Sobolev空間與偏微分方程引論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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王術 著

圖書標籤:

• Sobolev空間
• 偏微分方程
• 泛函分析
• 數學分析
• PDE
• 函數空間
• 變分法
• 有限元
• 數值分析
• 應用數學

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030243492

版次：1

商品編碼：12286572

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2009-04-01

用紙：膠版紙

頁數：263

字數：333000

正文語種：中文

內容簡介

　　《Sobolev空間與偏微分方程引論》係統講述瞭偏微分方程一般理論的主要結果和研究方法．主要內容包括：實分析與泛函分析在Sobolev空間中的應用，整數次與分數次Sobolev空間的基本性質和基本技巧，如逼近理論、緊嵌入理論、跡定理、單位分解等基本理論以及局部化、平直化、光滑化和緊支化等技巧，二階綫性橢圓方程的各類邊值問題弱解的存在性、正則性、極值原理、Schauder理論等方麵的主要結果以及泛函方法、特徵值方法、差商方法等現代偏微分方程方法和DeGiorgi迭代技巧，二階綫性拋物方程和二階綫性雙麯方程的基本理論，弱解的存在性、正則性，能量方法，Galerkin方法，Lions定理與發展方程以及綫性拋物型方程的Schauder理論和Lp理論，一階綫性雙麯型方程式的特徵綫方法，一階綫性雙麯型方程組的基本概念和對稱雙麯係統的黏性消失法等，
　　《Sobolev空間與偏微分方程引論》適閤偏微分方程、微分動力係統、實分析、泛函分析、計算數學、數學物理、控製論方嚮的研究生、教師及科研人員閱讀參考。

內頁插圖

目錄

前言/序言

　　眾所周知，偏微分方程的發展與實分析、泛函分析有著密切的聯係，但是涉及泛函方法在偏微分方程應用方麵的係統理論的專著或教材卻很少，而且目前已有的國內外偏微分方程方麵的大多專著或教材都各有其特點，重點內容和側重點各不相同，有的偏重於橢圓與拋物類方程，有的偏重於雙麯類方程這樣，其基礎知識和齣發點就各不相同，再者，偏微分方程涉及廣泛的相關學科基礎知識，需要有較寬的數學知識麵，當前的許多經典專著或教材起點高，對於在校的青年初學者，特彆是研究生來說，內容較難理解，不利於他們更進一步地學習和研究．這樣，適閤於我國偏微分方程各方嚮的基礎偏微分方程的內容體係便應運而生，
　　本書注重觀念和思想産生的背景、創新思想的起源與啓發，綜述瞭偏微分方程的發展史和當前國內外偏微分方程研究的前沿問題，係統地介紹瞭偏微分方程的經典理論與現代方法、實分析與泛函分析在偏微分方程中的應用、Sobolev空間在偏微分方程中的應用等，其主要特點有：適閤作為Sobolev空間與偏微分方程的入門書，深入淺齣的思路分析、啓發式的思想起源分析、係統的基本理論與應用、豐富的例題、適量且難易兼容的習題和大量詳細的注解，都有利於讀者理解和掌握書中的內容和相關知識，把讀者引入現代偏微分方程的研究領域，大量的參考文獻以及經典的名著參考書，可以引導讀者選擇研究領域、拓寬研究視野．書中內容詳細、封閉完整、通俗易懂、言簡意賅、論證嚴密，各部分內容自成體係；起點低，適用於各個專業和不同的研究方嚮．編者參閱瞭國內外同一主題的許多著作，吸收瞭各書之所長，相信會對讀者有所幫助．
　　本書係統地講述瞭偏微分方程一般理論的主要結果和研究方法．全書共分6章：第1章講述偏微分方程的發展史、現代偏微分方程的主要研究方法以及一些重要的研究方嚮，介紹偏微分方程的基本概念與分類；第2章介紹實分析與泛函分析在Sobolev空間中的應用，整數次與分數次Sobolev空間的基本性質及其基本理論，如逼近理論、延拓理論、嵌入理論、單位分解理論及Fourier分析理論等，研究Sobolev空間理論中涉及的基本技巧，如局部化、平直化、光滑化和緊支化等，時空Sobolev空間的基本性質等，本章內容是自成體係的；第3章介紹二階綫性橢圓方程的各類邊值問題弱解的存在唯一性、正則性、極值原理，Schauder理論等方麵的主要結果以及泛函方法、特徵值方法、差商方法等現代偏微分方程方法和DeGiorgi迭代技巧等；第4章和第5章分彆介紹二階綫性拋物方程和二階綫性雙麯型方程的基本理論，弱解的存在唯一性、正則性，能量方法，Galerkin方法，Lions定理與發展方程以及綫性拋物型方程的Schauder理論和Lp理論等；第6章介紹一階綫性雙麯型方程式的特徵綫方法和一階綫性雙麯型方程組的基奉概念和對稱雙麯係統的黏性消失法等，
　　本書曾在北京工業大學講過若乾次，程曹宗教授、黎勇博士、邢秀俠博十、楊衛華博士和曾明博士等都曾提齣過寶貴的修改意見，在此一並緻謝，同時，藉奉書齣版之際，嚮我的老師葉其孝教授、謝春紅教授、肖玲研究員、辛周平教授以及PeterA．Markowich教授錶示感謝，他們在我的學業研究中給予瞭關心和指導，同時也感謝丁夏畦院士和郭柏靈院士在我的學術研究中給予的熱情幫助．
　　本書作為Sobolev空問與偏微分方程的入門書，適閤作為偏微分方程、微分動力係統、實分析、泛函分析、計算數學、數學物理、控製論等理工科相關方嚮研究生的教材和教學參考書，也可作為數學、物理、力學、工程等領域青年教師或科研人員的參考書．由於編者學識有限，加之初次嘗試，不妥、片麵甚至證明疏漏之處也在所難免，歡迎讀者批評指正，

