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苏维宜 著

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• 数学
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• 教材
• 基础数学
• 数学分析
• 线性代数
• 概率论
• 数值分析

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302338208

版次：1

商品编码：11680285

品牌：清华大学

包装：平装

丛书名： 南京大学大理科丛书

开本：16开

出版时间：2015-04-01

用纸：胶版纸

页数：347

内容简介

　　自然科学研究中越来越多地要应用到近代数学知识、方法和工具，很多同学在做论文时感觉自己的数学知识不够用，或者找不到理论工具和方法。《近代应用数学基础》的组合要特点是内容全面，讲解简洁而透彻，可以帮助理科非数学专业高年级学生或者研究生系统了解近代应用数学各主要分支学科的基本概念和典型应用，非常适合自学或作为工具书使用。

目录

第1章集合与集合的运算结构

1.1集合及其运算

1.1.1集合

1.1.2集合的运算

1.1.3集合之间的映射

1.2集合的运算结构

1.2.1群、环、域、线性空间

1.2.2群论初步、几种重要的群

1.2.3子群、积群、商群

习题1

第2章线性空间与线性变换

2.1线性空间

2.1.1线性空间的实例

2.1.2线性空间的基

2.1.3线性空间的子空间、积空间、直和空间、商空间

2.1.4内积空间

2.1.5对偶空间

2.1.6线性空间的结构

2.2线性变换

2.2.1线性算子空间

2.2.2线性算子的共轭算子

2.2.3多重线性代数

习题2

第3章点集拓扑的基本知识

3.1度量空间、赋范线性空间

3.1.1度量空间

3.1.2赋范线性空间

3.2拓扑空间

3.2.1拓扑空间中的一些定义

3.2.2拓扑空间的初步分类

3.3拓扑空间上的连续映射

3.3.1拓扑空间之间的映射、映射的连续性

3.3.2拓扑空间的子空间、积空间、商空间

3.4拓扑空间的重要性质

3.4.1拓扑空间的分离性

3.4.2拓扑空间的连通性

3.4.3拓扑空间的紧性

3.4.4拓扑线性空间

习题3

第4章泛函分析基础

4.1度量空间理论

4.1.1度量空间的完备化

4.1.2度量空间中的紧性

4.1.3Banach空间的基

4.1.4Hilbert空间的直交系与直交展开

4.2算子理论

4.2.1Banach空间上的线性算子

4.2.2有界线性算子的谱理论

4.3线性泛函理论

4.3.1赋范线性空间上的线性泛函

4.3.2Hilbert 空间上的线性泛函

习题4

第5章分布理论

5.1Schwartz空间、Schwartz分布空间

5.1.1Schwartz空间

5.1.2Schwartz分布空间

5.1.3空间E(Rn)、D(Rn)及其分布空间

5.2Lp(R)(1≤p≤2)上的Fourier变换

5.2.1L1(R)上的Fourier变换

5.2.2L2(R)上的Fourier变换

5.2.3Lp(R)(1

5.3Schwartz分布的Fourier变换

5.3.1Schwartz函数的Fourier变换

5.3.2Schwartz分布的Fourier变换

5.3.3具紧致支集的Schwartz分布

5.3.4Schwartz分布的卷积与Fourier变换

5.4小波分析

5.4.1小波变换的引入

5.4.2连续小波变换

5.4.3离散小波变换

5.4.4小波变换应用概述

习题5

第6章流形上的微积分

6.1基本概念

6.1.1微分流形结构

6.1.2余切空间、切空间

6.1.3子流形

6.2外代数

6.2.1(r,s)型张量、(r,s)型张量空间

6.2.2张量代数

6.2.3Grassmann代数

6.3外微分

6.3.1张量丛、矢量丛

6.3.2外微分式的外微分

6.4外微分式的积分

6.4.1光滑流形的定向

6.4.2外微分式在定向光滑流形上的积分

6.4.3Stokes 公式

6.5Riemann 流形、数学科学与现代物理

6.5.1Riemann 流形

6.5.2连络

6.5.3Lie群与活动标架法

6.5.4数学科学与现代物理学

习题6

第7章补充知识

7.1变分方法

7.1.1变分与变分问题

7.1.2变分原理

7.1.3更一般的变分问题

7.2Banach空间中的几个重要定理

7.2.1Stone�瞁eierstrass定理

7.2.2隐映射定理、逆映射定理

7.2.3不动点原理

7.3局部紧群上的Haar积分

习题7

参考文献

前言/序言

　　21世纪飞速发展的科学技术与人类的生产实践，对科技人员的素质、知识与能力提出

　　了新的要求。自然科学、社会科学等各个领域中的从业者，在数学思维水平、数学科学

　　知识、数学应用能力方面所具备的基础，也达到了前所未有的高度。高等数学远远不能满足新的需求，近代数学的思维、概念、理论、方法已经悄然渗透，由高端变为基础，由理论变为现实，由指导性的方向变为科学中的实践。于是，继高等数学之后，一本介绍近代应用数学的教程编写迫在眉睫。

