Wolstenholme定理 pdf epub mobi txt 電子書下載 2025

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劉培傑數學工作室著

圖書標籤:

數論
素數
同餘
Wolstenholme定理
數學
定理
證明
代數
整數
模運算

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齣版社：哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560366876

版次：1

商品編碼：12351615

包裝：精裝

開本：16

齣版時間：2018-01-01

用紙：膠版紙

具體描述

編輯推薦

本書適閤大學生，研究生以及數論愛好者閱讀、鑽研。

內容簡介

Wolstenholme定理是數論中與素數有關的著名定理，可以利用多種方法對其進行證明。例如，多項式的方法，冪級數的方法以及群論的方法。本書利用初等數論的知識給齣瞭它的一個簡單證明，並對其進行瞭推廣。

探尋數論的深邃：一本關於模算術與費馬大定理的導讀書名：模術奇境：從初等數論到抽象代數的橋梁作者： [此處可填充一個假想的作者名，例如：A. N. 歐幾裏得之裔] 齣版社：幾何與算術聯閤齣版機構 ISBN： 978-1-937284-01-5 --- 內容簡介《模術奇境：從初等數論到抽象代數的橋梁》是一部緻力於為數學愛好者、高等教育學生以及渴望深入理解整數性質的專業人士，提供一套全麵而富有洞察力的數論導論。本書不囿於傳統的初級數論敘事框架，而是著重於構建起清晰的邏輯鏈條，將皮亞諾公理體係下最基礎的算術結構，逐步提升至代數結構的高級抽象層麵。全書結構嚴謹，內容橫跨數論的基石、丟番圖方程的挑戰，以及現代代數在數論中的應用。我們旨在揭示，看似孤立的數字性質背後，蘊藏著深刻的群論、環論和域論的思想。第一部分：整數的基石與算術的律法本書的開篇追溯瞭整數集 $mathbb{Z}$ 的結構性定義。詳細闡述瞭整除性的概念，並對其基本性質進行瞭嚴密證明，包括帶餘除法（歐幾裏得引理）的唯一性。此處，我們並未止步於此，而是將重點放在瞭最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的結構化處理上。我們深入探討瞭擴展歐幾裏得算法的幾何意義及其在密碼學中的初步應用潛力。隨後，章節轉嚮素數。素數被定義為不可約元素，並以嚴謹的方式證明瞭算術基本定理（唯一素因子分解定理）。為瞭增強理解的深度，本書引入瞭“高斯整數” $mathbb{Z}[i]$ 作為一個初步的環論實例，比較瞭它與普通整數環在因子分解上的異同，以此為引子，為後續的代數化討論埋下伏筆。第二部分：同餘關係的藝術與循環群的奧秘本書的核心部分之一在於對模算術（或稱同餘理論）的全麵解析。我們從最直觀的例子齣發，定義瞭同餘關係 $equiv pmod{n}$，並將其視為一種等價關係，從而自然地引齣剩餘類（或稱模 $n$ 的整數環，記作 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$）。深入探討瞭 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 作為一個環的性質，特彆是其中的乘法結構。這裏，我們重點研究瞭在模 $n$ 運算下具有乘法逆元的元素構成的集閤，即模 $n$ 的可逆元群，記作 $(mathbb{Z}/nmathbb{Z})^ imes$。本書詳細介紹瞭歐拉函數 $phi(n)$，並用群論的語言證明瞭歐拉定理（廣義費馬小定理）。我們追溯瞭從費馬小定理到歐拉定理的演進路徑，並解釋瞭它在現代公鑰加密係統中的基礎地位。更進一步，我們分析瞭這些乘法群的結構。通過對階的分析，我們引入瞭原根的概念，並探討瞭何時 $mathbb{Z}/nmathbb{Z}$ 的乘法群是循環群。這些討論不僅是數論的範疇，更是抽象代數（群論）在特定代數結構上的首次成功應用。第三部分：丟番圖方程的幾何與數論交匯點本書的第三部分將視角投嚮瞭具有悠久曆史的丟番圖方程。我們首先處理綫性丟番圖方程 $ax + by = c$，利用擴展歐幾裏得算法提供瞭完備的整數解集構造方法。隨後，我們將焦點轉移到更復雜的二次型方程。我們詳細分析瞭勾股定理的背景，並給齣瞭所有本原勾股三元組的參數化公式，並從二次剩餘的角度解釋瞭模運算如何決定方程的解的存在性。一個重要的章節專門用於解析佩爾方程 $x^2 - Dy^2 = 1$。本書不僅給齣瞭使用連分數展開來尋找其基本解的係統方法，還強調瞭佩爾方程與二次域 $mathbb{Q}(sqrt{D})$ 中的單位群之間的深刻聯係。通過這種視角，我們展現瞭代數數論的萌芽，即如何利用域的結構來解決傳統意義上的整數方程問題。第四部分：超越歐幾裏得：環與域的視野在本書的收尾部分，我們鞏固瞭前述章節中埋下的代數種子。我們正式引入環和域的定義，並將 $mathbb{Z}$ 明確識彆為一個歐幾裏得整環。這使得我們能夠對唯一因子分解整環（UFD）和主理想整環（PID）進行更為係統的分類和討論。我們探討瞭多項式環 $mathbb{Z}[x]$ 和 $mathbb{Q}[x]$ 的性質，並利用高斯引理的推廣思想，討論瞭哪些代數結構保持瞭“唯一因子分解”的特性，以及哪些結構（例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）會喪失這一特性。這種對比分析，極大地深化瞭讀者對“數”與“結構”之間關係的理解。 --- 本書特色 1. 結構間的關聯性：強調初等數論結論（如歐拉定理）與抽象代數概念（如循環群）的內在一緻性。 2. 嚴謹的代數立足點：每一個數論定理的證明都盡可能地嵌入在環論或群論的框架內，使讀者能看到知識體係的完整性。 3. 豐富的例證與應用導嚮：書中包含大量精選的習題，旨在鞏固對算法（如擴展歐幾裏得）的掌握，並展示數論在密碼學和代數結構分析中的實際價值。《模術奇境》是一本旨在提升讀者數論思維層次的著作。它不僅教授讀者如何計算，更引導讀者理解這些計算背後的深刻代數原理，是通往現代代數數論殿堂的堅實階梯。

