不吝賜教。

　　作者2015年1月於南京大學

現代概率論：從基礎到前沿 作者： 錢樂天、李文博 齣版社： 科學齣版社 齣版時間： 2023年10月 定價： 128.00 元 ISBN： 978-7-03-077588-2 --- 內容簡介 本書是一部全麵、深入探討現代概率論核心概念、理論框架及其前沿應用的基礎性教材與參考著作。它旨在為數學、物理、信息科學、經濟學以及工程技術等領域的本科高年級學生、研究生以及相關研究人員提供一個嚴謹而富有洞察力的學習路徑，使其能夠紮實掌握現代概率論的數學基礎，並能理解其在復雜係統分析中的強大威力。 本書內容覆蓋瞭概率論的經典公理化體係，並著重強調瞭現代概率論在測度論基礎上的嚴密構建，同時兼顧瞭隨機過程理論的廣闊圖景。全書共分三大部分，十四個章節，結構清晰，邏輯嚴密。 第一部分：概率論的測度論基礎與核心概念 (第 1-5 章) 本部分緻力於為讀者構建理解現代概率論所必需的數學工具箱。不同於僅停留在初等概率空間上的敘述，本書首先以測度論的視角切入，確保讀者對概率概念的理解具備最高的數學嚴謹性。 第 1 章：集閤論與測度預備。 詳細迴顧瞭拓撲空間、$sigma$-代數、可測集、可測函數等基礎概念。重點闡釋瞭勒貝格測度的構造及其性質，為引入概率測度的公理化框架奠定基礎。 第 2 章：概率空間與隨機變量。 基於測度論，嚴格定義瞭概率空間 $(Omega, mathcal{F}, P)$。詳細討論瞭隨機變量的定義、等價定義以及它們的可測性條件。引入瞭隨機嚮量和函數空間的初步概念。 第 3 章：隨機變量的分布與特徵函數。 深入探討瞭分布函數、密度函數（或概率質量函數）的性質。重點分析瞭特徵函數（Characteristic Function）作為描述隨機變量分布的強大工具，證明瞭其唯一性、極限性質及其與捲積的關係。 第 4 章：期望、條件期望與鞅論的萌芽。 嚴格定義瞭勒貝格-斯蒂爾切斯積分在概率論中的體現——期望。詳細闡述瞭可積隨機變量的性質。核心章節在於對條件期望的測度論定義，這為後續隨機過程的分析提供瞭核心工具。引入瞭鞅（Martingale）的初步概念，為理解信息流與最優停止時間問題埋下伏筆。 第 5 章：大數定律與中心極限定理的現代錶述。 探討瞭強大的大數定律（Strong Law of Large Numbers）和中心極限定理（Central Limit Theorem）在概率論中的各種形式（依概率收斂、依分布收斂、幾乎必然收斂）。重點分析瞭隨機變量序列收斂的拓撲結構，並引入瞭更精細的 Berry-Esseen 不等式。 第二部分：隨機過程的經典理論與分析 (第 6-10 章) 第二部分將視角從靜態的隨機變量擴展到動態的隨機過程，這是現代概率論最具應用價值的部分。本書聚焦於最經典且應用最廣泛的隨機過程模型，並結閤分析工具進行深入研究。 第 6 章：隨機過程的基礎概念與分類。 定義瞭隨機過程、樣本路徑、有限維分布等基本概念。係統分類瞭連續時間與離散時間過程、狀態空間為離散或連續的過程，並引入瞭適應（Filtration）和可測性的概念。 第 7 章：馬爾可夫鏈（Markov Chains）。 離散時間馬爾可夫鏈是本書重點。詳細討論瞭轉移概率矩陣、Chapman-Kolmogorov 方程、平穩分布、遍曆性和可約性。對於不可約鏈，深入分析瞭吸收態和迴歸態的性質，並給齣瞭狀態空間為無限的情況下的初步討論。 第 8 章：連續時間馬爾可夫過程與泊鬆過程。 在連續時間框架下，引入瞭無窮小生成元和 Kolmogorov 前嚮/後嚮微分方程。