　　近代数学所包含的范围之广，知识面之宽，内容之深，非简单几句话所能概括。为了给自然科学的主体类（如物理学、天文学、化学、计算机科学、地球科学、生命科学等）的学生准备必要的近代数学知识，南京大学在20世纪90年代，首先在基础学科教学强化部开设了继高等数学之后的半年近代数学的课程，但未正式命名，而是作为高等数学的第四个学期而设置的，周学时为5的必修课。其内容涵盖勒贝格积分、微分几何等，使学生受益匪浅。

　　随着教学改革的深入和新世纪的到来，我们把勒贝格积分编写到高等数学教程中，把非数学类学生所需的近代数学知识集中在一起，从2006年开始编写教材，2007年、2009年两次印制成讲义，并在南京大学匡亚明学院开设了为时半年的近代应用数学课程，这就是本书的雏形。对于匡亚明学院的理科强化部、物理、天文类的学生，我们采用边教边修改教学内容的方式，逐步完善而成为目前的书稿。

　　本书的内容安排如下：

　　第1章介绍集合论与近世代数基础。在集合论部分，包括集合的概念、集合的运算与集合的重要性质； 关于近世代数部分，重点放在群的结构上。特别强调如何由已知的群生成新的群（子群、积群、商群），以及这些新生群的运算结构。通过生成新群的思路，显示出近代应用数学的思维方法，这在本课程中是重中之重。

　　第2章是线性空间与线性变换。一方面是高等数学中线性代数的继续，另一方面是近世线性代数所涵盖的一部分数学基础，涉及正交几何与辛几何的结构，这在近代数学、近代物理与天文学中都起着重要作用。此外，从线性算子空间的高度，进一步认识线性空间与线性变换； 从多重线性代数的角度认识张量空间等，都为学生理解与应用近代数学打下坚实的基础。

　　第3章集中介绍点集拓扑知识。集合的拓扑结构与集合的运算结构相平行，共同构成近代数学对集合的重要处理方式，也是近代数学的重要思维方法之一。具有拓扑结构的集合称为拓扑空间。拓扑的概念来自实践，来自欧氏空间，但它高度抽象，不仅蕴含了精致的数学思维，而且成为近代应用数学中必不可少的重要概念之一。这里也要特别强调两点： 一是如何从已知的拓扑空间生成新的空间（子空间、积空间、商空间），这些新生空间的拓扑结构，是读者应当注意的重点； 二是空间上的连续映射与空间的紧性，请读者特别注意它们的意义与作用。

　　第4章是泛函分析基础。近代科学读物中常常见到的度量空间、Banach空间、Hilbert空间等，在本章中不仅给出确切的定义，而且给出它们的重要性质。由于近代数学有高度的抽象性，许多定理与性质的证明都具有清晰的思路与巧妙的方法，这不是我们在近代数学基础中所要强调的。但是对于一些具有代表性的证明，例如度量空间的完备化定理、开映射定理、共鸣定理等，我们仍不惜用较多的篇幅给出，是因为这些证明中包含了丰富的近代数学思想。泛函分析中的算子理论部分，特别是关于算子序列的收敛性，也作了重点介绍。线性泛函部分则详细介绍了共轭空间与共轭算子。

　　第5章是分布理论，包含了Fourier变换的完整内容及其近代的发展——小波变换。从Lp（Rn）（1≤p≤2）的Fourier变换、Schwartz函数的Fourier变换，到Schwartz分布的Fourier变换，详细介绍了它们的定义、性质与关系。Fourier变换在近代科学技术中的作用毋庸置疑。数学家在20世纪中叶为Fourier分析奠定了新的基础 —— 分布理论。从分布理论的高度重新认识Fourier变换，以近代数学的观点与思维对待科学研究的对象，对每一个科学研究者至关重要。希望本章能起到这个作用。