現代數學中的數學分析與泛函基礎：從經典理論到前沿應用 本書旨在為讀者構建一套堅實的現代數學分析基礎，重點聚焦於測度論、勒貝格積分理論、$L^p$ 空間、泛函分析的基本概念，以及這些理論在處理經典數學物理問題中的應用。全書內容組織嚴謹，邏輯清晰，旨在引導讀者從微積分的直觀概念齣發，逐步深入到高維空間和抽象嚮量空間的嚴密結構中。 第一部分：測度論與勒貝格積分的基石 本部分是理解現代概率論、調和分析乃至偏微分方程理論的必要前提。我們首先將迴顧傳統黎曼積分的局限性，並引入集閤代數、$sigma$-代數和測度的嚴格定義。 1. 測度的構建： 我們將詳細探討卡拉索多裏（Carathéodory）的外測度構造方法，並以此為基礎定義波雷爾 $sigma$-代數（Borel $sigma$-algebra）。接著，通過 $sigma$-可加性原理，精確地構造齣勒貝格測度（Lebesgue Measure）在 $mathbb{R}^n$ 上的唯一性。測度的性質，如單調性、完備性、可數可加性等，將被深入剖析。 2. 可測函數與勒貝格積分： 可測函數的定義是連接測度論與積分理論的橋梁。本書將區分簡單函數（Simple Functions）、非負可測函數和一般的可測函數。勒貝格積分的定義將通過逼近過程（如逐點極限下的積分交換）來建立，這與黎曼積分的構造方式形成鮮明對比。我們將證明勒貝格積分優於黎曼積分的性質，特彆是著名的單調收斂定理（Monotone Convergence Theorem, MCT）和法圖定理（Fatou's Lemma）。 3. $L^p$ 空間的引入： 測度論的直接應用體現在函數的 $L^p$ 範數的定義上。我們將引入積分空間的完備性概念，並詳細推導閔可夫斯基不等式（Minkowski Inequality），這為後續泛函分析中討論空間結構提供瞭量化工具。此外，還將探討積分函數空間之間的關係，例如 $L^1$ 與 $L^infty$ 之間的對偶性聯係。 第二部分：泛函分析的核心概念 本部分將視角從 $mathbb{R}^n$ 上的函數空間提升到更抽象的嚮量空間，為解決微分方程的弱解理論奠定基礎。 1. 賦範綫性空間與巴拿赫空間： 我們首先定義範數、距離和拓撲結構。綫性空間的完備性是泛函分析的靈魂所在，本書將集中闡述巴拿赫空間（Banach Spaces）的定義及其重要性。我們將舉例說明經典空間（如 $mathbb{R}^n$、連續函數空間 $C[a, b]$、以及 $L^p$ 空間）如何構成巴拿赫空間。 2. 連續綫性算子： 綫性算子的定義、範數的計算以及有界性判據將是本節重點。通過研究算子空間的拓撲結構，我們將探究算子的連續性與有界性之間的等價關係。 3. 綫性泛函與對偶空間： 綫性泛函是研究泛函分析的另一個核心要素。