现代数学基础丛书·典藏版10：测度论基础 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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朱成熹 著

图书标签:

• 数学
• 测度论
• 实分析
• 高等教育
• 教材
• 基础
• 典藏版
• 现代数学基础
• 数学分析
• 概率论

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030024183

版次：1

商品编码：12063419

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书·典藏版

开本：16开

出版时间：1981-11-01

用纸：胶版纸

页数：218

字数：183000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书·典藏版10：测度论基础》是概率统计专门化以及有关专业的基础读物。内容包括测度论的一些基础知识，特别是概率论、数理统计所常用的测度论基础知识，只要了解数学分析与实变函数论的知识就能阅读《现代数学基础丛书·典藏版10：测度论基础》。第1章榘和类；第二章σ域上测度的构造；第三章可测函数；第四章积分：第五章乘积测度空间：第六章广义测度，每章后都附确习题，以帮助理解《现代数学基础丛书·典藏版10：测度论基础》内容。
　　《现代数学基础丛书·典藏版10：测度论基础》读名对象为高等学校数学系高年级师生以技有关专业科技工作者。

内页插图

目录

前言/序言

　　随着科学技术的发展，研究随机现象的概率论、随机过程论、数理统计和信息论等学科日益深入到各个科学领域。柯尔莫哥罗夫公理系的提出使得测度论成为概率论和数理统计严格的理论基础。因此，不少高等院校都把测度论作为概率统计专门化的基础课列入教学计划。本书是在作者为南开大学数学系概率论专门化所写的“测度论”讲稿的基础上，逐步修改而成的，在选材上，既考虑到关于测度论方面的基础内容，更主要的是吸收了有关概率论，过程论，数理统计等方面所常用的测度论基础知识，同时为了自学的方便，本书力图简明易懂，自成体系，只要有高等数学和实变函数论的一些基本知识就能阅读。
　　我要向在编写本书过程中给我许多指导和帮助的王梓坤教授表示感谢，我还要感谢刘文、魏文元、欧阳克智和王文豪等同志，池们对本书的内容提供了宝贵的意见，由于作者水平有限，书中一定还存在缺点和错误，恳请批评指正。

