店铺： 科学出版社旗舰店
出版社： 科学出版社
ISBN：9787030548504
商品编码：23257347781
包装：平装
出版时间：2017-12-04
页数：400
字数：400
具体描述
商品参数
| 高中数学解题方法与技巧典例分析 | ||
| 曾用价 | 59.00 | |
| 出版社 | 科学出版社 | |
| 版次 | 1 | |
| 出版时间 | 2017年12月 | |
| 开本 | ||
| 作者 | 马岷兴 等 | |
| 装帧 | 平装 | |
| 页数 | 400 | |
| 字数 | 400 | |
| ISBN编码 | 9787030548504 | |
内容介绍
本书共29章，分为上篇和下篇。上篇介绍高中数学解题中重要的22类解题方法及其子方法：每一章以一种数学方法为核心，首先，阐述该数学方法的定义、步骤、使用范围等；其次，对于高中的典型例题，进行详细分析和归纳解题经验；*后，提供若干习题，供读者进行针对训练。下篇主要为数学新题赏析：分别对数学作文题、情境题、建模题、探索题、实验题、思维题、文化题进行点评与赏析。
目录
目录
上篇 解题方法
第1章 数学抽象的方法 3
1.1 符号化 3
1.2 代数化 6
1.3 图示化 10
第2章 分类与整合的方法 14
2.1 分类与整合 14
2.2 分解与组合 20
2.3 局部与整体 22
第3章 数学归纳法 27
3.1 第*数学归纳法 27
3.2 第二数学归纳法 31
第4章 递推的方法 35
4.1 累加法 35
4.2 累乘法 38
4.3 不动点法 39
4.4 特征根法 41
4.5 数列求和方法 43
第5章 演绎证明法 47
5.1 综合法 47
5.2 分析法 50
5.3 比较法 53
5.4 反证法 55
5.5 反例法 57
5.6 放缩法 58
第6章 逻辑推理方法 63
6.1 演绎推理法 63
6.2 集合思想 66
6.3 容斥原理 69
6.4 抽屉原理 71
6.5 计数原理 74
第7章 算法的方法 81
7.1 迭代法 81
7.2 穷举法 84
第8章 统计方法 89
8.1 抽样的方法 89
8.2 样本估计总体的方法 92
8.3 频率估计概率的方法 98
第9章 概率方法 105
9.1 图表法 105
9.2 古典概型方法 108
9.3 几何概型方法 111
9.4 互斥事件与条件概率方法 114
第10章 数形结合法 119
10.1 由“数”化“形” 119
10.2 由“形”化“数” 125
10.3 “数”“形”相生 131
第11章 函数法 137
11.1 待定系数法 137
11.2 分离参数法 142
第12章 方程法 147
12.1 设元法 147
12.2 根的判别式法 153
12.3 点差法 157
第13章 代换法 162
13.1 换元法 162
13.2 配方法 166
13.3 参数法 169
第14章 几何变换法 175
14.1 几何变换法 175
14.2 面积法 180
第15章 逐步逼近法 186
15.1 降维法 186
15.2 消元法 191
15.3 逐步调整法 197
15.4 极限法 202
第16章 数学模型法 206
16.1 函数模型 206
16.2 三角模型 210
16.3 数列模型 211
16.4 回归分析模型 213
16.5 概率分布列模型 219
第17章 特殊化与一般化的方法 225
17.1 特殊化法 225
17.2 一般化法 231
17.3 特殊化VS一般化 235
第18章 联想法 239
18.1 形似联想法 239
18.2 类比联想法 242
18.3 关系联想法 245
第19章 猜想法 249
19.1 不完全归纳法 249
19.2 类比法 253
19.3 演绎猜想法 257
第20章 构造法 261
20.1 构造辅助图形 261
20.2 构造辅助式 267
20.3 构造函数法 271
第21章 模式法 278
21.1 变量替换模式法 278
21.2 对称模式法 281
21.3 同一模式法 285
第22章 逆向思维法 288
22.1 对称逆向思维法 288
22.2 差异逆向思维法 290
22.3 途径倒转逆向思维法 294
下篇 新题赏析
第23章 数学作文题 301
23.1 综述 301
23.2 新题赏析 305
第24章 数学情境题 316
24.1 综述 316
24.2 典例分析 318
24.3 针对练习 324
第25章 数学建模题 327
25.1 综述 327
25.2 典例分析 330
25.3 针对练习 337
第26章 数学探索题 339
26.1 综述 339
26.2 典例分析 340
26.3 针对练习 343
第27章 数学实验题 344
27.1 综述 344
27.2 典例分析 346
27.3 针对练习 348
第28章 数学思维题 350
28.1 综述 350
28.2 典例分析 350
28.3 针对练习 354
第29章 数学文化题 356
29.1 综述 356
29.2 典题分析 361
29.3 针对练习 384
在线试读
上篇 解题方法
第1章 数学抽象的方法
数学在本质上研究的是抽象的东西，因此可以推断，数学的发展所依赖的*重要的基本思想也就是抽象，因为只有通过抽象才能得到抽象的东西。①
“抽象”一词源于拉丁语abstracio，其本意是排除、抽取的意思。现在人们对抽象的理解一般有两种，一种是用来形容那种远离具体经验，因而不太容易理解的对象性质的程度；另一种是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。后者反映出抽象是一种思维活动，也是本书的研究内容。
抽象性是数学的基本特点之一，抽象也是数学活动*基本的思维方法。作为方法的数学抽象抽取的是事物在数量关系和空间形式等方面的本质属性，进而提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。即从研究对象或问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其他的属性，借助定义和推理进行逻辑构建的思维过程和方法。②
数学的一切活动，从概念到方法，实质上都是抽象的，大到组织一个数学体系所用的公理化方法，在实际中应用的数学模型方法，小到一个概念的给出，一个计算过程的建立，一个证明技巧的发现，甚至于一个问题的表征都需要用到数学抽象。由此也可以看出数学抽象是多种多样的，也是多层次的。③
1.1 符号化
方法点拨