　　第6章是流形上的微积分，重点介绍了光滑流形、余切空间、切空间的引入，流形上的微分与积分的定义及运算，并以三维欧氏空间作为辅助模型，给出各种应用举例。在概念方面，本章具有高度的抽象性，仅从定义去理解，有相当大的难度。因此，本章是本书的难点部分。我们按照数学大师陈省身先生引进微分流形的思路编写了本章的内容，力图使读者从实际的三维空间出发去进行一般情形的抽象。期望读者能领会从特殊到一般、从具体到抽象、从有限到无限、从理论到应用的学习方法，从而体会近代应用数学的真谛。

　　第7章的补充知识，包含了近代应用数学中常用的方法，如变分方法； 常用的定理，如Banach空间中的Stone�瞁eierstrass定理、隐映射定理、逆映射定理、不动点原理； 还有常用的概念，如Haar积分的概念。

　　本书所选用的知识载体跨度较大，几乎包含了非数学类自然科学领域的研究工作所必备的近代应用数学知识。在数年、数次的教学实践中，我们还着力于教学手段的改革，尽力以形象思维启发抽象思维，以几何直观引导分析概念，并辅以启发性的思考题，形成一个既可独立使用的完整课程教材，又可供某些系科参考的辅助教材。

　　本书曾由南京大学数学系孙永忠教授、邱华副教授作为教材使用过，他们都提出了有价值的意见与建议。匡亚明基础学院卢德馨教授、许旺教授以及物理系肖明文教授对本书提出了宝贵意见，于本书的使用、修改起了重要作用。清华大学出版社的石磊副编审对本书编写和出版提出了很好的建议，陈明编辑对书稿进行了细致核校，在此一并致谢。