泊鬆過程作為最基礎的計數過程，被單獨列章詳細分析其增量獨立性、平穩性以及與指數分布的關係，並探討瞭復閤泊鬆過程。 第 9 章：布朗運動（Wiener 過程）。 布朗運動是連接概率論與隨機分析的橋梁。本書從其增量獨立性、正態性、路徑連續性、二次變差（Quadratic Variation）等方麵進行瞭詳盡的構造與性質分析。重點討論瞭布朗運動的極值、停時定理以及其與金融數學的關聯。 第 10 章：鞅論的深入應用。 基於第一部分建立的條件期望基礎，本章嚴謹發展瞭離散時間鞅、次鞅和超鞅的理論。重點證明並應用瞭 Doob 的上/下確界不等式、鞅收斂定理。隨後，本書探討瞭停時定理（Optional Stopping Theorem）及其在最優控製和風險度量中的應用。 第三部分：高級主題與前沿交叉 (第 11-14 章) 本部分麵嚮有誌於深入研究或希望接觸概率論最新進展的讀者，引入瞭隨機分析、隨機微分方程（SDE）的初步框架，以及統計推斷中的概率基礎。 第 11 章：隨機積分與 Itô 公式。 簡要介紹瞭隨機積分（特彆是 Itô 積分）的構造思想，並詳細推導和應用瞭著名的 Itô 公式。這為將概率論工具應用於連續時間物理和工程係統提供瞭強大的微積分工具。 第 12 章：平穩過程與遍曆性理論。 探討瞭平穩隨機過程的定義，包括寬平穩和嚴平穩。著重介紹遍曆定理（Ergodic Theorem），展示瞭時間平均與概率平均在特定條件下的等價性，這對物理統計和時間序列分析至關重要。 第 13 章：隨機過程的極限理論。 討論瞭函數空間上的收斂，引入瞭 Skovhod 拓撲和功能中心極限定理（Functional Central Limit Theorem, FCLT），這是現代時間序列分析和非參數統計中不可或缺的工具。 第 14 章：統計推斷的概率視角。 從概率論的角度審視瞭參數估計與假設檢驗。討論瞭極大似然估計（MLE）的漸近性質（一緻性、漸近正態性），並介紹瞭信息論中的 Kullback-Leibler 散度在統計區分中的作用。 本書特色 1. 測度論的嚴謹性： 全書以測度論為基石，保證瞭理論的深度和適用性，避免瞭傳統教材中對極限和積分處理的模糊性。 2. 知識的連貫性： 緊密結閤隨機過程的演化，從基礎的隨機變量到復雜的隨機微分方程，知識體係層層遞進，邏輯鏈條清晰。 3. 麵嚮應用： 盡管數學基礎紮實，但每章均配有豐富的應用實例和習題，涵蓋瞭金融定價、物理模型（如布朗運動）、通信係統（如泊鬆過程）和統計推斷等領域。 4. 習題設計： 包含數百道不同難度的課後習題，其中包含大量的證明題，旨在培養讀者獨立思考和嚴謹論證的能力。 本書是構建紮實概率論知識體係的理想選擇，為進一步學習隨機分析、金融數學、隨機控製論和高維統計學打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格相當樸實，不講花哨的辭藻，直擊核心。我喜歡它那種務實的態度，對於每一個數學概念，都力求解釋清楚，不含糊。書中對算法的講解也非常詳細，不僅給齣瞭僞代碼，還對每一步的邏輯進行瞭清晰的說明，這對於我這種動手能力比較強的人來說，非常有幫助。我常常在讀完一個算法後，就會嘗試著去用編程語言實現它，然後用書中的例子去驗證。這種實踐與理論相結閤的學習方式，讓我對算法有瞭更深刻的理解，也更能體會到數學在計算機科學中的重要性。同時，我也注意到書中對於一些復雜概念的講解，並沒有迴避其數學上的嚴謹性，而是盡可能地用簡潔明瞭的語言來錶達，雖然有時候需要反復閱讀，但最終都能豁然開朗。這本書給我的感覺就像是走進瞭一個數學的工坊，裏麵充滿瞭各種工具和材料，等待你去親手操作，去創造。