现代数学基础丛书·典藏版（除《测度论基础》外）图书简介 现代数学的宏伟殿堂：探索抽象与严谨的基石 “现代数学基础丛书·典藏版”旨在为求知者提供一套全面、深入且严谨的现代数学核心知识体系。本丛书汇集了20世纪以来数学发展中最具影响力和基础性的分支，它们如同支撑起整个现代数学大厦的坚固梁柱，是深入研究高等数学、理论物理、计算机科学乃至经济学等交叉学科的必备读物。本典藏版不仅是对经典理论的忠实呈现，更是对数学思维方式、逻辑构建与抽象表达能力的深刻训练。 以下是本丛书中其他各卷的详细介绍，它们共同构成了理解现代数学核心概念的完整蓝图。 --- 第一卷：集合论与逻辑基础（Foundation of Set Theory and Logic） 内容聚焦：现代数学的语言与起点 本卷是整个数学大厦的逻辑基石。它系统地介绍了现代集合论的公理化结构，以ZFC（策梅洛-弗兰克尔集合论连同选择公理）为核心，深入探讨了集合、关系、函数等基本概念的严格定义。 核心章节涵盖： 1. 朴素集合论的局限与公理化思想： 从朴素集合论的悖论出发，引出公理化系统的必要性，详细阐述了外延公理、空集公理、配对公理、并集公理、幂集公理、分离公理、替换公理、无穷公理以及选择公理（AC）。 2. 序数与基数理论： 严格定义了良序集、序数（Ordinal Numbers）的概念及其运算。重点阐述了冯·诺依曼序数的构造，并在此基础上建立基数（Cardinal Numbers）理论，介绍康托尔定理、算术运算以及良序定理与选择公理的等价性。 3. 模型论与可定义性： 引入数理逻辑的基本概念，探讨一阶语言、模型以及哥德尔完备性定理的初步思想，为理解数学对象的内部结构和外部描述打下基础。 4. 选择公理的威力与争议： 深入分析了选择公理在数学各个分支（如代数、拓扑学）中的关键作用，例如哈恩-巴拿赫定理、Tychonoff定理的证明。 本书特色： 强调从最基础的公理出发，推导出复杂数学对象的构造过程，培养读者对数学严谨性的直觉和能力。 --- 第二卷：拓扑学导论（Introduction to Topology） 内容聚焦：空间、连续性与形变的不变性质 拓扑学，常被称为“橡皮几何学”，研究的是在连续变形（拉伸、弯曲而不撕裂）下保持不变的空间性质。本卷是连接几何学与分析学的桥梁。 核心章节涵盖： 1. 拓扑空间的定义与例子： 建立在集合上的一组开集族，引出拓扑空间的基本定义。详细考察了特定拓扑（如有限补拓扑、子空间拓扑、商拓扑）和特定空间（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的标准拓扑）。 2. 连续性与同胚： 严格定义连续函数、开闭集的对应关系，并引入同胚（Homeomorphism）的概念，这是拓扑学中“相等”的判断标准。 3. 分离公理与完备性： 深入探讨 $T_1, T_2$（Hausdorff）、正则性、正则化性（Regularity）等分离公理，以及完备空间（Complete Metric Spaces）的概念，特别是Baire纲定理的应用。 4. 紧致性与连通性： 阐述紧致性（Compactness）的开复盖定义及其在度量空间中的等价描述（列紧性）。讨论连通性（Connectedness）及其在区间、树形图中的体现，以及路径连通性。 5. 基本群导引： 作为代数拓扑的开端，本卷介绍路径、凸集的概念，并初步引入基本群（Fundamental Group）以区分拓扑空间的不同“洞”或“环绕结构”。 本书特色： 几何直观与代数处理的完美结合，引导读者学会从“局部性质”推导“整体结构”。 --- 第三卷：抽象代数I：群论（Abstract Algebra I: Group Theory） 内容聚焦：对称性、结构与变换的数学描述 群论是现代代数的核心，它描述了对象在某种运算下保持不变的结构和对称性。这是理解对称性在物理、化学和密码学中应用的基础。 核心章节涵盖： 1. 群的基本概念与例子： 给出群的四大公理（封闭性、结合律、单位元、逆元），并分析各种重要的群（如整数加法群、一般线性群 $GL_n(mathbb{R})$、二面体群 $D_n$、对称群 $S_n$）。 2. 子群与陪集： 学习如何从一个群中提取更小的、结构一致的部分。引入拉格朗日定理，这是有限群理论的基石。 3. 正规子群与商群： 阐述正规子群的构造性定义，及其导出商群（Factor Group）的结构，这是代数同态定理的先决条件。 4. 