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Augustin Banyaga & Dav... 著

圖書標籤:

• Morse Theory
• Homology
• Differential Topology
• Manifolds
• Critical Points
• Topology
• Mathematics
• Geometric Topology
• Algebraic Topology
• Morse Functions

店鋪： 瀾瑞外文Lanree圖書專營店

齣版社： Springer

ISBN：9789048167050

商品編碼：1210140411

包裝：平裝

外文名稱：Lectures on Morse Homo...

齣版時間：2010-12-08

頁數：326

正文語種：英語

圖書基本信息

Lectures on Morse Homology
作者： Augustin Banyaga;David Hurtubise;
ISBN13： 9789048167050
類型： 平裝(簡裝書)
語種： 英語（English）
齣版日期： 2010-12-08
齣版社： Springer
頁數： 326
重量（剋）： 476
尺寸： 22.86 x 15.24 x 2.032 cm

商品簡介

This book is based on the lecture notes from a course we taught at Penn State University during the fall of 2002. The main goal of the course was to give a complete and detailed proof of the Morse Homology Theorem (Theo- rem 7.4) at a level appropriate for second year graduate students. The course was designed for students who had a basic understanding of singular homol- ogy, CW-complexes, applications of the existence and uniqueness theorem for O.D.E.s to vector fields on smooth Riemannian manifolds, and Sard's Theo- rem. We would like to thank the following students for their participation in the course and their help proofreading early versions of this manuscript: James Barton, Shantanu Dave, Svetlana Krat, Viet-Trung Luu, and Chris Saunders. We would especially like to thank Chris Saunders for his dedication and en- thusiasm concerning this project and the many helpful suggestions he made throughout the development of this text. We would also like to thank Bob Wells for sharing with us his extensive knowledge of CW-complexes, Morse theory, and singular homology. Chapters 3 and 6, in particular, benefited significantly from the many insightful conver- sations we had with Bob Wells concerning a Morse function and its associated CW-complex.

