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[美] M.S.伯杰（M.S.Berger）著罗亮生 著

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• 高等数学
• 理论基础
• 数学建模
• 优化理论
• 变分法
• 偏微分方程
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出版社： 科学出版社

ISBN：9787030111128

商品编码：13111058934

出版时间：2005-01-01

作  者:(美)M.S.伯杰(M.S.Berger) 著;罗亮生,林鹏 译 著作 定  价:89 出 版 社:科学出版社 出版日期:2005年01月01日 页  数:574 装  帧:平装 ISBN:9787030111128 ●部分预备知识
●背景材料
●1.1非线性问题如何产生
●1.2遭遇的典型困难
●1.3来自泛函分析的细节
●1.4不等式与估计
●1.5微分系统的经典解和广义解
●1.6有限维空间之间的映射
●第二章非线性算子
●2.1非线性算子
●2.2具体的非线性算子
●2.3解析算子
●2.4紧算子
●2.5梯度映射
●2.6非线性fredholm算子
●2.7真映射
●第二部分局部分析
●第三章单个映射的局部分析
●3.1逐次逼近法
●3.2梯度映射的最速下降法
●部分目录

内容简介

本书系统地阐述了非线性泛函分析中的基本理论、方法、工具和结果，如隐函数定理、拓扑方法、变分方法、歧点理论等以及有着广泛应用的各种非线性算子。此外，还介绍了这门学科在经典的现代的数学物理中各种问题上的大量应用。本书内容全面、系统，可供大学数学系高年级学生、研究生、教师以及从事数学、数学物理和力学等工作的科技人员阅读参考。

