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☆☆☆☆☆

杨晓松 著

图书标签:

• 数学控制论
• 控制论
• 数学
• 自动控制
• 系统工程
• 优化理论
• 建模
• 算法
• 现代控制
• 反馈控制

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030336729

版次：1

商品编码：11970784

包装：平装

开本：16开

出版时间：2012-03-01

用纸：胶版纸

页数：156

字数：197000

正文语种：中文

内容简介

　　《数学控制论基础》以有限维线性系统为核心，围绕着系统的可控性和可观测性、系统的稳定性及反馈镇定，以及有界控制和Bang-Bang原理，系统地阐述了控制理论的基本概念和数学理论，并对几何控制理论的要点给出了简洁介绍。
　　《数学控制论基础》不仅具有数学的严谨性和相当的理论深度，也兼顾到控制概念的物理意义和工程背景，因此既适合数学专业高年级本科生及低年级研究生阅读，也适于为加强控制理论数学基础的其他学科的研究生和科技人员阅读。

内页插图

目录

前言

第1章 引言
1．1 什么是数学控制论
1．1．1 什么是控制系统
1．1．2 控制理论的基本要素和数学基础
1．1．3 控制理论与其他学科的比较
1．2 控制理论的历史和发展前景
1．2．1 控制理论诞生前的一点历史
1．2．2 控制理论的诞生
1．2．3 控制理论发展进程
1．2．4 控制理论发展前景
1．3 一个实例
1．4 推荐几本书
1．5 评注

第2章 线性系统的可控性
2．1 线性常微分方程的几个基本事实
2．2 可控性定义与判定：基于Gram矩阵的可控性
2．3 可控性的Kalman秩条件
2．4 时不变系统Kalman秩条件补充讨论
2．5 时不变线性控制系统的若干性质
2．6 控制系统的标准形与Kalman分解
2．7 时变线性控制系统的秩条件
2．8 可达集与Hilbert唯一性方法
2．9 非线性系统局部可控性的线性化判别法
2．10 可控性的例子
2．11 评注
习题

第3章 线性系统的可观测性
3．1 可观测性Gram矩阵
3．2 线性控制系统的对偶原理
3．3 系统可观测的秩条件
3．4 可观测标准型
3．5 不完全可观测系统的标准分解
3．6 反馈对系统可控性与可观测性的影响
3．7 评注
习题

第4章 线性系统的稳定性
4．1 控制系统稳定性的基本概念
4．2 控制系统的内稳定性
4．3 基于Liapunov方法判断控制系统的稳定性
4．3．1 稳定性的一般定义与Liapunov稳定性判别方法
4．3．2 定常线性系统的Liapunov方法
4．4 控制系统输入输出稳定性
4．5 控制系统的可探测性
4．6 评注
习题

第5章 线性系统的镇定性
5．1 线性系统的稳定与镇定
5．1．1 极点配置问题
5．1．2 Gram矩阵与镇定
5．2 控制系统的反馈镇定
5．3 评注
习题

第6章 有界控制和Bang-Bang原理
6．1 有界控制
6．2 Bang-Bang控制
6．3 评注
习题

第7章 几何控制论初步
7．1 非线性控制系统
7．2 可控性与可接近性
7．3 向量场的Lie括号
7．4 仿射系统可控性与可接近性的Lie代数判定
7．5 小车和刚体航天器的可控性
7．6 镇定问题的Brockett定理
7．7 评注
习题