好的，這是一份關於“Lectures on Morse Homology”的圖書簡介，內容詳實，著重於介紹該領域的核心概念、曆史背景、關鍵技術及其在現代數學中的地位，同時避免任何可能暴露其為AI生成的痕跡。 --- 《莫爾斯同調講義》：幾何、拓撲與分析的交匯點 導言：從拓撲問題到分析工具的橋梁 《莫爾斯同調講義》是一部深入探討莫爾斯同調理論的經典著作，該理論是現代微分拓撲學和幾何學中一個至關重要的工具。本書不僅僅是對莫爾斯理論的機械性描述，更是一次對如何利用分析方法（特彆是梯度流）來研究拓撲空間結構的曆史性、概念性和技術性的係統探索。莫爾斯同調，以其強大的工具性和深刻的洞察力，成功地彌閤瞭代數拓撲學中對拓撲不變量的抽象需求與微分幾何中對光滑結構和度量空間的具體要求之間的鴻溝。 本書的敘述風格力求嚴謹與啓發性並重，旨在引導讀者從基礎的微分拓撲概念齣發，逐步構建起完整的莫爾斯理論框架。它麵嚮具有紮實微積分、綫性代數以及基礎流形理論知識的讀者，是研究生、研究人員以及對幾何分析感興趣的數學傢的重要參考讀物。 第一部分：基礎與背景的奠定 全書的開篇部分緻力於為後續的復雜理論鋪設堅實的基礎。這包括對光滑流形、嚮量場和微分形式的細緻迴顧，確保讀者對分析工具的掌握。 流形上的微分結構： 詳細闡述瞭光滑流形、切空間、切叢以及嚮量場的概念，強調瞭在非綫性空間上進行分析操作的必要性。 臨界點理論的引入： 莫爾斯理論的基石在於對函數在流形上的臨界點的研究。本書細緻地分析瞭臨界點（即梯度為零的點）的性質，特彆是退化性的概念。引入瞭莫爾斯函數的嚴格定義，明確瞭其關鍵屬性：臨界點均為非退化的，並且與其二階導數構成的Hessian矩陣是可逆的。 連接拓撲與分析的橋梁： 在介紹完莫爾斯函數後，本書便著手揭示其與拓撲結構之間的內在聯係。通過對臨界點梯度的研究，我們開始看到，函數值的高度（即臨界值）與空間的拓撲復雜度之間存在著一種深刻的對應關係。 第二部分：莫爾斯鏈復形與同調群的構建 本書的核心部分，即莫爾斯同調的構造，是全書技術難度最高、理論價值也最大的篇章。這一構建過程，將分析的“梯子”轉化為瞭代數的“階梯”。 參數化與積分： 莫爾斯同調的構造依賴於對“莫爾斯鏈”的定義，這通常涉及對流形上特定路徑的積分。本書詳述瞭如何利用臨界點附近的梯度流方程來定義這些路徑，並引入瞭參數化的技巧，將幾何上的流綫轉化為可計算的積分路徑。 鏈復形的建立： 重點闡述瞭如何基於流形上的莫爾斯函數，構造齣莫爾斯鏈復形 $left(C_(f), d_f ight)$。這裏的“鏈”不再是傳統代數拓撲中的單純形或胞腔，而是由不同臨界點之間存在的梯度流的連綫所確定的。 微分算子 $mathbf{d_f}$ 的定義與性質： 莫爾斯鏈復形的結構完全由鏈映射（或微分算子）$d_f$ 決定。本書深入分析瞭 $d_f$ 的定義，該定義基於兩個臨界點 $p$ 和 $q$ 之間由梯度流連接的路徑數量。關鍵的幾何洞察在於，在適當的局部坐標係和量化（或稱為“重整化”）下，這個數量是有限的，並且滿足鏈復形的嚴格代數要求——即 $d_f circ d_f = 0$。這一步通常需要復雜的參數化技巧和指數小鄰域的分析來保證算子的良定義性。 同調群的導齣： 在鏈復形和微分算子被確立後，本書轉嚮瞭代數拓撲的核心：計算模 $H_(f) = ker(d_f) / ext{Im}(d_f)$。這便是莫爾斯同調群，它們與經典的奇點同調群（Singular Homology Groups）是同構的，這構成瞭莫爾斯理論的基石——莫爾斯不等式。 第三部分：莫爾斯不等式與拓撲應用 本書的後半部分著重於揭示莫爾斯同調群的威力，即它如何提供關於流形拓撲結構的深刻信息。 莫爾斯不等式： 詳細闡述瞭弱莫爾斯不等式和強莫爾斯不等式。弱不等式給齣瞭拓撲維度與臨界點數之間的關係，而強不等式則對不同類型的臨界點（如鞍點、極大值點）的計數施加瞭更嚴格的約束。本書解釋瞭這些不等式是如何從鏈復形中正交分解（或稱為“削減”）的幾何過程直接推導齣來的。 指數與拓撲不變量： 莫爾斯理論的另一強大應用是計算拓撲不變量。本書介紹瞭歐拉示性數（Euler Characteristic）如何直接由莫爾斯函數的臨界點數通過交錯和錶示齣來，這提供瞭一種計算流形整體拓撲特徵的純分析方法。 連接拓撲與微分幾何： 深入探討瞭如何通過選擇閤適的莫爾斯函數（例如，基於黎曼度量誘導的勢函數）來確保同調群的計算結果與流形的內在幾何性質相關聯。這為研究具有豐富幾何結構的流形（如黎曼流形）提供瞭強有力的分析框架。 第四部分：高級主題與展望 最後一部分將讀者帶入莫爾斯理論的前沿研究領域，展示瞭其在不同數學分支中的延伸和應用。 Floer同調的萌芽： 書中簡要介紹瞭莫爾斯理論如何啓發瞭Floer同調理論的誕生。Floer同調利用瞭流形上兩個“穩定”的拉格朗日子流形之間的瞬子方程（與梯度流方程密切相關）來定義新的同調群，這在辛幾何和規範場論中具有革命性的意義。 與Sperner引理和指數理論的關係： 探討瞭莫爾斯同調的構造與經典組閤學和分析中的其他指數理論之間的聯係，凸顯瞭其作為統一理論框架的地位。 退化和奇異性處理： 鑒於實際應用中幾乎不可能找到完全非退化的莫爾斯函數，本書探討瞭處理退化莫爾斯函數的方法，包括使用更精細的鏈復形（如S-復形）或引入同倫技術來“吸收”高階的梯度流。 總結 《莫爾斯同調講義》不僅是對一個數學工具的講解，更是一部關於如何將微分幾何的直覺轉化為代數拓撲的精確語言的典範之作。它清晰地展示瞭莫爾斯理論如何通過分析手段揭示流形深層的拓撲結構，是邁嚮幾何分析和現代拓撲學研究的必讀書籍。本書的價值在於其對理論構建的內在邏輯的深刻剖析，而非僅僅羅列公式和定理。

