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内容简介

　　《黎曼曲面》主要介绍Riemann曲面的基本理论，包括：Riemann曲面的概念、Weierstrass意义下的解析函数与Riemann曲面、覆盖曲面、微分形式与积分、单值化定理及其应用、微分形式空间、紧Riemann曲面和非紧Riemann曲面。

内页插图

目录

第一章 Riemann曲面的概念 (1)
1 曲面的概念 (1)
2 Riemann曲面的定义 (2)
3 Riemann曲面的简单例子 (3)
4 带边界的Riemann曲面 (5)
第二章 Weiersyrass意义下的解析函数与Riemann曲面 (8)
1 完全解析函数 (8)
2 解析图象 (10)
3 代数函数 (13)
第三章 覆盖曲面 (24)
1 光滑覆盖曲面 (24)
2 弧的提升与正则覆盖曲面 (24)
3 曲线的同伦与基本群 (27)
4 单值性定理及其应用 (29)
5 单连通Riemann曲面解析开拓的连贯性定理 (30)
6 基本群的子群与覆盖曲面 (32)
7 覆盖变换群 (34)
第四章 微分形式与积分 (37)
1 微分形式 (37)
2 微分形式的积分 (41)
3 Stokes公式及其应用 (42)
4 调和微分与全纯微分 (44)
第五章 单值化定理及其应用 (49)
1 次调和函数与Dirichlet问题的Perron解法 (49)
2 Riemann曲面的可数性 (56)
3 开Riemann曲面的Green函数？调和测度与**值原理 (60)
4 Riemann曲面的分类 (62)
5 Green函数的一些性质 (65)
6 抛物型Riemann曲面的一类具有奇点的调和函数 (67)
7 单值化定理及其证明 (72)
8 用万有覆盖曲面及万有覆盖变换群构造Riemann曲面 (77)
9 线分式变换的类型与不动点 (80)
10 单位圆内的线分式变换与非欧几何 (85)
11 Klein群与Riemann曲面 (89)
12 七种特殊类型的Riemann曲面 (93)
13 Fuchs群与双曲型Riemann曲面 (95)
第六章 微分形式空间 (102)
1 可测微分空间及其几个重要的子空间 (102)
2 逐段解析的简单闭曲线对应的微分 (104)
3 光滑算子的一个引理 (106)
4 Weyl引理与调和微分子空间 (111)
5 具有极点的调和微分和解析微分的存在性 (115)
第七章 紧Riemann曲面 (120)
1 紧Riemann曲面上的调和微分与解析微分空间 (120)
2 亚纯微分及其双线性关系式 (124)
3 除子与亚纯函数空间 (127)
4 Riemann-Roch定理 (130)
5 q次全纯微分空间 (134)
6 Weiersyrass间隙数与Weiersyrass点 (136)
第八章 非紧Riemann曲面 (145)
1 紧Riemann曲面上的初等微分与Cauchy积分公式 (145)
2 非紧Riemann曲面上的域的初等微分与Cauchy积分公式 (149)
3 Runge逼近定理 (149)
4 Mittag-Leffler定理与非紧Riemann曲面上亚纯函数的构造 (153)
5 Weiersyrass定理与非紧Riemann曲面的全纯函数的构造 (156)
参考文献 (159)

前言/序言

　　Riemann曲面理论是现代数学的基本理论之一，它不但自身不断地发展，而且越来越广泛地被应用于其它学科。例如，在复分析领域内各分支学科，特别是Teichmuller理论及近年来发展很快的复解析动力系统等，都离不开Riemann曲面理论作为基础。
　　本书的目的是给出Riemann曲面的必要而基本的理论，以使国内研究生及其他读者，在短时间内能掌握这门理论，并能够将它应用到其他学科中去，
　　书中主要内容为单值化定理、紧Riemann曲面及非紧Riemann曲面理论，在单值化定理这一章中，还介绍了Klein群及Fuchs群等基础知识，在紧Riemann曲面这一章中，主要是Riemann-Roch定理及其应用，其中特别介绍q-次全纯微分空间，对Riemann-Roch定理的证明采用了经典的因而是初学者比较容易理解的方法，对于非紧Riemann曲面论，本书证明了关于亚纯函数构造的Mittag-Leffler定理，并用无穷乘积构造了全纯函数的Weierstrass定理。我们通过具体作出Cauchy核、Cauchy积分及通过Runge定理，用逼近方法，给出这些定理的构造性证明，证明的思想方法力求与平面复分析的方法相似，这对于进一步研究非紧Riemann曲面上的函数论问题将会有好处。
　　国内关于Riemann曲面理论的书至今不多。1978年伍鸿熙教授到中国科学院数学研究所讲授紧Riemann曲面理论。后来，伍鸿熙教授、陈志华教授和我合作写成《紧黎曼曲面引论》一书（科学出版社，1983年出版）。该书出版后，对国内数学研究起到了一定的作用。这本《黎曼曲面》希望与《紧黎曼曲面引论》相辅相成。读者如果先读一下这本书，将会比较容易地读上述的《紧黎曼曲面引论》。这两本书合在一起，将会使读者更系统地了解Riemann曲面理论。
　　本书部分内容曾先后在北京大学数学系等单位为研究生及大学高年级学生讲授过。在此基础上，我与张学莲副教授合作编撰成这本书，在整理誉清的过程中，得到伍鹏程同志及研究生华敏刚、彭贵爱的帮助，谨对他们表示感谢，由于时间较紧，书中难免有不妥之处，敬请读者提出宝贵意见。
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