什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[美] R·柯朗，H·罗宾 著，左平，张饴慈 译

图书标签:

• 数学史
• 数学哲学
• 数学方法
• 数学思想
• 数学普及
• 数学基础
• 逻辑学
• 集合论
• 数学教育
• 科普读物

出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309128109

版次：4

商品编码：12172032

包装：平装

开本：32开

出版时间：2017-03-01

用纸：胶版纸

页数：582

字数：469000

正文语种：中文

内容简介

　　《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》是世界著名的数学科普读物，它搜集了许多经典的数学珍品，对整个数学领域中的基本概念与方法，做了精深而生动的阐述。无论是数学专业人士，或是愿意作数学思考者都可以阅读《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》。
　　特别对中学数学教师、大学生和高中生，《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》都是一本极好的参考书。

目录

什么是数学



第1章 自然数

引言

§1整数的计算

1．算术的规律

2．整数的表示

3．非十进位制中的计算

*§2数系的无限性数学归纳法

1．数学归纳法原理

2．等差级数

3．等比级数

4．前n项平方和

*5．-个重要的不等式

*6．二项式定理

*7．再谈数学归纳法



第1章补充 数论

引言

§1素数

1．基本事实

2．素数的分布

§2同余

1．一般概念

2．费马定理

3．二次剩余

§3毕达哥拉斯数和费马大定理

§4欧几里得辗转相除法

1．一般理论（53）

2．在算术基本定理上的应用（58）

3．欧拉函数再谈费马定理（59）

4．连分数丢番都方程（61）



第2章 数学中的数系

引言

§1有理数

1．作为度量工具的有理数

2．数学内部对有理数的需要推广的原则

3．有理数的几何解释

§2不可公度线段无理数和极限概念

1．引言

2．十进位小数无限小数

3．极限无穷等比级数

4．有理数和循环小数

5．用区间套给出无理数的一般定义

*6．定义无理数的另一个方法戴特金分割

§3解析几何概述

1．基本原理

*2．直线方程和曲线方程

§4无限的数学分析

1．基本概念

2．有理数的可数性和连续统的不可数性

3．康托的“基数”