同态与同构： 详细讨论群之间的映射——同态、满同态、单同态和同构，并给出著名的同态基本定理。 5. 群的作用与Sylow定理： 探讨群作用于集合上，分析轨道（Orbit）和稳定子（Stabilizer）。Sylow定理作为有限群分类的核心工具，将被细致推导和应用。 本书特色： 以严格的构造性方法，揭示了从初等代数（如解方程）中抽象出的最本质的结构规律。 --- 第四卷：抽象代数II：环与域（Abstract Algebra II: Rings and Fields） 内容聚焦：代数运算的扩展与方程求解的理论 本卷将研究的对象从只有一种运算的群扩展到具有加法和乘法两种运算的结构——环（Ring）。这是深入理解多项式、数系扩张以及伽罗瓦理论的必经之路。 核心章节涵盖： 1. 环的定义与基本性质： 引入交换环、单位环、整环（Integral Domain）和域（Field）的层次结构。分析理想（Ideal）的概念，它是环中的“子群”推广。 2. 同态与商环： 对应群论，研究环之间的映射，特别是环同态定理。重点分析由理想生成的商环结构。 3. 整环的特殊结构： 深入研究主理想整环（PID）、欧几里得整环（ED）和唯一因子域（UFD）之间的关系和相互推导，例如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$ 的性质。 4. 域论基础： 重点关注域的扩张（Field Extensions），如代数扩张和超越扩张。 5. 伽罗瓦理论导引： 介绍伽罗瓦群的概念，并展示如何利用群论的工具来解决经典难题，如五次及以上方程不可用根式求解的问题。 本书特色： 展示了如何用群论的工具来分析更复杂的代数结构，特别是域扩张，为现代密码学和数论打下坚实基础。 --- 第五卷：实分析（Real Analysis） 内容聚焦：微积分的严格化与极限的精确控制 实分析是连接初等微积分与更高级分析分支（如泛函分析、测度论）的桥梁。它要求对极限、连续性、收敛性进行最严格的 $epsilon-delta$ 论证。 核心章节涵盖： 1. 实数系的构造与性质： 从有理数出发，利用戴德金截或柯西序列构造实数集 $mathbb{R}$，并证明其完备性（即任意柯西序列收敛）。 2. 序列与级数的收敛性： 严格定义序列收敛、柯西序列，引入上极限和下极限。对正项级数、交错级数进行收敛性判定。 3. 连续函数的深入性质： 重新定义连续性，证明初等微积分中的关键定理，如介值定理、极值定理，并引入一致连续性。 4. 微分学基础： 严格定义导数，推导中值定理（Rolle, Lagrange, Cauchy），并讨论导函数的性质（导函数不一定连续）。 5. 黎曼积分的理论： 定义黎曼可积性，证明有界函数在闭区间上可积的充要条件（几乎处处连续），并分析积分的性质和微积分基本定理的严谨证明。 本书特色： 强调“为什么”而非仅仅“如何做”。通过对每一个极限和每一个收敛性的精确定义，重塑读者对微积分的理解。 --- 第六卷：泛函分析导论（Introduction to Functional Analysis） 内容聚焦：无限维向量空间上的分析与应用 泛函分析研究无穷维向量空间（如函数空间）上的线性算子和度量结构，是量子力学、偏微分方程和信息论的数学骨架。 核心章节涵盖： 1. 拓扑向量空间： 在向量空间结构上叠加拓扑结构，重点研究赋范向量空间（Normed Vector Spaces）。 2. 巴拿赫空间（Banach Spaces）： 完备的赋范向量空间。详细分析 $ell^p$ 空间和连续函数空间 $C[a,b]$ 的结构。 3. 线性算子的研究： 研究定义在巴拿赫空间之间的有界线性算子，引入算子范数，并证明巴拿赫-斯坦豪斯定理（均匀有界性原理）。 4. 对偶空间与有界线性泛函： 讨论向量空间的对偶空间。核心定理为Hahn-Banach扩展定理，该定理是泛函分析中最重要的分离定理之一。 5. 希尔伯特空间（Hilbert Spaces）： 具有内积的巴拿赫空间。研究正交性、投影定理，并介绍傅立叶分析在希尔伯特空间中的推广。 本书特色： 将线性代数的有限维直觉推广到无穷维的、更具挑战性的函数空间中，为处理偏微分方程的解空间提供了强大的分析工具。 --- 第七卷：常微分方程（Ordinary Differential Equations） 内容聚焦：描述动态系统的数学语言与解的存在性 本卷专注于描述随时间演化或空间变化的系统的核心工具——常微分方程的理论解法与定性分析。 