附录 反函数定理
参考文献
显示部分信息

前言/序言

　　随着计算机技术和通信技术的发展和应用，自动控制理论和技术不仅在航天航空、机器人控制、导弹制导及核动力等高新技术领域应用愈来愈深入，而且在生命科学、医学、环境控制、经济管理等其他许多社会生活领域中也有着广泛的应用，从而在相当程度上成为现代社会生活不可或缺的一部分。。可以说，随着科技进步和人们生活水平的提高，在建设高度文明和发达社会的进程中，自动控制理论和技术必将进一步发挥更加重要的作用，一个愿意从事应用数学研究的学生，将自动控制的有关数学理论作为自己的研究领域不失为一个上佳的选择。
　　由于现代科技特别是信息科技的飞速发展，人们日益认识到数学的重要性和丰富性，特别是有了信息数学的说法。控制理论是一门如何运用信息来调节系统f自然系统或人工系统）行为的数学理论，因此是一门名副其实的信息数学，
　　令人有些遗憾的是，虽然国内很多高校数学系为本科生设立了信息与计算专业，但开设的课程大多不包括控制理论，另一方面，当许多数学专业的本科生或硕士生转到控制理论研究领域的时候，要么是控制理论的科学和工程背景不足，要么是数学理论基础不到位，这可能就是为什么学数学出身的控制论研究者大多集中在做系统的稳定性分析的缘故。作者在数学本科生的教学过程中发现一个现象：当学生首次接触控制论的时候，认为这不过是工程技术学科，是工科学生学的，没什么数学含金量；当逐步了解后又觉得其中的数学太多太难，因此作者感觉到有必要为数学专业的学生们介绍一下控制理论，希望让学生们在短时间内知晓控制理论既是应用背景明确的技术理论，也是理论严谨和结论优美的数学理论，
　　《数学控制论基础》这本书就是对此作一个尝试，本书主要讨论的是控制理论最为基础的部分，即线性系统的控制理论。一个想要真正对现代控制理论有透彻了解的人首先应该好好研究一下线性系统的控制理论，从数学角度讲，即使线性控制系统理论也会涉及到数学的许多深刻领域。
　　为了使读者首先对控制理论有个概观性了解，本书先对控制理论的基本概念和控制理论技术的发展历史作了简单阐述，并对控制理论所涉及的数学理论给出了简要说明，然后阐述了线性控制系统的基本理论。线性控制系统的基本理论主要包括系统的可控性、系统的可观测性、系统的稳定性、系统的状态反馈控制和系统的输出反馈控制，鉴于有界控制系统的实际意义很强而数学理论缺乏，与通常的入门书不同，本书还特意介绍了有界控制系统，即输入有界的线性系统的控制理论，为那些欲尽早进入研究领域的读者提供一个有趣的课题，此外，本书最后还开辟一章对非线性系统的几何控制论作一入门介绍，因为该理论不仅自身优美，而且对航天器、机器人以及其他机械系统控制原理的研究非常有用。
　　以作者的经验，如果要对线性系统的控制理论有个首尾一贯的理解，学习者应对常微分方程的基础理论有比较深入的了解。此外，对常微分方程中线性系统的一般解的结构或状态转移矩阵应有透彻的理解，从某种意义上讲，状态转移矩阵的基本理论是线性控制系统理论的基石。
　　本书在写作过程中，熊山山同学帮助整理了书稿，并和宦颂梅同学一起对书稿做了校对，作者对二位同学深表感谢，同时也感谢参加数学控制论讨论班的其他老师和同学。此外，作者还要感谢华中科技大学研究生教改基金对本书的资助。
　　由于作者才疏学浅，又是首次撰写教科书，书中的不足和错误在所难免，读者若能将其中的不足和错误反馈给作者，将不胜感激。