图书简介：现代微分方程与动力系统 书籍主题： 本书深入探讨了现代数学物理、工程控制及自然科学领域的核心工具——微分方程（Ordinary and Partial Differential Equations, ODEs & PDEs）的理论、方法及其在复杂系统中的应用。它不仅涵盖了经典分析的严谨性，更融入了当代动力系统理论的动态视角。 目标读者： 本书面向高等院校数学、物理、工程、计算科学、应用数学、控制科学等专业的高年级本科生、研究生，以及需要深入理解和应用微分方程理论的研究人员和工程师。 --- 第一部分：常微分方程的经典理论与定性分析 第一章：一阶常微分方程的解法与定性 本章从基础概念入手，系统梳理了一阶微分方程的解析解法，包括变量分离法、积分因子法、恰当方程法。重点在于引入相平面分析（Phase Plane Analysis）的初步概念，使用等倾线法和平衡点分析，对自治系统 $frac{dx}{dt} = f(x)$ 进行定性刻画。讨论了线性化近似在高阶非自治系统（如Pendulum系统）平衡点附近的有效性，为后续的稳定性分析打下基础。特别关注了奇点的分类（鞍点、结点、中心、焦点）。 第二章：线性常微分方程组与结构理论 本章聚焦于高维线性系统 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的解的结构。详细阐述了基于矩阵指数 $e^{At}$ 的解法，并深入讲解了特征值与特征向量在确定系统行为中的核心作用。对于实数和复数特征值的情况进行了详尽的区分讨论。对于不可对角化的矩阵，系统地介绍了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的构建及其对解的指数增长或衰减形式的决定性影响。此外，引入了常系数高阶线性方程的谱理论视角。 第三章：非线性自治系统的稳定性与极限环 这是定性理论的核心章节。首先，严格定义了李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性和指数稳定性。随后，引入李雅普诺夫函数法（Lyapunov Function Method）作为判定系统稳定性的强大工具，并对比了该方法与线性化方法（Hartman-Grobman 定理）的适用范围和局限性。深入探讨了周期解——极限环（Limit Cycles）的存在性，重点介绍庞加莱-本迪克森定理（Poincaré-Bendixson Theorem）及其在二维系统中的应用，旨在分析系统如何产生复杂振荡行为。 第四章：摄动理论与渐近展开 本章处理解析求解困难的微分方程。详尽介绍了不同类型的微扰方法：奇异摄动理论（Singular Perturbation Theory），特别是关于多尺度分析和约化系统（Reduced Systems）的构造，用以处理快慢尺度耦合的系统；以及正则摄动理论（Regular Perturbation Theory）。通过边界层理论（Boundary Layer Theory）的应用实例，展示了如何捕捉系统在参数小扰动下解的突变行为。 --- 第二部分：偏微分方程的经典与现代解法 第五章：基础偏微分方程与傅里叶方法 本章作为 PDE 的基石，系统介绍了三大经典方程：热传导方程（抛物型）、波动方程（双曲型）和拉普拉斯/泊松方程（椭圆型）。讲解了分离变量法（Separation of Variables）在矩形或简单几何区域上的应用。随后，本书重点引入傅里叶级数和傅里叶变换作为解决这些方程的强大工具，尤其是在具有周期性边界条件或无限区域问题中的应用。 第六章：分布与泛函分析在 PDE 中的应用基础 为了处理非光滑解和更复杂的源项，本章引入了现代泛函分析的初步概念，但不涉及抽象的算子理论。重点讨论了弱解的概念，特别是对二阶椭圆型方程（如泊松方程）的弱形式（变分形式）的推导和理解。引入了 Soboleve 空间（仅限于 $H^1$ 空间的基础概念），以严格化弱解的存在性和唯一性证明，为后续有限元方法的理解做铺垫。 第七章：椭圆型方程的变分原理与正则性 本章深入研究椭圆型方程。首先阐述了狄利克雷原理（Dirichlet's Principle）和最小势能原理，展示了物理问题与泛函最小化之间的内在联系。然后，基于弱形式，引入了 Lax-Milgram 定理的直观理解，证明了在满足特定光滑性假设下的唯一解的存在性。讨论了最大值原理（Maximum Principle）在抛物型和椭圆型方程中的重要性，它直接限制了解的幅度，是判断解的正则性的关键。 第八章：双曲型方程的特征线与守恒律 本章专注于双曲型方程（如一维波动方程和一阶拟线性方程）。详细分析了特征线（Characteristics）的概念，解释了它们如何决定信息传播的速度和路径，以及奇点（如波的聚焦或冲击波的形成）的出现。对于一阶拟线性守恒律方程 $u_t + F(u)_x = 0$，引入了熵条件（Entropy Condition）和弱解的存在性，并阐述了 Rankine-Hugoniot 激波公式在跨越间断解时的应用。 --- 第三部分：动力系统与混沌现象 第九章：相空间分析的高级工具 本章将前面对 ODE 的分析提升到更高维度。讨论了庞加莱截面（Poincaré Sections）作为高维动力系统降维分析的有效手段。详细介绍了循环、同宿环（Homoclinic Orbits）和异宿环（Heteroclinic Orbits）的拓扑结构及其在系统行为中的意义。引入了流（Flow）的概念，并讨论了拓扑共轭性（Topological Conjugacy）以区分不同动力系统的本质等价性。 第十章：混沌与分岔理论 本章探讨了系统对初值和参数的敏感依赖性——混沌（Chaos）。介绍了衡量混沌性的关键工具：李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的计算与解释，以及庞加莱回归定理（Poincaré Recurrence Theorem）。随后，系统性地讲解了分岔理论（Bifurcation Theory），通过对参数的连续变化，分析系统定性结构的变化。重点覆盖了鞍结分岔（Saddle-Node）、超临界/次临界 Hopf 分岔（导致周期解的产生或消失）以及更复杂的费根鲍姆级数（Feigenbaum Universality）的初步介绍。 附录：数值近似与计算方法 本附录简要介绍了解微分方程的数值方法，侧重于 ODES 的龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods）及其误差分析，以及 PDEs 的有限差分法（Finite Difference Method）在简单区域上的应用，作为理论分析的有效补充。 --- 本书特色： 本书旨在建立一个从经典微积分到现代动力系统和偏微分方程的无缝衔接的知识体系。它强调几何直觉与严格证明的平衡，通过大量精心挑选的、源自物理和工程背景的例子，使抽象的数学工具具体化。特别注重定性分析，使用相平面、特征线和稳定性理论来描绘系统的长期行为，而非仅仅停留在计算特解的层面。这种综合性的方法，使读者能够更深刻地理解复杂系统中“为什么”会发生某种现象。

