中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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歐陽毅，申伊塃 編

圖書標籤:

• 數學
• 代數學
• 中國科學技術大學
• 數學叢書
• 高等教育
• 教材
• 基礎
• 抽象代數
• 大學教材
• 理論數學

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040459494

版次：1

商品編碼：11979661

包裝：平裝

叢書名： 中國科學技術大學數學叢書

開本：16開

齣版時間：2016-08-01

用紙：膠版紙

頁數：127

字數：160000

正文語種：中文

內容簡介

　　《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》是中國科學技術大學代數係列教材三部麯的**部，是“代數學基礎”課程參考教材。《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》對群、環、域的定義和基本性質，循環群和對稱群（置換群），整數理論，域和整數上的多項式理論等進行介紹，目的是為後續的綫性代數、近世代數和數論（包括數論的應用）等眾多課程提供基礎。《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》在保留中國科學技術大學初等數論課程傳統內容的基礎上，增加瞭復數、韋達定理等高中忽視的內容，強調瞭等價關係這個大學數學教學難點，增加瞭群、環、域的基礎知識特彆是循環群的知識，對綫性代數教學急需的置換的概念進行討論。這樣編寫的目的，首先是讓學生較早接觸到群、環、域等抽象概念，盡早鍛煉學生的抽象思維能力，為後續的近世代數課程降低難度。其次《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》統一使用代數的思想介紹整數和多項式的理論，希望同學們能夠瞭解初等數論不是數學競賽中高不可攀的一道道難題，而是在統一邏輯框架下的優美理論，它不僅在今後數學各方麵學習中有很多用處，而且是數學在實際生活中應用的重要理論基石。
　　《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》可以作為“初等數論”和“近世代數”（或“抽象代數”）課程的參考書籍。《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》適用於高等院校數學和信息安全專業學生，以及其他對代數思想和方法感興趣的學生和學者。

內頁插圖

目錄

第一章 預備知識
1.1 集閤與映射
1.1.1 集閤的定義
1.1.2 集閤的基本運算
1.1.3 一些常用的集閤記號
1.1.4 映射，閤成律和結閤律
1.1.5 等價關係，等價類與分拆
1.2 求和與求積符號
1.3 復數
1.3.1 復數域的定義
1.3.2 復數的幾何意義與復平麵
習題
第二章 初識群、環、域
2.1 群
2.1.1 群的定義和例子
2.1.2 子群與直積
2.2 環與域
2.2.1.定義和例子
2.2.2 環的簡單性質
2.2.3 多項式環
2.3 同態與同構
2.3.1 群的同態與同構
2.3.2 環的同態與同構
習題
第三章 整數理論
3.1 整除
3.1.1 帶餘除法
3.1.2 最大公因子
3.1.3 歐幾裏得算法
3.1.4 最小公倍數
3.2 素數與算術基本定理
習題
第四章 整數的同餘理論
4.1 同餘式
4.2 中國剩餘定理
4.3 歐拉定理和費馬小定理
4.4 模算術和應用
4.4.1 模算術
4.4.2 應用舉例
習題
第五章 域上的多項式環
5.1 整除性理論
5.1.1 最大公因子
5.1.2 不可約多項式和因式分解
5.2 多項式零點和韋達定理
5.3 多項式同餘理論
5.3.1 多項式的同餘
5.3.2 中國剩餘定理
5.3.3 低次多項式的不可約性
習題
第六章 群論基礎
6.1 元素的階和循環群
6.2 拉格朗日定理
6.2.1 陪集錶示
6.2.2 陪集與正規子群
習題
第七章 對稱群
7.1 置換及其錶示
7.2 置換的奇偶性和交錯群
7.2.1 奇置換與偶置換
7.2.2 交錯群
習題
第八章 域Fp上的算術
8.1 乘法群(Z／mZ)x與Fx p的結構
8.1.1 乘法群的結構
8.1.2 原根的計算
8.1.3 高次同餘方程求解
8.2 Fx p的平方元與二次剩餘
8.3 二次互反律的證明和變例
習題
第九章 多項式(II)
9.1 整係數多項式環Z|x|
9.2 多元多項式
習題
參考文獻
索引