《高级拓扑学在工程应用中的前沿探索》内容简介 本书旨在为研究人员、高级工程师以及希望深入理解现代控制系统数学基础的学者提供一个全面而深入的视角，聚焦于拓扑学、代数几何与现代控制理论的交叉前沿。不同于侧重于经典微分几何或线性代数基础的传统教材，本书将拓扑学——特别是同调论、层论和代数K理论——的抽象概念，系统性地转化为解决复杂非线性动力系统、鲁棒性分析以及系统辨识等工程问题的强大工具。 全书共分为七个章节，结构严谨，由基础理论逐步推向尖端应用。 第一部分：基础理论的拓扑重塑 (第1-2章) 第1章：从度量空间到范畴论：控制系统状态空间的重构 本章首先回顾了经典控制理论中状态空间表示的局限性，随后引入了拓扑空间在描述不确定性和连续性变化中的优势。重点讨论了度量空间、紧致性与连通性如何影响系统解的唯一性和存在性。核心内容在于引入范畴论的基础概念，将控制系统（如线性时不变系统、线性时变系统）视为特定函子作用下的对象。我们深入探讨了李群和齐性空间在描述旋转动力学和对称性系统中的应用，为后续处理复杂流形上的控制问题奠定了严格的数学基础。本章通过具体的例子，展示了拓扑性质如何直接决定了系统的全局稳定性，而非仅仅依赖于平衡点附近的局部分析。 第2章：代数拓扑工具箱：同调与上同调的引入 本章是全书的技术核心之一。我们将经典的拉普拉斯变换和Z变换视为信息在特定拓扑空间上的“积分”过程。随后，系统地介绍了奇异同调理论和德拉姆上同调。重点阐述了如何利用上同调群来捕捉系统内部的“洞”或“环路结构”，这些结构在经典控制理论中常常被线性化处理而忽略。我们将李代数的结构与上同调群联系起来，解释了为什么某些复杂的反馈控制器（如设计具有特定拓扑约束的控制器）能够实现全局反馈线性化。此外，还探讨了截积在描述多变量系统耦合关系中的作用。 第二部分：流形上的控制与稳定性分析 (第3-4章) 第3章：非线性动力系统的几何结构：李群与微分流形 现代控制理论越来越依赖于对非线性系统的几何描述。本章将控制系统的演化方程置于微分流形之上进行研究。详细分析了切丛、向量场以及流的概念。特别关注了李群（如SO(n), SE(3)）在机器人学、姿态控制和导航中的应用。我们阐述了如何使用李括号来判断系统是否可控（即是否能生成流形上的任意点）。本章通过详细的案例分析，展示了Hamilton系统和Lagrange系统在保守系统控制中的拓扑不变性。 第4章：鲁棒性和输入-输出系统的拓扑映射 本章将鲁棒性分析从传统的$mathcal{H}_{infty}$范数扩展到拓扑度量。我们引入了拓扑度理论来分析线性分式变换（LFT）下的系统互联。关键概念包括拓扑度如何衡量输入到输出映射的“绕圈数”，这直接关联到系统的增益裕度和不可避免的性能限制。我们探讨了PetriNet的拓扑结构如何用于建模离散事件系统，并将其与连续系统的反馈结构进行整合。本章的难点在于理解拓扑等价性与系统反馈等价性之间的关系，即一个系统的拓扑结构是否能在反馈作用下保持不变。 第三部分：高级代数工具与系统辨识 (第5-6章) 第5章：代数K理论在模态分析中的应用 本章侧重于代数K理论——一个在代数几何中处理向量丛的工具——如何用于高维系统的模态分析和结构分析。我们不再将系统视为一组微分方程，而是将其视为定义在特定环上的模。重点介绍了代数K群如何量化系统矩阵（如状态矩阵或转移矩阵）的“扭曲”程度，这与系统在特定频率下的共振或衰减模式直接相关。本章提供了如何利用Milnor流形的代数K理论来分析耦合振荡器的全局行为的计算框架。 第6章：层论与系统辨识：局部信息到全局结构的构建 系统辨识的挑战在于从有限的、带有噪声的测量数据中重建系统的全局模型。本章利用层论的概念来解决这个问题。我们将系统状态空间定义为一个拓扑空间 $X$，而观测数据则视为定义在这个空间上的层（Sheaf）。层论提供了一种“粘合”局部一致性信息的严格数学方法，确保了全局模型与所有局部数据点的一致性。我们详细讨论了对偶性理论（如Serre对偶）在确定辨识模型最优复杂度方面的作用，避免了过度参数化。 第四部分：前沿展望与计算方法 (第7章) 第7章：拓扑数据分析（TDA）与控制系统的未来 本章将前六章的理论知识应用于新兴的拓扑数据分析（TDA）领域，特别是持续同调（Persistent Homology）。我们展示了如何使用持续同调来分析大规模传感器网络或高维输入数据的内在拓扑特征，从而发现潜在的控制瓶颈或隐藏的耦合结构，这些结构是传统谱分析难以捕捉的。本章最后对代数几何在构造全局最优控制算法（如模型预测控制的更优可行域估计）中的潜力进行了展望，强调了未来控制科学对纯数学工具依赖性的加深。 全书的写作风格严谨，逻辑链条清晰，通过大量的几何直观解释来辅助复杂的代数概念，旨在使读者能够熟练运用这些高级数学工具，解决当前控制理论中悬而未决的全局性和结构性难题。本书适合具有扎实微积分、线性代数和基础微分方程背景，并希望跨越传统控制学科界限的研究人员和博士研究生。