核心章节涵盖： 1. 初值问题的基本理论： 引入一阶和高阶ODE，重点研究线性常系数方程的求解技巧。 2. 皮卡-林德勒夫存在性与唯一性定理： 在局部条件下，严格证明解的存在性和唯一性，这是所有ODE理论分析的起点。 3. 线性系统的分析： 将高阶方程转化为一阶组，使用矩阵指数和特征值方法求解线性常系数系统。 4. 稳定性分析： 引入相平面分析，讨论自治系统（Autonomous Systems）的奇点类型（结点、鞍点、焦点、中心），并使用李雅普诺夫函数进行稳定性判断。 5. 摄动理论导引： 初步探讨奇异摄动法和多尺度分析的思想，为理解实际物理问题中微小参数的影响提供初步框架。 本书特色： 强调从实际问题（如振动、增长、衰减）中抽象出数学模型，并将理论分析与数值计算思想相结合。 --- 第八卷：概率论与随机过程（Probability Theory and Stochastic Processes） 内容聚焦：不确定性下的数学量化与建模 本卷是建立在测度论基础之上（但可独立阅读并侧重于经典概率论），旨在为处理随机现象提供严谨的数学框架。 核心章节涵盖： 1. 概率公理与随机变量： 建立在 $sigma$-代数和概率测度之上的概率空间定义。引入随机变量的定义及其分布函数。 2. 期望、方差与特征函数： 严格定义期望（作为勒贝格积分），探讨随机变量的独立性，并利用特征函数来研究收敛性。 3. 大数定律与中心极限定理： 阐述弱大数定律和强大数定律，特别是中心极限定理的多种形式，这是统计推断的理论核心。 4. 随机过程导论： 介绍马尔可夫链（离散和连续时间）、泊松过程等基本随机模型。 5. 鞅论基础： 介绍鞅、超鞅、次鞅的概念，它们在金融数学和最优控制中扮演关键角色。 本书特色： 严格化了统计学中的直觉概念，为金融工程、风险评估和复杂系统建模提供了必要的数学严谨性。 --- 第九卷：偏微分方程（Partial Differential Equations） 内容聚焦：描述空间-时间演化的物理定律 偏微分方程是描述物理场（如热流、电磁场、流体运动）空间和时间依赖性的核心工具。本卷侧重于经典三大方程的理论解法。 核心章节涵盖： 1. 基本方程分类与物理背景： 介绍椭圆型（静力学/稳态）、抛物线型（扩散/热传导）和双曲型（波动）方程。 2. 热方程（抛物线型）： 详细推导热核（Fundamental Solution），应用傅立叶变换求解初值问题。 3. 波动方程（双曲型）： 分析达朗贝尔公式，理解波的传播特性，及其对初始条件和边界条件的依赖性。 4. 拉普拉斯方程（椭圆型）： 讨论势场问题，引入调和函数，并证明最大值原理。 5. 弱解的概念： 意识到经典解的局限性，引入基于测试函数和能量积分的弱解概念，为使用泛函分析方法求解奠定基础。 本书特色： 展示了如何将傅立叶分析、拉普拉斯变换等工具应用于多变量函数的微分方程求解，是理论物理和工程科学的必备手册。 --- 第十一卷：高等微积分与微分几何基础（Advanced Calculus and Fundamentals of Differential Geometry） 内容聚焦：多变量微积分的几何化与空间曲率的研究 本卷将实分析中的理论提升到多维空间，并引入微分几何的基本概念，研究曲线和曲面的内在几何性质。 核心章节涵盖： 1. 多变量函数的微分： 推广到 $mathbb{R}^n$，定义偏导数、方向导数、梯度，并严格证明多变量函数的微分概念。 2. 隐函数定理与反函数定理： 这些是处理方程组解集局部性质的强大工具，是拓扑学和代数几何的桥梁。 3. 多重积分与变量替换： 深入理解雅可比行列式在多维积分变换中的作用。 4. 微分形式与广义斯托克斯定理： 引入微分形式（0-形式、1-形式、2-形式等）的概念，这是推广格林、斯托克斯和高斯定理的现代方法。 5. 曲线与曲面的初步几何： 考察曲线的弧长、曲率和挠率。对曲面引入第一、第二基本形式，计算曲面的高斯曲率和平均曲率。 本书特色： 实现了从向量分析到微分几何的平滑过渡，揭示了微积分在更高维空间中的几何内涵。 --- 本丛书的整体价值： “现代数学基础丛书·典藏版”的每一卷都秉承了严谨性、系统性和深刻性的原则。它们不仅是学生和研究人员的参考书，更是对现代数学思维体系的深度浸润。通过对这些核心领域的学习，读者将构建起一个坚实、互联的数学知识网络，有能力去探索更前沿的数学研究课题。