前言/序言

　　代數方法和分析方法是數學研究中兩種最基本的方法，也是大學數學專業學生數學教育的重點。中國科學技術大學創校伊始就受到華羅庚、王元、萬哲先、曾肯成等前輩數論和代數大傢的諄諄教導，代數和數論方麵人纔輩齣。20世紀80年代以來，在馮剋勤教授和李尚誌教授等領導下，中國科學技術大學的代數教學水平一直維持在較高水平，培養的代數和數論人纔受到國內外同行高度稱許。科大之所以能夠在代數教學方麵取得較好成果，一方麵原因是學生們受到嚴格的“綫性代數”基礎訓練；另一方麵科大一直堅持為數學係學生開設“初等數論”和“近世代數”基礎課程，並在高年級和研究生階段開設“群錶示論”“交換代數”等課程，並配備有《整數與多項式》（馮剋勤、餘紅兵編著），《近世代數引論》（馮剋勤、李尚誌、查建國、章璞編著），《群與代數錶示論》（馮剋勤、章璞、李尚誌編著）等著名教材。
　　進入新世紀以來，新一代科大學生入學時的數學基礎和20世紀八十、九十年代學生有較大區彆。這裏麵一部分原因是高中新課標和高考指揮棒的影響，大部分學生在高中時代受到題海戰術的錘煉，但獨立探索和抽象思維能力受到壓製。他們更早接觸到微積分的思想，對於高考中齣現的各種題型十分熟練.但在平麵幾何、因式分解和三角函數等方麵的基本訓練遠不如以前，在數學證明和邏輯嚴格性方麵的訓練也不如以前。另一方麵，這一代學生或多或少參加過數學競賽，而其中最體現抽象思維能力的初等數論問題常常是他們最頭疼的問題之一。當同學們在大一開始接觸“初等數論”課程時，上述兩方麵的原因就讓同學們對於課程學習産生畏難情緒。到大二開始學習“近世代數”課程時，撲麵而來的抽象代數思想，特彆是群論思想和方法更讓不少學生感到無所適從。因此科大的代數教學在前些年受到比較嚴重的挑戰。另一方麵，我們的教材沒有及時體現新時期學生的最新情況，需要得到及時更新。從教學本身來看，通過多年教學和科研實踐，我們發現各代數課程之間的銜接以及對應教材之間銜接不是特彆流暢（各數學核心課程的銜接亦是如此），在統一的框架下對代數課程教學和教材建設進行規劃成為必要。
　　2011年，在編者的組織下，數學科學學院全體教授對於代數係列課程的教學大綱和教學內容進行瞭熱烈討論，《代數係列課程綱要》數易其稿，最終得到通過。我們對代數方麵涉及的6門課程進行全麵改革和優化。原來的“初等數論”課程由“代數學基礎”課程替代，與“近世代數”“代數學”一起構成代數教學三門核心課程。它們由淺入深，目標是為數學學院學生奠定紮實的代數基礎。基於課程改革的需要，我們當即著手對應的教材建設，計劃在原來教材的基礎上編寫代數學三部係列教材：《代數學I代數學基礎》，《代數學II近世代數》和《代數學III代數學進階》。
　　本書即是代數學係列教材三部麯的第一部。我們在馮剋勤教授和餘紅兵教授編著的教材《整數與多項式》基礎上，參照Artin，Lang，Hungerford，Dummit-Foote等著名英文教材，對群、環、域的定義和基本性質，循環群和對稱群，整數理論，多項式理論等進行介紹，目的是為後續的綫性代數，近世代數和數論（包括數論的應用）等眾多課程提供基礎。我們在保留原來初等數論課程整數理論和多項式理論的基礎上，增加瞭復數、韋達定理等高中忽視的內容，強調瞭等價關係這個大學數學教學難點，增加瞭群.環、域的基礎知識特彆是循環群的知識，對綫性代數教學急需的置換的概念進行討論。這樣編寫的目的，首先是讓學生較早接觸到群、環、域等抽象概念，盡早鍛煉學生的抽象思維能力，為後續的近世代數課程降低難度。其次我們統一使用代數的思想介紹整數和多項式的理論，希望同學們能夠瞭解初等數論不是數學競賽中高不可攀的一道道難題，而是在統一邏輯框架下的優美理論，它不僅在今後數學各方麵學習中有很多用處，而且是數學在實際生活中應用的重要理論基石。這也是我們將《初等數論》改名為《代數學基礎》的原因。
　　本書分為九章。第一章為預備知識，總結瞭集閤和映射等概念，特彆對等價關係進行詳細闡述，介紹瞭復數的基本性質，以及求和與求積符號等內容。此章內容實為數學各學科之基礎，在此一並給齣，應屬必要。第二章引入瞭群、環、域的概念，包括同態、同構、正規子群和理想等概念，給齣例子和簡單性質。第三章和第四章是整數整除和同餘理論的學習，包括算術基本定理和歐幾裏得算法，剩餘類環的構造以及歐拉定理、費馬小定理和中國剩餘定理等著名定理。第五章則是域上多項式環的介紹，這裏大部分結果是整數環理論的平行結果，另外則是多項式零點研究，並給齣瞭根與係數關係的韋達定理。第六章是群論基礎，介紹瞭元素的階，循環群的基本性質，陪集和群論拉格朗日定理。第七章是對置換和對稱群的介紹，包括置換奇偶性和交錯群。第八章則是對元有限域乘法群的學習，包括原根和二次剩餘的概念，以及二次互反律的證明。最後一章我們迴到對多項式的學習，介紹瞭整係數多項式和對稱多項式的性質。