4．反证法

5．有关无限的悖论

6．数学的基础

§5复数

1．复数的起源

2．复数的几何解释

3．棣莫弗公式和单位根

*4．代数基本定理

*§6代数数和超越数

1．定义和存在性

**2．柳维尔定理和超越数的构造



第2章补充 集合代数

1．一般理论

2．在数理逻辑中的应用

3．在概率论中的一个应用

……



第3章 几何作图数域的代数

第4章 射影几何公理体系非欧几里得几何

第5章 拓扑学

第6章 函数和极限

第6章补充 极限和连续的一些例题

第7章 极大与极小

第8章 微积分

第8章补充

第9章 最新进展



附录 补充说明问题和习题

参考书目1

参考书目2（推荐阅读）

精彩书摘

　　《什么是数学：对思想和方法的基本研究（第4版）》：
　　数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要素是：逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧面，然而正是这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、用途和它的崇高价值。
　　毫无疑问，一切数学的发展在心理上都或多或少地是基于实际的，但是理论一旦在实际的需要中出现，就不可避免地会使它自身获得发展的动力，并超越直接实用的局限。这种从应用科学到理论科学的发展趋势，不仅常见于古代历史中，而且在工程师和物理学家为近代数学不断作出的许多贡献中更是屡见不鲜，
　　有记载的数学起源于东方，大约在公元前两千年，巴比伦人就搜集了极其丰富的资料，这些资料今天看来应属于初等代数的范围。至于数学作为现代意义的一门科学，则是迟至公元前5至公元前4世纪才在希腊出现的。东方和希腊之间的接触不断增多（始于波斯帝国时期，至亚历山大远征时期则达到高峰），使希腊人得以熟悉巴比伦人在数学和天文学方面的成就，数学很快就被加入到风行于希腊城邦的哲学讨论之中。因而希腊的思想家逐渐意识到，在连续、运动、无限大这些概念中，以及在用已知单位去度量任意一个量的问题中，数学都存在着固有的极大困难。面对这个挑战，经过了一番不屈不挠的努力，产生了欧多克斯（Eudoxus）的几何连续统理论，这个成果是唯一能和两千多年后的现代无理数理论相媲美的。数学中这种公理演绎的趋向起源于欧多克斯时代，又在欧几里得（Euclid）的“原本”中得以成熟。
　　虽然希腊数学的理论化和公理化的倾向一直是它的一个重要特点，并且曾经产生过巨大的影响。但是，我们不能过分强调这一点，因为在古代数学中，应用以及同物理现实的联系恰恰起了同样重要的作用，而且那时候人们不愿采用欧几里得那样严密的表达方式。
　　由于较早地发现了与“不可公度”的量有关的这些困难，使希腊人没能发展早已为东方所掌握的数字计算的技术，相反，他们却迫使自己钻进了纯粹公理几何的丛林之中，于是科学史上出现了一个奇怪的曲折，这或许意味着人类丧失了一个很好的时机，几乎两千年来，希腊几何的传统力量推迟了必然会产生的数的概念和代数运算的进步，而它们后来构成了近代科学的基础。
　　经过了一段缓慢的准备，到17世纪，随着解析几何与微积分的发展，数学和科学的革命也开始蓬勃发展起来，虽然希腊的几何学仍然占有重要的地位，但是，希腊人关于公理体系和系统推演的思想在17世纪和18世纪不复出现。从一些清清楚楚的定义和没有矛盾的“明显”公理出发，进行准确的逻辑推理，这对于数学科学的新的开拓者来说似乎是无关紧要的，通过毫无拘束的直观猜想和令人信服的推理，再加上荒谬的神秘论以及对形式推理的超人力量的迷信，他们征服了一个蕴藏着无限财富的数学世界，但是后来，大发展引起的狂热逐渐让位于一种自我控制的批判精神。到了19世纪，由于数学本身需要巩固已有成果，而且人们也希望把它推向更高阶段时不致发生问题（这是受到法国大革命的影响），就不得不回过头来重新审查这新的数学基础，特别是微积分及其赖以建立的极限概念，因此，19世纪不仅成为一个新的发展时期，而且也以成功地返回到那种准确而严谨的证明为其特征，在这方面它甚至胜过了希腊科学的典范。
　　……

前言/序言

　　1937年夏，我还是一个年轻的大学生，我是通过阅读我父亲所写的《微积分学》那本书来学习微积分的，我相信，那时，是他第一次想到要写一本关于数学方法和概念的初等读物，并且认为我有可能在这个方面给予帮助，
　　于是在随后的几年里，逐渐形成了《什么是数学》这本书，我还能清晰地回忆起那紧张的编写时期，特别是1940和1941年的夏季，我协助H。罗宾和我的父亲的情景，
　　当这本书出版的时候，其中若干本中有一个特别的扉页：数学——献给洛丽，洛丽是我最小的妹妹，那时她13岁。几年后，当我要结婚时，我父亲要求我妻子读懂《什么是数学》，她未能做得很好，不过她仍被接受进入我们的家庭。
　　很多年里，在纽约新罗彻尔的柯朗寓所的顶楼里放满了各种形状的铁丝框架，它们是用来做本书第七章第11节所述的肥皂膜实验的。这些肥皂膜实验曾是孙儿们无限乐趣的源泉，尽管我父亲没有再重复这些实验，但他的孙儿中仍有一些人投身于数学及相关领域的研究，
　　自原书出版后未再认真准备新版本。附有前言的修正版除了订正了一些明显的印刷错误外与原版基本没有什么区别；所有随后的印刷都与第三次修订本相同，在我父亲生前最后的岁月里，他有时曾谈到使本书大规模现代化的可能性。但他不再有精力来完成此任务了。
　　因此，当I·斯图尔特教授提议作现在这个修订本时，我是非常高兴的，他根据数学最新进展对若干章节增添了一些评论和扩展，我们知道费马大定理和四色问题已经解决了；无穷小和无穷大量，这些过去在形式上使人不满意，并被当作有缺陷的概念，现在已经在“非标准分析”中再次获得肯定（我上大学时曾用了“无穷”这个词，我的数学教授当时指出“在我的班上不允许有‘坏’的语言”）。此修订版的参考文献已经增加至当前。我希望《什么是数学》这个新版本将再次在广大的读者中引起兴趣。