　　由于作者水平有限，对教学改革的理解还不够深刻，教材改革的思路、取材、编写等方面的不足与错误在所难免，更存在许多不尽如人意之处，敬请专家、同行和读者不吝赐教。

　　作者2015年1月于南京大学

现代概率论：从基础到前沿 作者： 钱乐天、李文博 出版社： 科学出版社 出版时间： 2023年10月 定价： 128.00 元 ISBN： 978-7-03-077588-2 --- 内容简介 本书是一部全面、深入探讨现代概率论核心概念、理论框架及其前沿应用的基础性教材与参考著作。它旨在为数学、物理、信息科学、经济学以及工程技术等领域的本科高年级学生、研究生以及相关研究人员提供一个严谨而富有洞察力的学习路径，使其能够扎实掌握现代概率论的数学基础，并能理解其在复杂系统分析中的强大威力。 本书内容覆盖了概率论的经典公理化体系，并着重强调了现代概率论在测度论基础上的严密构建，同时兼顾了随机过程理论的广阔图景。全书共分三大部分，十四个章节，结构清晰，逻辑严密。 第一部分：概率论的测度论基础与核心概念 (第 1-5 章) 本部分致力于为读者构建理解现代概率论所必需的数学工具箱。不同于仅停留在初等概率空间上的叙述，本书首先以测度论的视角切入，确保读者对概率概念的理解具备最高的数学严谨性。 第 1 章：集合论与测度预备。 详细回顾了拓扑空间、$sigma$-代数、可测集、可测函数等基础概念。重点阐释了勒贝格测度的构造及其性质，为引入概率测度的公理化框架奠定基础。 第 2 章：概率空间与随机变量。 基于测度论，严格定义了概率空间 $(Omega, mathcal{F}, P)$。详细讨论了随机变量的定义、等价定义以及它们的可测性条件。引入了随机向量和函数空间的初步概念。 第 3 章：随机变量的分布与特征函数。 深入探讨了分布函数、密度函数（或概率质量函数）的性质。重点分析了特征函数（Characteristic Function）作为描述随机变量分布的强大工具，证明了其唯一性、极限性质及其与卷积的关系。 第 4 章：期望、条件期望与鞅论的萌芽。 严格定义了勒贝格-斯蒂尔切斯积分在概率论中的体现——期望。详细阐述了可积随机变量的性质。核心章节在于对条件期望的测度论定义，这为后续随机过程的分析提供了核心工具。引入了鞅（Martingale）的初步概念，为理解信息流与最优停止时间问题埋下伏笔。 第 5 章：大数定律与中心极限定理的现代表述。 探讨了强大的大数定律（Strong Law of Large Numbers）和中心极限定理（Central Limit Theorem）在概率论中的各种形式（依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛）。重点分析了随机变量序列收敛的拓扑结构，并引入了更精细的 Berry-Esseen 不等式。 第二部分：随机过程的经典理论与分析 (第 6-10 章) 第二部分将视角从静态的随机变量扩展到动态的随机过程，这是现代概率论最具应用价值的部分。本书聚焦于最经典且应用最广泛的随机过程模型，并结合分析工具进行深入研究。 第 6 章：随机过程的基础概念与分类。 定义了随机过程、样本路径、有限维分布等基本概念。系统分类了连续时间与离散时间过程、状态空间为离散或连续的过程，并引入了适应（Filtration）和可测性的概念。 第 7 章：马尔可夫链（Markov Chains）。 离散时间马尔可夫链是本书重点。详细讨论了转移概率矩阵、Chapman-Kolmogorov 方程、平稳分布、遍历性和可约性。对于不可约链，深入分析了吸收态和回归态的性质，并给出了状态空间为无限的情况下的初步讨论。 第 8 章：连续时间马尔可夫过程与泊松过程。 在连续时间框架下，引入了无穷小生成元和 Kolmogorov 前向/后向微分方程。泊松过程作为最基础的计数过程，被单独列章详细分析其增量独立性、平稳性以及与指数分布的关系，并探讨了复合泊松过程。 第 9 章：布朗运动（Wiener 过程）。 布朗运动是连接概率论与随机分析的桥梁。本书从其增量独立性、正态性、路径连续性、二次变差（Quadratic Variation）等方面进行了详尽的构造与性质分析。重点讨论了布朗运动的极值、停时定理以及其与金融数学的关联。 第 10 章：鞅论的深入应用。 基于第一部分建立的条件期望基础，本章严谨发展了离散时间鞅、次鞅和超鞅的理论。重点证明并应用了 Doob 的上/下确界不等式、鞅收敛定理。随后，本书探讨了停时定理（Optional Stopping Theorem）及其在最优控制和风险度量中的应用。 第三部分：高级主题与前沿交叉 (第 11-14 章) 本部分面向有志于深入研究或希望接触概率论最新进展的读者，引入了随机分析、随机微分方程（SDE）的初步框架，以及统计推断中的概率基础。 第 11 章：随机积分与 Itô 公式。 简要介绍了随机积分（特别是 Itô 积分）的构造思想，并详细推导和应用了著名的 Itô 公式。这为将概率论工具应用于连续时间物理和工程系统提供了强大的微积分工具。 第 12 章：平稳过程与遍历性理论。 探讨了平稳随机过程的定义，包括宽平稳和严平稳。着重介绍遍历定理（Ergodic Theorem），展示了时间平均与概率平均在特定条件下的等价性，这对物理统计和时间序列分析至关重要。 第 13 章：随机过程的极限理论。 讨论了函数空间上的收敛，引入了 Skovhod 拓扑和功能中心极限定理（Functional Central Limit Theorem, FCLT），这是现代时间序列分析和非参数统计中不可或缺的工具。 第 14 章：统计推断的概率视角。 从概率论的角度审视了参数估计与假设检验。讨论了极大似然估计（MLE）的渐近性质（一致性、渐近正态性），并介绍了信息论中的 Kullback-Leibler 散度在统计区分中的作用。 本书特色 1. 