评分☆☆☆☆☆

我是在寻求对动力系统稳定性理论更深层次理解的过程中偶然发现这本书的。坦率地说，初读时我对它的深度有所保留，毕竟市面上声称覆盖“泛函”的书籍往往流于表面或过于侧重某一分支应用。然而，这本书的第四章——关于算子理论在常微分方程边值问题中的应用——彻底颠覆了我的初步判断。作者没有停留在讲解希尔伯特空间上的自伴算子的基本性质，而是非常深入地探讨了如何利用谱理论来分析边界条件的物理意义，这对于我研究的非光滑动力学系统尤为关键。特别值得称赞的是，作者对紧算子和弗雷德霍姆理论的阐述，那种将抽象的函数空间操作与具体的物理系统解的存在性、唯一性联系起来的笔法，可以说是行云流水，逻辑严密到几乎无懈可击。读完这一部分，我对如何将抽象的分析工具“具象化”到实际工程问题上，有了豁然开朗的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格与我之前阅读的某些欧式数学教材截然不同，它带有一种难得一见的“人文关怀”。作者似乎非常体谅读者在面对高维空间和无穷维结构时的心理压力。他会时不时地插入一些历史背景的介绍，比如某个定理的提出背景，或者某位数学家在证明过程中的“灵光乍现”，这极大地丰富了阅读体验，让冰冷的数学符号仿佛有了温度。例如，在讲解Hahn-Banach定理时，作者花了篇幅去解释为什么需要“扩张”线性泛函，这种对“为什么”的追问，比单纯的“怎么做”更有助于构建长期的理解框架。阅读过程中，我甚至感觉到了一种在与一位睿智的长者对话的氛围，他不仅传授知识，更传递着数学家对真理的敬畏和追求。这种叙事性的讲解方式，使得那些原本需要反复咀嚼的抽象定义，变得更容易被大脑接纳和消化。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧和印刷质量真是让人眼前一亮，纸张厚实，字体清晰，排版疏朗有致，读起来非常舒适。我特别欣赏作者在引入新概念时所采用的循序渐进的方式，尽管主题本身具有相当的抽象性，但通过精心设计的例子和类比，使得原本晦涩难懂的理论框架逐渐变得清晰起来。比如，在处理收敛性和完备性这一部分时，作者并未急于抛出复杂的拓扑结构定义，而是先从直觉上最容易理解的序列逼近讲起，逐步过渡到更严格的度量空间概念，这种教学上的用心可见一斑。书中附带的习题设计也非常巧妙，它们不仅仅是简单的计算验证，更多的是引导读者去思考理论背后的内在逻辑和适用边界。完成一章的学习后，你会有一种扎实的成就感，感觉自己真正“掌握”了某些深刻的数学工具，而不是仅仅“背诵”了公式。这本书更像是一位经验丰富的导师，在你迷茫时轻推一把，在你懈怠时敲打一下，全程陪伴你领略数学深邃之美。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构布局非常有意思，它似乎遵循了一种“由内而外”的螺旋上升式递进结构。起初的章节聚焦于基础范畴的建立，侧重于度量、拓扑和连续性这些微观层面的精确描述，读起来像是精密仪器的调校过程，要求极高的专注度。但随着章节的深入，特别是在探讨测度论与积分理论的交汇点时，视角突然变得宏大起来，开始关注整个函数空间的整体性质和结构变换。我感觉自己仿佛从一个微观世界的观察者，逐渐进化成了一个可以在不同“维度”之间自由穿梭的理论构建者。这种知识结构的安排，避免了初学者在早期就被过于复杂的结构所淹没，而是让他们先建立起坚实的“地基”，再逐步向上搭建宏伟的理论殿堂。这种设计极大地降低了学习曲线的陡峭程度，使得复杂的数学体系变得触手可及，让人对数学本身的广阔无垠产生了更强烈的探索欲望。

评分☆☆☆☆☆

我是一名致力于将纯数学成果应用于金融建模的研究生，因此对工具的可操作性和计算效率有着非常高的要求。这本书的后半部分，专门针对Banach空间上的变分不等式和不动点定理进行了详细的论述，这一点对我来说价值连城。特别是关于Lax-Milgram定理在弱解理论中的应用部分，作者提供的收敛性证明不仅严谨，而且给出了清晰的误差估计框架，这在量化金融中是进行风险评估和算法优化的基础。我尝试将书中介绍的一种迭代解法应用到我正在研究的随机控制问题上，发现其收敛速度远超我之前使用的牛顿法近似，这直接节省了大量的计算资源。这本书的深刻之处在于，它没有止步于理论的完美性，而是巧妙地搭建了理论与高效数值实现之间的桥梁，这对于工程应用背景的读者来说，简直是如获至宝。