《探索数的奥秘：一本数学思想与方法的引路书》 这本书，并非旨在逐一列举和详尽阐述每一项数学定理的严谨证明，也非对代数、几何、微积分等具体分支进行系统性的百科全书式梳理。它的诞生，是为了引领读者踏上一场关于数学本质的发现之旅，探寻隐藏在数字、符号和逻辑背后的深刻思想，以及支撑起整个数学大厦的精妙方法。它试图回答的，是“数学究竟是什么？”这个看似简单却又深邃的问题，它挖掘的，是数学作为一种独特的人类思维活动，是如何产生、发展，并渗透到我们理解世界的方式中的。 本书的核心目标，在于揭示数学的灵魂，而非仅仅罗列其躯体。它不会让你背诵拗口的公式，也不会强迫你解决复杂的计算难题。相反，它将带领你穿越历史的长河，去感受数学思想的萌芽与演进。你将了解到，在古老的文明中，数学是如何从数数的本能、测量土地的需要，以及对宇宙秩序的敬畏中逐渐孕育而出。你会看到，数学不仅仅是数字的游戏，更是人类探索规律、构建模型、表达抽象概念的强大工具。 这本书的视野是宏大的，它将数学的触角延伸到各个领域，展示数学如何成为科学研究的基石，如何驱动技术革新，甚至如何在艺术、音乐和哲学中留下深刻的印记。你或许会惊叹于，那些看似抽象的数学概念，竟然能够精准地描述和预测自然界的现象，从微观粒子的运动到宏观宇宙的演化。你也会发现，数学所倡导的逻辑推理、严谨证明以及模型构建的能力，正是我们解决现实世界复杂问题的关键所在。 在方法论层面，本书将着重阐述数学家们常用的思维方式。你将了解到，抽象化和泛化是如何帮助我们从个别的例子中提炼出普遍的规律；演绎推理和归纳推理是如何共同推进数学知识的增长；模型思维是如何让我们用数学语言来近似和理解现实世界。本书不会提供一套“速成”的学习秘籍，但它会为你打开一扇窗，让你窥见数学家们解决问题时所运用的智慧和策略，培养你独立思考和分析问题的能力。 阅读本书，你无需拥有深厚的数学背景。作者的语言风格力求清晰易懂，避免过度的专业术语，而是通过生动的比喻、鲜活的例子和历史故事，将复杂的数学思想娓娓道来。它更像是一位经验丰富的向导，带领你在数学的广阔天地中漫步，让你欣赏沿途的风景，领略其内在的魅力，而不是把你丢进一个充满习题的迷宫。 本书并非一个枯燥的学术论著，它充满了对知识的热情和探索的乐趣。你将感受到数学的严谨之美，逻辑之妙，以及其在塑造人类文明进程中的重要作用。通过阅读，你可能会重新认识数学，发现它远比你曾经学习的更具生命力，更富有创造性。它将激发你对未知的好奇心，培养你对抽象概念的理解力，并教会你如何用一种全新的视角来审视周遭的世界。 这本书所提供的，是一种思考数学的方式，一种理解数学的视角。它鼓励你带着批判性的眼光去审视数学的各个方面，去思考数学的局限性，以及它在不断发展中扮演的角色。它将让你明白，数学并非一成不变的僵化体系，而是一个充满活力、不断演进的知识领域。 总而言之，《探索数的奥秘：一本数学思想与方法的引路书》是一次关于数学本质的深度探索，一次对数学思维方式的精彩呈现。它旨在点燃你对数学的好奇心，培养你对数学思想的洞察力，并最终帮助你建立起一个更加全面、深刻的数学认知体系。它不是一本供你“学完”的教材，而是一份伴随你“一生”的思考指南。

评分☆☆☆☆☆

回想我开始阅读这本书时的状态，我更像是一个带着强烈求知欲的徒步者，手里拿着一张古老但详尽的地图。这本书并没有给我现成的捷径，而是耐心地指出了每一个重要的路标和岔路口。它成功地平衡了严谨性与可读性，这是一件极其困难的事情。它没有像某些入门书籍那样，为了迎合大众而牺牲掉数学的内在严肃性；也没有像纯粹的研究专著那样，让普通读者望而却步。它建立了一种独特的桥梁，让那些真正对数学本质充满好奇心的人，能够跨越初期的障碍，直抵核心。读完后，你不会觉得自己“学会”了一套解题技巧，而是获得了对数学世界的一种全新的、更深刻的“领悟”。这种领悟，关于逻辑的纯粹，关于抽象的美，以及关于人类心智所能达到的最高思维成就之一，是无可替代的收获。