评分☆☆☆☆☆

当我看到《数学控制论基础》这个书名时，我立刻被它所蕴含的逻辑和力量所吸引。我预想这本书将是一扇通往理解事物内在运作机制的大门，通过数学的语言揭示隐藏在现象背后的规律。我希望它能深入浅出地介绍控制论的核心思想，例如系统辨识、状态估计、反馈控制策略的设计等。我特别期待书中能有关于“鲁棒控制”的内容，即如何设计在系统参数不确定或受到外部干扰时仍能保持良好性能的控制器，这对于实际工程应用至关重要。此外，我也希望书中能涵盖一些信号处理与控制相结合的知识，例如卡尔曼滤波在状态估计中的应用。如果书中还能对离散时间系统和连续时间系统进行详细的比较和分析，并提供相应的数学工具，那将极大地提升其价值。我期望这本书能不仅仅停留在理论层面，而是能够引导读者思考如何在现实世界中应用这些数学模型和控制方法，解决实际问题。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字让我对它充满了期待，我一直对那些能够将复杂系统以简洁、优雅的数学语言描述出来的学科充满好奇。《数学控制论基础》这个书名本身就点明了它的核心——用数学的方法来研究控制论，这不禁让我联想到控制论在工程、生物、经济等诸多领域中的广泛应用。我设想这本书会深入浅出地介绍控制论的基本概念，比如反馈、稳定性、最优控制等等，并通过大量的数学模型和公式来阐释这些概念的内在联系。我特别希望能在这本书中看到一些经典控制理论的推导过程，比如如何通过微分方程来描述动态系统，以及如何设计控制器来实现系统的稳定运行。同时，我也希望作者能分享一些控制论在实际工程问题中的应用案例，比如飞机自动驾驶、机器人运动控制，甚至是经济模型的调控，这样可以帮助我更好地理解理论知识的实际意义。这本书如果能清晰地梳理出控制论的发展脉络，从早期的一些简单模型到现代复杂系统的分析方法，那将是一次非常宝贵的学习经历。我期望它能成为我理解和应用控制论的起点，为我今后深入研究相关领域打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

《数学控制论基础》这个书名，让我眼前浮现出的是一套系统性的、严谨的数学框架，用以理解和操纵各种复杂系统。我猜想书中会从“系统”的定义和分类开始，可能会涉及状态空间表示法、传递函数等核心概念。我特别好奇它如何处理“最优性”问题，例如在给定的约束条件下，如何找到使某个性能指标最小或最大的控制策略，这是否会涉及到变分法或者动态规划。对于一些跨学科的应用，比如在生物系统中，如何用控制论的眼光去理解基因调控网络或者神经信号的传递，如果书中能触及这些方面，那将是非常令人兴奋的。我也期望书中能介绍一些现代控制理论的思想，比如模糊控制、神经网络控制，以及它们在处理非线性、不确定系统时的优势。这本书如果能兼顾理论的深度和应用的多样性，那将是一本极具启发性的读物，能够拓展我对“控制”的认知边界。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到《数学控制论基础》这本书，就被它的厚度和精炼的封面设计所吸引。我平时对一些抽象的理论知识有些畏惧，但控制论这个概念，听起来就充满了“掌控感”，似乎能解释很多我们生活和工作中的“为什么”。我特别关注书中是否会对“控制”这个词进行一个深入的定义，它是不是仅仅指人为主观的干预，还是包含更广泛的意义，比如自然界中的自我调节机制。我希望它能从最基础的数学工具入手，比如集合论、图论，甚至是概率论，来构建起控制论的理论框架。我特别期待书中能够有专门的章节来讲解“系统”的概念，它是如何被建模的，以及不同类型的系统（线性、非线性、离散、连续）有什么样的数学特征。当然，如果书中能穿插一些历史故事，介绍控制论的起源和发展过程中那些伟大的思想家和他们的贡献，那将使阅读过程更加生动有趣。我对那些能将抽象数学概念转化为实际问题解决方案的书籍情有独钟，如果这本书能做到这一点，那它对我来说将是无价之宝，能帮助我看到数学在理解和改造世界中的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开《数学控制论基础》，首先映入眼帘的可能是它严谨的数学符号和公式。我一直认为，真正深刻的理解往往来自于对底层的数学原理的掌握。这本书的名字让我联想到了一系列关于稳定性分析、最优控制、滤波理论等经典控制论内容。我好奇书中会用什么样的数学工具来分析动态系统的行为，例如李雅普诺夫稳定性理论，或者是哈密尔顿-雅可比方程在最优控制中的应用。我特别希望它能详细阐述如何将实际的控制问题转化为数学模型，并且如何根据模型的特性来设计有效的控制器。对于一些初学者来说，理解反馈回路的工作原理可能是一个难点，我希望书中能有清晰的解释和图示，帮助读者理解负反馈如何稳定系统，以及正反馈可能带来的振荡。这本书如果能提供一些经典控制问题（如PID控制器设计）的详细推导和分析，那将非常有价值。我期待它能提供一个扎实的数学基础，让我能够自信地去探索更高级的控制理论和应用。

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