好的，這是一份針對“中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎”之外的其他數學書籍的詳細簡介，力求內容詳實、自然流暢，不包含原書信息。 --- 書籍名稱：《拓撲學導論：從點集到流形》 叢書係列： 高等數學核心教材係列 作者： 李文華，張誌明 齣版社： 華夏高等教育齣版社 頁碼/字數： 680頁 / 約110萬字 裝幀形式： 精裝，雙色印刷 目標讀者： 數學專業本科高年級學生、研究生，以及對幾何和空間結構有濃厚興趣的理工科研究人員。 --- 內容概述與核心價值 《拓撲學導論：從點集到流形》旨在係統、深入地介紹現代拓撲學的基本概念、核心理論及其在數學其他分支中的應用。本書超越瞭傳統微積分課程中對幾何的直觀理解，將讀者引入一個更加抽象、嚴謹的數學結構世界，即研究空間在連續形變下保持不變的性質。 本書的結構設計遵循“由淺入深，由具體到抽象”的原則，共分為四個主要部分，構建瞭一個完整的拓撲學學習路徑。 第一部分：點集拓撲的基石 (Foundations of Point-Set Topology) 本部分是全書的邏輯起點，著重於建立必要的分析基礎和嚴格的集閤論語言。 預備知識迴顧與強化： 詳細迴顧瞭集閤論、函數、序關係、構造 $mathbb{R}^n$ 空間的必要分析背景。 拓撲空間的定義與基本概念： 引入拓撲空間（Topology Space）的嚴格定義，重點探討開集、閉集、鄰域、基與 $sigma$-基的概念。這部分詳盡地分析瞭不同拓撲（如子空間拓撲、乘積拓撲、商拓撲）的構造方法及其性質。 連續性與同胚： 深入討論拓撲空間之間的連續映射，並嚴格定義瞭同胚（Homeomorphism），這是拓撲學研究的核心等價關係。通過大量實例說明拓撲性質的保持與改變。 分離公理與緊緻性： 詳細講解分離公理（如 $T_1, T_2$ 郝斯多夫空間）的重要性，並對緊緻性（Compactness）進行全麵闡述。特彆對比瞭有限開覆蓋定義和序列緊緻性的等價性，並引入緊緻集的推廣——局部緊緻性。 連通性與分離： 探討連通空間（Connected Space）的性質，包括路徑連通性。通過實例展示如何利用連通性證明某些拓撲屬性的不可同胚性。 第二部分：代數拓撲的初步接觸：基本群 (Introduction to Algebraic Topology: The Fundamental Group) 在建立瞭堅實的點集拓撲基礎後，本書引入代數工具來區分不同的拓撲空間，標誌著從描述性拓撲嚮計算性拓撲的過渡。 路徑與同倫： 嚴格定義路徑、路徑群以及映射的同倫概念。這是理解基本群的物理直覺來源。 基本群的構造與性質： 詳細介紹如何從一個基點構造基本群 $pi_1(X, x_0)$，證明其作為群的結構，並展示其對空間進行分類的能力。 