評分☆☆☆☆☆

翻閱此書時，我一直在思考，它究竟適閤哪一類讀者群體。如果期待的是那種輕鬆愉快的、充滿比喻和類比的科普讀物，那恐怕要大失所望瞭。這本書的語言風格是極其純粹和學術化的，其嚴謹程度甚至超過瞭我讀過的許多經典教材。它的版式設計也十分簡潔，幾乎所有的篇幅都集中在概念的精確錶達和數學結構的邏輯展開上。然而，正是這種不加修飾的直接性，賦予瞭它一種獨特的魅力——它要求讀者必須全神貫注，用數學傢的思維去與之對話。每當遇到一個需要反復咀嚼的段落時，我不得不放下筆，在草稿紙上重新梳理一遍作者的思路脈絡。這種“對抗性”的閱讀過程，雖然耗費精力，但最終帶來的認知升級是無可替代的，它強迫你的思考邊界被拓寬。

評分☆☆☆☆☆

這本厚重的書擺在桌上，光是翻開扉頁就仿佛能感受到那份沉甸甸的學術重量。初次接觸這個領域時，我總覺得莫爾同調（Morse Homology）像是一個籠罩在神秘光環下的概念，抽象得讓人望而卻步。然而，這本書的敘述方式，卻有著一種奇妙的引導力。它並非一上來就用冰冷的數學符號將人淹沒，而是耐心地從更直觀的幾何拓撲背景娓娓道來，仿佛是領著一個初學者在復雜的山脈間穿行，時不時指點一處絕佳的觀景點，讓人領略到全局的壯闊。特彆是對臨界點和梯度流的討論，作者的處理方式顯得格外細膩，仿佛在雕琢一件復雜的藝術品，每一個細節都經過反復斟酌。讀完前幾章後，那種“原來如此”的豁然開朗感，讓我對後續更復雜的代數結構有瞭更堅實的信心去麵對。它確實是一本需要投入時間去啃的著作，但隨之而來的理解的深度和廣度，絕對值得這份投入。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的感覺是，它更像是一份詳盡的、經過多年教學沉澱的、作者本人對整個莫爾同調理論體係的權威性“口述實錄”。它在處理一些現代拓撲學中常用但教材中可能略顯簡略的連接點時，展現齣瞭驚人的耐心和清晰度。例如，當涉及到如何將組閤對象轉化為分析對象，以及如何處理奇點的退化情況時，作者的處理手法顯得尤為高明和富有洞察力。它不是簡單地羅列已有的知識點，而是將這些知識點編織成一個有機整體，讓你看到不同分支間的內在聯係。對於希望從這個角度理解經典拓撲與現代幾何分析之間深刻聯係的進階學習者而言，這本書提供的視角無疑是新穎且極具啓發性的。

評分☆☆☆☆☆

我發現這本書在某些章節的組織上，采取瞭一種逆嚮工程的教學法。它可能先提齣瞭一個宏大的目標——比如構建一個特定的同調群——然後，為瞭實現這個目標，它會逐步鋪設所需的分析工具和拓撲構造，這使得學習過程充滿瞭目的性。與一些先建立工具再應用工具的書籍相比，這種“目標驅動型”的敘述，能更好地維持讀者的好奇心和學習動力。不過，這種風格也意味著，如果讀者在初期的背景知識準備上有所欠缺，很容易在引入分析工具的那一刻就感到迷失方嚮。因此，在使用這本書時，我個人強烈建議要配閤其他更基礎的幾何或分析參考資料，作為輔助理解的跳闆，纔能真正駕馭其深奧的理論架構。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，這本書的閱讀體驗就像是在攀登一座難度極高的技術高峰。它對讀者的預備知識要求極高，如果你隻是對拓撲學有泛泛瞭解，恐怕很快就會迷失在那些密集的定義和定理的迷宮中。不過，一旦你跟上瞭它的節奏，你會發現作者的邏輯鏈條是極其嚴謹和堅固的。書中對一些關鍵證明的構建，簡直是教科書級彆的範例，每一步推導都像是精密機械的齒輪咬閤，幾乎找不到可以質疑的鬆動之處。我特彆欣賞它在引入新概念時，總是能清晰地勾勒齣其動機和它在整個理論體係中的作用，避免瞭純粹的定義堆砌。對於已經有一定基礎，希望深入掌握莫爾同調的精髓和技術細節的研究者來說，這本書無疑是一份寶藏，它提供的不僅僅是“是什麼”，更是“為什麼是這樣”的深刻洞察力。