我們將詳細介紹漢-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）的深刻內涵及其在構造分離超平麵中的作用。更重要的是，我們將構建 $L^p$ 空間的對偶空間，證明 $L^p$ 空間的對偶空間是 $L^q$ 空間（其中 $1/p + 1/q = 1$），這是對黎曼-勒貝格引理（Riesz-Fischer Theorem）的初步鋪墊。 4. 開映射定理、閉圖像定理與一緻有界性原理： 這三個是巴拿赫空間理論中的三大基石定理。我們將對這些定理進行嚴格證明，並闡述它們在確保綫性算子行為“良好”方麵的重要意義。這些工具為後續求解微分方程的算子方法提供瞭必要的理論保障。 第三部分：函數空間的結構與收斂性理論 本部分關注在函數空間中，極限、收斂性以及函數的良好性是如何被精確描述的。 1. 函數的正則性： 區彆於簡單的拓撲收斂，本書將引入更強的收斂概念。我們將討論函數在 $L^p$ 範數下的收斂性，並將其與逐點收斂、依測度收斂進行比較。 2. 緊緻性概念： 緊緻性在分析中至關重要，它允許我們將無限維問題轉化為有限維的近似問題。我們將引入 $epsilon$-網格的概念，並著重討論等度連續性（Equicontinuity）與緊緻性之間的關係。阿茲拉-阿斯柯裏定理（Arzelà-Ascoli Theorem）將在 $C[a, b]$ 空間中得到詳細闡述和應用。 3. 希爾伯特空間基礎（選講）： 在完備的內積空間中，特彆是希爾伯特空間（Hilbert Spaces）中，正交性具有極強的幾何直觀。我們將簡要介紹內積的定義、正交基的概念，並展示傅裏葉級數（Fourier Series）在 $L^2$ 空間中的收斂性，這體現瞭 Riesz-Fischer 定理在具體空間中的力量。 第四部分：算子理論的初步展望 本部分將引導讀者初步接觸有界綫性算子在巴拿赫空間上的作用，為後續深入研究微分算子打下基礎。 1. 算子的譜理論基礎： 我們將定義算子的譜（Spectrum）的概念，即找到那些使得 $lambda I - T$ 不可逆的復數 $lambda$ 的集閤。雖然不會深入探討完整的譜理論，但會建立算子有界性和其譜半徑之間的基本聯係。 2. 壓縮映射原理： 巴拿赫不動點定理（Banach Fixed-Point Theorem）是求解特定類型方程（如常微分方程初值問題）的強大工具。我們將詳細論證其收斂性，並展示其在迭代法中的實際應用。 全書以嚴密的邏輯鏈條，將初級的拓撲概念、測度理論、積分理論，層層遞進地整閤進抽象的泛函分析框架之中。讀者在完成本書的學習後，將能夠熟練運用現代分析工具，為後續深入學習調和分析、微分幾何或專業的偏微分方程理論打下堅不可摧的分析基礎。本書適閤高等院校數學係高年級本科生及研究生作為分析學課程的進階教材或參考書。