覆蓋空間理論簡介： 作為基本群理論的重要應用，本章簡要介紹瞭覆蓋空間的定義，並探討瞭基本群與覆蓋空間之間的深刻聯係（如提升定理）。 第三部分：更高級的拓撲結構：流形理論 (Advanced Topics: Manifold Theory) 第三部分將焦點從抽象空間轉嚮具有局部歐幾裏得性質的空間——微分流形，為後續的微分幾何和微分拓撲學打下基礎。 $n$ 維流形的定義： 明確定義拓撲流形，包括圖冊、坐標卡、轉移函數等概念。 嵌入與切空間初步： 討論流形之間的連續映射和光滑映射，並初步引入切空間（Tangent Space）的概念，為後續的微分結構做鋪墊，而不涉及復雜的微分形式計算。 麯麵（2-流形）的分類： 集中分析二維可定嚮流形的分類定理，包括虧格、連通分支數和邊界的代數拓撲意義。 第四部分：應用與拓展 (Applications and Extensions) 本部分旨在展示拓撲學的普適性和其實際應用價值。 函數空間與捲積： 探討函數空間（如連續函數空間 $C(X)$）上的拓撲結構，並引入緊開收斂等重要概念。 應用實例： 結閤實際問題，展示拓撲學在網絡分析、數據降維（拓撲數據分析 TDA 的理論前身）中的應用潛力。 本書的教學特色 1. 嚴謹性與啓發性的平衡： 本書在保持數學高度嚴謹性的同時，通過大量的幾何直覺和圖示來輔助理解復雜的抽象概念，避免瞭純粹形式主義帶來的晦澀感。 2. 豐富的習題體係： 每章末尾配備瞭分層練習題，包括基礎鞏固題、證明題和開放性探究題，幫助讀者深入消化理論。 3. 曆史背景與現代視野： 穿插瞭拓撲學發展史上的關鍵人物和思想，使學習過程更具人文色彩，並引導讀者關注現代拓撲學的前沿方嚮。 本書力求成為一本經典的、能夠幫助學習者建立起完備拓撲學知識體係的權威教材。閱讀本書後，讀者將能夠熟練運用拓撲學的語言和工具，為深入研究代數拓撲、微分幾何或幾何分析打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的齣現，對我來說簡直是及時雨。我是一名大二的數學專業學生，最近正在學習抽象代數這門課程，感覺非常吃力。我們老師講課總是有點快，而且課本的例題又少，很多概念都模模糊糊的，我總是抓不住重點。偶然的機會，我聽師兄推薦瞭這本《中國科學技術大學數學叢書 代數學1：代數學基礎》，說這本書寫得非常清晰透徹，適閤入門。拿到手後，我迫不及待地翻閱瞭一下，果然名不虛傳！書中的概念講解非常詳細，而且循序漸進，從最簡單的群論入手，然後逐步引申到環和域，每一步都解釋得非常到位。我尤其喜歡書中的一些例子，它們都非常貼閤概念，而且難度適中，能夠幫助我更好地理解抽象的定義。我還注意到書中還穿插瞭一些曆史背景的介紹，這讓我覺得學習過程更加生動有趣，而不是枯燥的符號推導。我計劃接下來的時間，會把這本書當作我學習抽象代數的主要參考書，希望能通過它，徹底打通我在這門課上的所有難點，並且能夠真正領會到代數學的美妙之處。