用戶評價

評分☆☆☆☆☆

拿起《Wolstenholme定理》這本書，我立刻被它那股深厚的學術氣息所吸引。這本書就像一位飽經風霜的智者，用沉靜而有力的語言，講述著數學世界裏一個不為人知的故事。我關注的重點在於，這本書如何將一個可能對許多人來說相當陌生的數學定理，以一種既嚴謹又易於接受的方式呈現齣來。我希望它不會僅僅停留在定理的陳述和證明，而是能夠深入挖掘定理背後的數學思想和它在整個數學體係中的地位。例如，作者是否會解釋為什麼這個定理很重要？它解決瞭數學史上的哪些問題？它又催生瞭哪些新的研究方嚮？我期待書中能夠有一些“點睛之筆”，通過巧妙的例子或類比，讓我豁然開朗，理解定理的核心精髓。同時，我也很想知道，這本書的受眾定位是怎樣的？是為數學專業的學生設計的，還是也麵嚮對數學感興趣的普通讀者？如果後者，那麼書中必然會包含大量的解釋和鋪墊，幫助非專業讀者跨越理解的鴻溝。這本書讓我對接下來的閱讀充滿瞭好奇，渴望在這個定理的世界裏，發現更多令人驚嘆的數學智慧。

評分☆☆☆☆☆

我對《Wolstenholme定理》這本書的初印象，可以用“嚴謹而富有挑戰性”來形容。翻開書頁，撲麵而來的是清晰的數學符號和符號化的語言，這無疑錶明瞭本書的專業性。對於我這樣一位對數論有著濃厚興趣，並且具備一定數學基礎的讀者來說，能夠深入探究一個以數學傢名字命名的定理，本身就是一種智力上的冒險。我特彆期待書中能夠對Wolstenholme定理的證明過程進行詳細的剖析，包括各種證明方法的比較和分析，以及不同證明思路的優劣之處。我希望作者能夠循序漸進地引導讀者，從基本的概念入手，逐步構建起理解定理的思維框架。同時，我也希望書中能夠包含一些關於該定理的推廣或變體，這能幫助我拓寬視野，理解定理的普適性和其在更廣泛數學領域中的地位。對於書中可能齣現的復雜證明，我希望能有相應的解釋和輔助說明，避免我因為一兩個難以理解的步驟而望而卻步。我還會關注書中是否會討論與Wolstenholme定理相關的其他重要概念或猜想，例如它是否與某些數論中的未解之謎有關聯。總而言之，我期望這本書能夠成為我深入理解Wolstenholme定理及其相關數學知識的一本重要參考書，讓我能在嚴謹的數學邏輯中找到探索的樂趣。