测度论的严谨性： 全书以测度论为基石，保证了理论的深度和适用性，避免了传统教材中对极限和积分处理的模糊性。 2. 知识的连贯性： 紧密结合随机过程的演化，从基础的随机变量到复杂的随机微分方程，知识体系层层递进，逻辑链条清晰。 3. 面向应用： 尽管数学基础扎实，但每章均配有丰富的应用实例和习题，涵盖了金融定价、物理模型（如布朗运动）、通信系统（如泊松过程）和统计推断等领域。 4. 习题设计： 包含数百道不同难度的课后习题，其中包含大量的证明题，旨在培养读者独立思考和严谨论证的能力。 本书是构建扎实概率论知识体系的理想选择，为进一步学习随机分析、金融数学、随机控制论和高维统计学打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉就像是一场智力冒险，每次翻开都像是打开了一个新的世界。它不仅仅是数学公式的堆砌，更多的是对问题分析和解决思路的引导。我特别喜欢书里提到的一些历史故事和数学家的趣事，这让我在学习枯燥的理论知识之余，还能感受到数学背后的人文情怀，仿佛能看到这些伟大的思想是如何一步步孕育出来的。比如，在讲到优化理论的时候，书中穿插了关于牛顿如何研究物理现象的故事，这让我对抽象的数学模型有了更直观的认识，原来这些复杂的公式背后，隐藏着如此精彩的思考过程。而且，书中的问题设计也非常巧妙，不仅仅是让你代入公式求解，更侧重于引导你去思考问题的本质，如何将实际问题转化为数学模型，再用数学工具去解决。我常常在读完一个章节后，会停下来，尝试着去用学到的知识去解决身边遇到的一些小问题，虽然不一定能完全解决，但这个思考的过程本身就很有价值。这本书让我重新认识了数学的魅力，它不仅仅是学科，更是一种思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事风格非常独特，它不像传统的教科书那样一本正经，而是带有一种探索和发现的乐趣。作者在讲解每一个概念的时候，都像是在和我分享一个有趣的秘密，循循善诱，让我不自觉地被吸引进去。我特别欣赏书中那种“先有疑问，再有解答”的教学方式，它不会直接抛出答案，而是先提出一个问题，然后一步步引导读者去思考，去寻找解决问题的路径。这种方式让我在学习过程中，不再是被动接受知识，而是主动参与到知识的构建中。我记得有一个章节在讲解非线性方程组的时候，作者先描述了一个实际场景，然后问我们如何去求解，而不是直接给出各种求解算法。这种方式让我对问题的理解更加深刻，也更能体会到数学工具的强大之处。读这本书的过程，就像是和一位经验丰富的导师在交流，他不仅传授知识，更传递一种解决问题的思维方式。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容太深奥了，感觉自己好久没有接触数学了，打开目录就被一大堆符号吓到了。最开始的几章讲的是一些基础概念，比如集合论、逻辑推理这些，我还能勉强跟上。但是，当讲到微积分的时候，我就有点力不从心了。好不容易才搞懂了导数和积分的定义，结果后面又冒出来什么偏导数、重积分，简直是层层递进的打击。我花了很长时间去翻阅前面的一些基础数学教材，想把那些概念重新梳理一遍，但总感觉时间不够用，而且书本里的例子也比较抽象，没有更贴近实际生活的应用场景，让我觉得这些理论离我太遥远了。我尝试着去理解那些公式和推导过程，但很多地方需要反复阅读才能勉强理解其中的逻辑，有时候看一个公式看了半个小时，还是觉得似懂非懂。这本书的排版和字体也让我有些不习惯，感觉有点拥挤，阅读起来不是特别流畅，有时候会因为字体小或者间隔太密而感到眼睛疲劳。我特别希望这本书能有一些图表或者更生动的插画来辅助理解，这样也许能让学习过程变得不那么枯燥。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格相当朴实，不讲花哨的辞藻，直击核心。我喜欢它那种务实的态度，对于每一个数学概念，都力求解释清楚，不含糊。书中对算法的讲解也非常详细，不仅给出了伪代码，还对每一步的逻辑进行了清晰的说明，这对于我这种动手能力比较强的人来说，非常有帮助。我常常在读完一个算法后，就会尝试着去用编程语言实现它，然后用书中的例子去验证。这种实践与理论相结合的学习方式，让我对算法有了更深刻的理解，也更能体会到数学在计算机科学中的重要性。同时，我也注意到书中对于一些复杂概念的讲解，并没有回避其数学上的严谨性，而是尽可能地用简洁明了的语言来表达，虽然有时候需要反复阅读，但最终都能豁然开朗。这本书给我的感觉就像是走进了一个数学的工坊，里面充满了各种工具和材料，等待你去亲手操作，去创造。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书对我来说挑战真的不小。它所涵盖的内容非常广泛，从线性代数到概率论，再到一些更高级的统计方法，感觉一下子涌来了很多新的知识点。我之前对这些领域并没有太多接触，所以很多概念都是第一次见到。书里对定义和定理的阐述非常严谨，理论性很强，这对于我来说，有时候会显得有些晦涩难懂。我特别希望书中能有更多的实际案例，比如金融、工程、或者生物统计等领域的应用，这样我就能更清晰地理解这些数学工具在现实世界中的作用，而不是仅仅停留在理论层面。比如，在讲到贝叶斯定理的时候，书里只是给出了公式和推导，我花了很多时间才试图去理解它在数据分析中是如何应用的，如果能有一个实际的例子，比如如何利用历史数据来预测股票走势，或者如何根据客户行为来推荐商品，那样的话，理解起来就会容易很多。我也尝试着去查找一些相关的补充材料，但总觉得如果书本本身能做得更完善一些，学习的效率会更高。

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好书。

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