評分☆☆☆☆☆

我是一名希望通過學習拓寬研究視野的博士生，目前在數值分析領域有一定基礎。Sobolev 空間與偏微分方程的理論基礎對我來說是必不可少的知識補充。我希望這本書能夠不僅僅局限於理論的堆砌，而是能夠提供一些實際的研究思路和方法。例如，在處理非綫性偏微分方程時，Sobolev 空間如何幫助我們建立能量估計，從而證明解的存在性和穩定性？書中是否會涉及一些非綫性算子的討論，以及在 Sobolev 空間中如何分析它們的性質？我尤其關心書中是否會討論一些與應用數學領域緊密相關的偏微分方程，比如流體力學、彈性力學、電磁場理論等，並結閤這些具體例子來講解 Sobolev 空間的應用。如果書中能夠提供一些關於如何從實際問題齣發，建立相應的數學模型，然後利用 Sobolev 空間和偏微分方程的理論來分析和求解的案例，那將非常有價值。我希望能通過這本書，掌握一套嚴謹的數學工具，能夠獨立地去分析和解決一些新的、具有挑戰性的偏微分方程問題。

評分☆☆☆☆☆

我對數學史和數學思想的演變非常感興趣，如果這本書能夠在這方麵有所體現，那將是一份額外的驚喜。例如，Sobolev 空間是如何被提齣和發展起來的？它在解決哪些曆史上的數學難題中發揮瞭關鍵作用？書中是否會介紹一些重要的數學傢，以及他們在這個領域的研究貢獻？我希望書中不僅僅是呈現知識點，更能引導讀者思考這些理論是如何産生的，以及它們背後所蘊含的深刻思想。在偏微分方程方麵，我希望看到書中能介紹一些經典的偏微分方程，並簡要迴顧它們在科學和工程領域中的重要應用，以及研究這些方程所麵臨的挑戰。通過瞭解這些曆史背景和應用場景，我希望能更深刻地理解 Sobolev 空間和偏微分方程在現代科學研究中的價值和意義。如果書中能提供一些關於如何將理論知識應用於實際問題，或者一些前沿的研究方嚮的介紹，那將更能激發我的學習興趣和探索欲望。

評分☆☆☆☆☆

對於初學者來說，理解像 Sobolev 空間這樣抽象的概念可能是一個巨大的挑戰。我希望這本書能夠以一種循序漸進、由淺入深的方式來介紹這些內容。如果書中能夠從 Lebesgue 積分和 $L^p$ 空間等基礎概念開始，逐步引入 Sobolev 空間的定義和基本性質，而不是直接跳到復雜的理論，那將極大地方便像我這樣的初學者。我也期待書中能有大量的圖示和直觀的解釋，幫助我們理解 Sobolev 空間的幾何意義和分析性質。例如，Sobolev 空間的範數是如何衡量函數及其導數的“光滑性”和“衰減性”的？書中是否會通過一些簡單的例子，比如一維情況下的 Sobolev 空間，來幫助我們建立起初步的認識，然後再推廣到高維情況？此外，我希望書中能有比較詳細的習題，並且最好包含一些提示或者解答，以便我們能夠及時檢驗自己的學習效果，並從中發現理解上的不足。如果這本書能夠幫助我建立起對 Sobolev 空間和偏微分方程的初步信心，並為我未來的深入學習打下堅實的基礎，那將是對我最大的幫助。

評分☆☆☆☆☆

這本書的書名就足以讓對偏微分方程領域心懷嚮往的讀者産生濃厚的興趣。Sobolev空間，作為現代分析工具中的一把利器，其重要性在偏微分方程的研究中不言而喻。這本書的齣現，無疑為想要深入理解偏微分方程背後深刻數學原理的讀者提供瞭一個絕佳的起點。我尤其期待它能夠清晰地闡述Sobolev空間是如何構建起來的，它的拓撲結構和分析性質是如何與偏微分方程的解的存在性、唯一性、光滑性等重要性質緊密相連的。書中是否會通過一些經典問題，比如泊鬆方程、熱方程、波動方程等，來展示Sobolev空間的實際應用，並逐步引導讀者建立起分析問題的框架，這是我非常關心的一點。而且，我希望能看到作者如何處理 Sobolev 嵌入定理、Poincaré 不等式這些核心概念，以及它們在證明偏微分方程解的先驗估計中的關鍵作用。畢竟，對這些工具的深刻理解，是能否真正掌握偏微分方程研究方法的基礎。希望書中能有足夠的例子和練習，幫助我們鞏固所學，而不是僅僅停留在理論層麵。

評分☆☆☆☆☆

作為一個對數學理論的邏輯嚴謹性有著較高要求的讀者，我非常看重一本教科書的結構安排和論證過程。這本書的題目暗示瞭它將聚焦於 Sobolev 空間與偏微分方程之間的內在聯係，這讓我對它在構建理論體係方麵的能力充滿瞭好奇。我期待書中能夠從最基礎的函數空間概念齣發，逐步引入 Sobolev 空間的定義，並給齣其完備性、範數等關鍵性質的詳細證明。在與偏微分方程的結閤方麵，我希望看到書中能夠清晰地闡述“弱解”的概念是如何産生的，以及 Sobolev 空間為何是定義和研究弱解的理想場所。特彆是，書中是否會深入探討不同階的 Sobolev 空間以及它們之間的關係，例如 $H^1$ 空間、$H^2$ 空間等，並且說明在解決不同類型偏微分方程時，選擇哪種 Sobolev 空間更為閤適。此外，對於作者如何組織偏微分方程的求解方法，是采用經典的譜方法、有限差分法，還是更現代的有限元法，亦或是以泛函分析為基礎的理論方法，我都非常感興趣，並希望看到其中的論證邏輯能夠清晰流暢，易於讀者理解。