评分☆☆☆☆☆

对我个人而言，这本书最大的价值在于它帮助我清理了许多陈旧的认知误区。我一直对某些数学分支抱有“过于抽象，脱离实际”的偏见，但读完书中关于代数结构和数论那几章后，我不得不承认，这种看法是何等浅薄。作者并非仅仅停留在理论推导，他总能在关键时刻，将那些深奥的定理与它在更广阔的科学领域中扮演的角色联系起来，展现出数学作为“科学的语言”的无与伦比的力量。例如，他对群论基础的阐述，不仅仅是定义了公理，更是阐明了对称性在自然界中无处不在的体现。这种将理论深度与实际意义相结合的写作手法，极大地增强了阅读的趣味性和说服力。它不像是一本冰冷的工具书，更像是一位博学的导师，耐心地引导你看到知识背后的宏伟蓝图，让你意识到，你所学的每一个符号，都承载着巨大的逻辑重量。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我原本以为这是一本会让我头疼的学术著作，毕竟“基本研究”这几个字听起来就让人望而生畏。然而，拿起这本第四版后，我的看法彻底颠覆了。它的结构安排简直是教科书级别的典范，那种流畅度，仿佛是经过了无数次打磨的钻石。我印象最深的是它对拓扑学概念的介绍部分。作者处理无限和连续性的方式，既保持了严格性，又照顾到了初学者的直观感受。他并没有回避那些晦涩难懂的细节，而是用一系列巧妙的类比和视觉化的例子来铺垫，使得那些抽象的结构变得可以触摸、可以理解。读到后来，我简直有点“上瘾”，总想知道在接下来的章节里，作者又要如何用他那支点石成金的笔触，揭示另一个数学领域的惊人构造。这本书的价值在于，它让你在“知道”的同时，“理解”了那些看似高不可攀的数学分支是如何有机地联系在一起的，形成了一个巨大的、自洽的知识体系。

评分☆☆☆☆☆

这本《什么是数学》的第四版，就像一扇通往数学深层奥秘的古老而坚固的门。我是在一个对纯粹的逻辑和美感充满好奇的周末，翻开它的。初读之下，便被作者那娓娓道来的叙事方式深深吸引。他并没有直接将读者推入复杂的公式泥潭，而是像一位耐心的向导，带领我们首先领略了数学思维的精髓所在——那种对一致性和完备性的不懈追求。书中对一些基础概念的阐释，比如集合论的初步引入，处理得极为精妙，没有丝毫的枯燥感。它更像是在讲述一个宏大的哲学故事，关于我们如何用最简洁的符号来描述我们所处的宇宙。我尤其欣赏书中对于“证明”这个行为的探讨，它不仅仅是步骤的堆砌，更是一种艺术的创造，一种将模糊的直觉转化为坚不可摧的逻辑链条的过程。这种对数学精神的深刻挖掘，远超出了普通教材的范畴，它真正触及了“数学是什么”这个核心问题，让读者在跟随作者的思路时，不仅仅是学习知识，更是在重塑一种看待世界的方式。它教会我，真正的数学之美，在于其内在的简洁和无懈可击的结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和字体选择也值得称赞，这对于一本需要长时间深入阅读的专业书籍来说至关重要。清晰的层次划分，合理的图文分布，使得即使在处理那些需要反复对照的证明步骤时，也不会产生视觉疲劳。我特别注意到了第四版中可能做出的修订，虽然我没有对比前三版，但就当前版本而言，其逻辑推演的严谨性达到了一个令人惊叹的高度。作者在构建论证链条时，那种滴水不漏的风格，让人读起来感到一种近乎禅意的平静。你会发现，每一个定义都不是随心所欲的，每一个定理的提出都有其历史的必然性。这种对结构本身的敬畏感，是其他许多流于表面的科普读物所无法给予的。它要求你慢下来，去品味每一个词语背后的精确含义，这本身就是一种对思维耐力的磨练。

评分☆☆☆☆☆

不错的一本书，京东送货很快，感觉大小东西都要在京东上买，很放心

评分☆☆☆☆☆

相见恨晚。

评分☆☆☆☆☆

不错的书籍，适合阅读，好评

评分☆☆☆☆☆

好薄的一本，感觉不太值得。好薄的一本，感觉不太值得。好薄的一本，感觉不太值得。

评分☆☆☆☆☆

质量非常好，与卖家描述的完全一致，非常满意,真的很喜欢，完全超出期望值，发货速度非常快，包装非常仔细、严实，物流公司服务态度很好，运送速度很快，很满意的一次购物

评分☆☆☆☆☆

书很好我就是买的有点多了，屯书吗？无所谓了。

评分☆☆☆☆☆

看到朋友在读，买一本试试，发现真的是惊艳，这是我见过的最好的数学书，没有之一！

评分☆☆☆☆☆

为何书内有黑手印呢？还有几页是皱的？书本应该是干净整洁的阿。

评分☆☆☆☆☆

小孩子用的，上大学前准备的。