評分☆☆☆☆☆

我最近偶然翻閱瞭這本書《Wolstenholme定理》，起初是因為書名裏的“定理”二字引起瞭我的好奇。我並非數學專業人士，但一直對那些能夠以簡潔的數學語言解釋復雜現象的定理充滿瞭敬畏。這本書的封麵設計簡潔而又不失學術感，讓我對接下來的閱讀充滿瞭期待。我特彆想知道，一個名字聽起來如此“古老”的定理，究竟隱藏著怎樣的數學智慧，它在現代數學中扮演著怎樣的角色？書中是否會用一種易於理解的方式來闡述其核心思想？我希望它能像一位循循善誘的老師，帶領我這個門外漢一步步走進數學的殿堂，而不是枯燥乏味的公式堆砌。我尤其關注書中是否會探討該定理的曆史淵源，例如它是由誰提齣的，在什麼時代背景下産生的，以及它與其他數學領域之間可能存在的聯係。如果書中能夠穿插一些曆史故事或者與提齣者相關的趣聞軼事，那將大大提升閱讀的趣味性，也更容易讓我記住這個定理。此外，我還會留意書中是否包含一些實際應用或與之相關的例子，這樣即便我不是數學傢，也能體會到數學的魅力和它的力量。我希望這本書能成為我瞭解數學世界的一個窗口，讓我感受到數學的邏輯之美和其背後蘊含的深刻哲理，而不是僅僅停留在錶麵。

評分☆☆☆☆☆

這本書《Wolstenholme定理》，讓我著迷的是它所承載的那份數學的純粹與精妙。閱讀過程中，我仿佛置身於一個由邏輯和推理構築的迷宮，而Wolstenholme定理則是指引我走齣迷宮的關鍵綫索。我特彆欣賞作者在描述定理時所展現齣的那種清晰的思路和嚴密的論證。即使麵對抽象的概念，我也能感受到其中蘊含的邏輯之美，就像欣賞一幅精雕細琢的藝術品。書中對定理的起源和發展曆程的追溯，也為我提供瞭寶貴的曆史視角，讓我瞭解到這個定理是如何在數學傢的智慧碰撞中逐漸成型的。我非常想知道，那些在數論領域留下深刻印記的偉大數學傢們，是如何思考和解決這些問題的。這本書不僅僅是關於一個定理的介紹，它更像是一次數學思想的旅程，引領我去感受數學的魅力。我希望書中能夠包含一些圖示或可視化工具，來幫助我更直觀地理解定理的幾何意義或其在不同情境下的錶現。此外，我也期待書中能夠探討Wolstenholme定理與現實世界之間可能的聯係，盡管我知道它可能是一個純粹的數學定理，但任何能夠展現數學力量的例子都會讓我感到興奮。

評分☆☆☆☆☆

《Wolstenholme定理》這本書，給我最大的感受是它對於數學概念的細緻打磨和深入挖掘。作為一名對數學抱有濃厚興趣的業餘愛好者，我總是在尋找那些能夠帶給我啓發和深刻理解的書籍。我特彆期待這本書能夠展現Wolstenholme定理的數學美學，不僅僅是其形式上的優雅，更是其內涵的深刻。我希望作者能夠循序漸進地引導讀者，從基礎概念齣發，逐步構建起對定理的完整認識。在這個過程中，我希望能有清晰的邏輯鏈條，讓我能夠理解每一個證明步驟背後的原因。我非常關注書中是否會提供一些案例研究，展示Wolstenholme定理在解決具體數學問題時的應用。即便這些應用可能比較專業，但如果能夠以一種易於理解的方式呈現，那將非常有價值。此外，我還會留意書中是否會討論與Wolstenholme定理相關的其他數學分支，例如它是否與代數、幾何或其他數論分支有著緊密的聯係。這本書對我而言，不僅僅是一本介紹定理的書，更是一次深入數學殿堂的探索之旅，我希望在閱讀過程中，能夠不斷獲得新的認知和啓發，感受到數學世界的博大精深。