评分☆☆☆☆☆

我一直觉得，数学的美在于它的逻辑性和严谨性，而测度论正是体现这种美的一个绝佳领域。这本《测度论基础》从书名上看，就给人一种非常扎实、系统化的感觉。我希望书中在讲解过程中，能够循序渐进，避免一开始就抛出过于复杂的概念，而是能够通过一些经典的例子，逐步引导读者进入测度论的世界。我特别期待书中能够深入探讨各种重要的测度类，比如Lebesgue测度、Borel测度等等，以及它们之间的关系。同时，我也希望作者能够注重数学史的穿插，比如某个概念是如何被发现和发展的，这样不仅能增加阅读的趣味性，也能帮助我们更好地理解数学思想的演进。

评分☆☆☆☆☆

这次收到的《测度论基础》确实是一本值得细细品味的著作。我一直认为，对于数学学习者而言，拥有一套高质量的参考书至关重要，而这套“现代数学基础丛书·典藏版”无疑达到了这个标准。这本书的语言风格我还没有完全体会，但从其“基础丛书”的定位来看，我猜测它在内容的取舍上会非常谨慎，力求为读者打下最扎实的根基。我希望书中在介绍一些关键定理时，能够给出行之有效的证明思路，而不是简单地罗列公式。例如，勒贝格积分的构建过程，以及它与黎曼积分的根本区别，这都是我一直想要深入理解的。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本《测度论基础》，第一感觉就是它的装帧设计非常出色，典藏版的质感确实与众不同，捧在手里就有一种安心感。我一直对数学理论的构建过程很感兴趣，尤其是那些看似抽象但却支撑着整个学科大厦的概念。测度论便是如此，从最初的集合论基础，到各种测度的定义、性质，再到积分的推广，每一步都充满了智慧的闪光。我希望这本书能深入浅出地讲解这些概念，让我不仅知道“是什么”，更能理解“为什么”。我期待书中能够有丰富的例子和详细的推导过程，帮助我理解那些抽象的数学语言，比如Lévy度量、Borel-Cantelli引理等，这些名字本身就充满了神秘感，让人跃跃欲试。

评分☆☆☆☆☆

这套“现代数学基础丛书·典藏版”一直是我学习数学路上的宝藏，这次终于收到了期待已久的第10册《测度论基础》。收到这本厚实精美的典藏版，手感就格外扎实，封面上“典藏版”三个字更是点明了它的分量。虽然我还没有深入研读，但仅仅是翻阅目录和前言，就能感受到编者在内容编排上的用心。测度论作为现代数学的基石之一，其重要性不言而喻，它不仅是概率论的语言，更是泛函分析、调和分析等众多高级分支不可或缺的工具。我一直对这门学科充满敬畏，也曾尝试过一些入门教材，但总觉得有些地方不够透彻，或者在概念的严谨性上稍显不足。听说这套丛书以其严谨的数学表述和清晰的逻辑结构著称，我非常期待《测度论基础》能够填补我在这方面的知识空白，带领我真正领略测度论的精妙之处。

评分☆☆☆☆☆

收到这本《测度论基础》，我感到非常兴奋。作为一名对数学理论有深入钻研兴趣的学习者，我一直在寻找能够系统讲解现代数学核心概念的优质读物。这套“现代数学基础丛书·典藏版”一直以来都以其严谨的学术水准和精美的装帧而闻名，此次的测度论专册更是我久久期待的。我希望能在这本书中找到对测度论的清晰、完整的梳理，从最基础的集合论与拓扑学背景，到各种重要的测度构造，再到测度空间上的积分理论，希望它能提供一条清晰的学习路径。我尤其关注书中对 Radon-Nikodym定理等核心内容的阐释，以及它在概率论和统计学等应用领域中的作用，这对于我理解更高级的数学分支至关重要。