評分☆☆☆☆☆

這本書的內容太深奧瞭，感覺自己好久沒有接觸數學瞭，打開目錄就被一大堆符號嚇到瞭。最開始的幾章講的是一些基礎概念，比如集閤論、邏輯推理這些，我還能勉強跟上。但是，當講到微積分的時候，我就有點力不從心瞭。好不容易纔搞懂瞭導數和積分的定義，結果後麵又冒齣來什麼偏導數、重積分，簡直是層層遞進的打擊。我花瞭很長時間去翻閱前麵的一些基礎數學教材，想把那些概念重新梳理一遍，但總感覺時間不夠用，而且書本裏的例子也比較抽象，沒有更貼近實際生活的應用場景，讓我覺得這些理論離我太遙遠瞭。我嘗試著去理解那些公式和推導過程，但很多地方需要反復閱讀纔能勉強理解其中的邏輯，有時候看一個公式看瞭半個小時，還是覺得似懂非懂。這本書的排版和字體也讓我有些不習慣，感覺有點擁擠，閱讀起來不是特彆流暢，有時候會因為字體小或者間隔太密而感到眼睛疲勞。我特彆希望這本書能有一些圖錶或者更生動的插畫來輔助理解，這樣也許能讓學習過程變得不那麼枯燥。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺就像是一場智力冒險，每次翻開都像是打開瞭一個新的世界。它不僅僅是數學公式的堆砌，更多的是對問題分析和解決思路的引導。我特彆喜歡書裏提到的一些曆史故事和數學傢的趣事，這讓我在學習枯燥的理論知識之餘，還能感受到數學背後的人文情懷，仿佛能看到這些偉大的思想是如何一步步孕育齣來的。比如，在講到優化理論的時候，書中穿插瞭關於牛頓如何研究物理現象的故事，這讓我對抽象的數學模型有瞭更直觀的認識，原來這些復雜的公式背後，隱藏著如此精彩的思考過程。而且，書中的問題設計也非常巧妙，不僅僅是讓你代入公式求解，更側重於引導你去思考問題的本質，如何將實際問題轉化為數學模型，再用數學工具去解決。我常常在讀完一個章節後，會停下來，嘗試著去用學到的知識去解決身邊遇到的一些小問題，雖然不一定能完全解決，但這個思考的過程本身就很有價值。這本書讓我重新認識瞭數學的魅力，它不僅僅是學科，更是一種思維方式。

評分☆☆☆☆☆

老實說，這本書對我來說挑戰真的不小。它所涵蓋的內容非常廣泛，從綫性代數到概率論，再到一些更高級的統計方法，感覺一下子湧來瞭很多新的知識點。我之前對這些領域並沒有太多接觸，所以很多概念都是第一次見到。書裏對定義和定理的闡述非常嚴謹，理論性很強，這對於我來說，有時候會顯得有些晦澀難懂。我特彆希望書中能有更多的實際案例，比如金融、工程、或者生物統計等領域的應用，這樣我就能更清晰地理解這些數學工具在現實世界中的作用，而不是僅僅停留在理論層麵。比如，在講到貝葉斯定理的時候，書裏隻是給齣瞭公式和推導，我花瞭很多時間纔試圖去理解它在數據分析中是如何應用的，如果能有一個實際的例子，比如如何利用曆史數據來預測股票走勢，或者如何根據客戶行為來推薦商品，那樣的話，理解起來就會容易很多。我也嘗試著去查找一些相關的補充材料，但總覺得如果書本本身能做得更完善一些，學習的效率會更高。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事風格非常獨特，它不像傳統的教科書那樣一本正經，而是帶有一種探索和發現的樂趣。作者在講解每一個概念的時候，都像是在和我分享一個有趣的秘密，循循善誘，讓我不自覺地被吸引進去。我特彆欣賞書中那種“先有疑問，再有解答”的教學方式，它不會直接拋齣答案，而是先提齣一個問題，然後一步步引導讀者去思考，去尋找解決問題的路徑。這種方式讓我在學習過程中，不再是被動接受知識，而是主動參與到知識的構建中。我記得有一個章節在講解非綫性方程組的時候，作者先描述瞭一個實際場景，然後問我們如何去求解，而不是直接給齣各種求解算法。這種方式讓我對問題的理解更加深刻，也更能體會到數學工具的強大之處。讀這本書的過程，就像是和一位經驗豐富的導師在交流，他不僅傳授知識，更傳遞一種解決問題的思維方式。

評分☆☆☆☆☆

好書。

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感覺不錯！感覺不錯！

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好書。

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