評分☆☆☆☆☆

這本《代數學1：代數學基礎》簡直是我期待已久的寶藏！我是一名對數學充滿好奇心的自學者，一直想係統地學習代數學，但市麵上很多書籍要麼太過於理論化，要麼太過於應用導嚮，總感覺缺少一本能夠讓我從零開始，一步步構建起代數思維的書。《代數學1》恰好彌補瞭這一空白。書的開篇就以一種非常友好的方式介紹瞭群的概念，從一些簡單的例子入手，讓我這個初學者也能夠迅速進入狀態。作者的語言非常生動，而且沒有過多的專業術語堆砌，即使是抽象的概念，也能被講解得通俗易懂。我特彆喜歡書中的一些“思考題”，它們不會直接給齣答案，而是引導你去思考，去探索，這極大地激發瞭我的學習主動性。雖然我還沒能完全掌握書中的所有內容，但已經能感受到這本書的深度和廣度，它為我打開瞭一扇新的數學大門。我計劃花更多的時間來鑽研這本書，希望能夠真正理解代數學的精髓，並且能夠將所學知識應用到我感興趣的數學領域。

評分☆☆☆☆☆

終於拿到這本《代數學1：代數學基礎》瞭，自從在網上看到它的介紹，就一直心癢癢，想著什麼時候能捧在手裏好好研究一下。這本書雖然厚重，但翻開來，那種知識的厚度和嚴謹的結構立刻就吸引住瞭我。我主要是在學完一些基礎的微積分和綫性代數後，想進一步深入理解數學的內在邏輯，感受那種從基本概念齣發，一步步構建起宏大理論體係的魅力。《代數學1》正是滿足瞭我這個需求，它從最根本的群、環、域這些概念講起，娓娓道來，一點點揭示它們之間的聯係和深刻的性質。雖然我還沒來得及深入啃讀每一頁，但初步瀏覽下來，就感覺作者在這本書裏傾注瞭大量的心血，無論是概念的引入，還是例題的選取，都顯得十分用心。我尤其期待後麵的章節，希望能看到更多關於同態、同構，以及不同代數結構之間的轉換和聯係的精彩闡述。這本書的裝幀也很精美，紙張的質感和印刷的清晰度都堪稱上乘，拿在手裏就有一種想要認真學習的衝動。我相信，通過這本書的學習，我的數學思維一定會得到極大的提升，對代數學的理解也會更加深入和全麵。

評分☆☆☆☆☆

作為一名已經工作多年的科研人員，我一直對數學有著濃厚的興趣，但礙於工作繁忙，一直沒有機會係統地學習。近來，我開始重新拾起數學學習，希望能夠鞏固和拓展我的知識麵。在眾多數學書籍中，《代數學1：代數學基礎》這本書吸引瞭我。它不僅是國內知名高校的教材，更重要的是，其內容涵蓋瞭代數學的基礎理論，這正是我所需要的。我花瞭些時間瀏覽瞭目錄和部分章節，發現書中對群、環、域等基本概念的闡述非常嚴謹，而且邏輯清晰，易於理解。與我過去接觸的一些國外教材相比，這本書在語言的錶達上更加貼閤國內讀者的習慣，減少瞭翻譯帶來的理解障礙。我特彆欣賞書中所包含的豐富的習題，這些習題不僅能夠檢驗學習效果，更能引導讀者進行更深入的思考。我相信，通過這本書的學習，我能夠重新構建起紮實的代數基礎，為我未來的科研工作提供更堅實的理論支撐。這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的老師，引領我進入代數學的殿堂。

評分☆☆☆☆☆

收到《代數學1：代數學基礎》這本書，我感到非常驚喜。這本書的編排和內容讓我眼前一亮。作為一名喜歡鑽研數學細節的學習者，我一直在尋找一本既有深度又不失清晰度的代數入門讀物。這本書給我的感覺就是這樣，它在概念的定義上非常嚴謹，絲毫沒有含糊之處，但同時，作者又善於通過精妙的例證來輔助理解，這使得抽象的理論變得生動起來。我翻閱瞭關於“環”的章節，發現書中對理想、商環等概念的闡述非常到位，並且通過大量的例子展現瞭這些概念在不同數學結構中的具體錶現。我特彆欣賞書中對於定理證明的詳細過程，這讓我能夠跟隨著作者的思路，一步步理解證明的邏輯和技巧。這本書的排版也非常舒適，字體大小適中，段落清晰，閱讀起來非常享受。我已經迫不及待地想要繼續深入閱讀下去，相信這本書一定能幫助我建立起對代數學的堅實理解，並且為我今後的學習和研究打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

非常好的教材，適閤數學係的學生讀一下。

評分☆☆☆☆☆

代數學檢察院，新版的，中國科學技術大學編的，很好用

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非常好的教材，適閤數學係的學生讀一下。

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