英国著名数学家罗素说过：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”怀特海也说：“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的”。符号化是指将实际问题转化为数学问题，建立数学模型的过程。符号化超*了实际问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于某一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提高到一个更高的水平，而这是数学活动和数学思考*本质的东西。
典例精讲
【典例1】计算：
【解析】本题可以通过直接计算得到，但是比较麻烦。观察代数式的结构发现，其有重复的元素设将原问题符号化，原式。
【评注】此题如果采用常规算法则显然麻烦又容易出错，但是通过数值设元，把数的运算抽象为式的运算，这样解题就显得简单、便捷。
【典例2】（2017全国Ⅰ卷）函数f(x)在单调递减，且为奇函数。若，则满足的x的取值范围是。
【解析】因为函数f(x)为奇函数，若，所以。又因为，因为函数在单调递减，将其符号化：所以，选。
【评注】本题中，将符号化为，有利于准确找到自变量x的不等式组，提高解题准确率。
【典例3】（2014全国I卷）已知分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且，则△ABC面积的*大值为。
【解析】本题的核心的条件是直接展开，没法化简。观察到，考虑将以上等式进一步“形式化”，得，观察到以上等式每个项都含有正弦值，故而考虑将“角化为边”，由正弦定理，得，利用均值不等式进行放缩，得。
【评注】本题的关键是根中的“2”进行符号化，代换为a，而后根据三角变换的基本方法：边角互化，降次归一等进行化简求解。
【典例4】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。则矩形温室的蔬菜的种植面积*大值是m2。
【答案】648。
【解析】设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800m2。蔬菜的种植面积S=(a-4)·(b-2)=ab-4b？2a+8=808-2(a+2b)。结合基本不等式，∴S≤808-42ab=648(m2)。当且仅当a=2b，即a=40m，b=20m时，Smax=648m2。
【评注】将生活问题符号化，用数学的眼光来认识世界。让我们的大脑不光有感性的猜想，还有理性的思辨。
【典例5】如图1-1所示，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的*短路径条数为（）。
图1-1 A.24 B.18 C.12 D.9
【解析】通过分析，发现：从E到F，再到G的过程中，为了保证*短路程，故每到一个路口只能向上或者向右。从点E到点F，无论如何走，只需要向右走2个格，向上走2格，故本问题可以抽象为组合问题：在4个步骤中，选取2步向右，2步向上，有24C=6种走法；同理，从点F到点G，可以抽象为组合问题：在3个步骤中，选取2步向右，1步向上，有23C=3种走法。*后利用分步乘法原理，得6×3=18种。选B。
【评注】本题初次分析，可以尝试用穷举法完成，但是容易出错，没有触及问题的本质。本题等价于从点E到点G，无论如何走，只需要向右走m个格，向上走n格。可以抽象为组合问题：在m+n个步骤中，选取m步向右，n步向上，有种走法。
【典例6】（2013四川卷）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第*次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第*次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（）。
A.14 B. 12 C.34 D.78
【解析】本题中有两个核心元素：相邻的两个彩灯，故而将问题归类为几何概型的面积问题。设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第*次亮的时刻为X、Y，X、Y相互独立，由题意可知，如图1-2所示。两串彩灯第*次亮的时间相差不超过2秒的概率为图正方形正方形。
【评注】本题的关键是甲串彩灯、乙串彩灯第*次亮的时刻为X、Y，将原问题代数化，通过分析发现其本质是一个线性规划模型，通过作出面积示意图，进而加以求解。学生在处理本题的时候，茫然不知所措，反应过来利用几何概型将生活问题符号化，再图示化后，则问题迎刃而解。
针对练习
1.（2015清华自招）从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（）。
A.105种 B.225种 C.315种 D.420种
2.计算的值。
参考答案
1.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，假设此点为A，从A逆时针方向的点依次记为kA（k=1，2，3，…，7），顺时针方向的顶点依次记为要构成以A为钝角的钝角三角形，则n+m≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C。
2.【解析】本题也可以考虑直接平方，进而寻求化简求值。
1.2 代数化
方法点拨
笛卡儿曾设想：“把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程。”可见代数化的极大价值与意义。代数化有两层含义：一方面，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，*终解决几何问题；另一方面，用代数的语言抽象出数学问题的本质和规律，通过处理代数问题，*终解决数学问题。
图书简介： 《几何拓扑基础与前沿探索》 作者： [此处可虚构一位知名数学家或教授的姓名，例如：张伟教授] 出版社： [此处可虚构一家专业学术出版社的名称，例如：科学技术文献出版社] 出版日期： [此处可虚构一个近期或经典的年份，例如：2023年10月] --- 内容概述：跨越维度的数学视界 本书旨在为对现代数学，特别是几何学和拓扑学领域抱有浓厚兴趣的读者提供一个既系统深入又充满启发性的导览。它并非高中数学的简单延伸或技巧汇编，而是一部直面高等数学核心概念、聚焦抽象结构与空间不变性的专业性著作。全书结构严谨，内容前沿，致力于构建起读者理解现代数学研究范畴的坚实桥梁。 第一部分：经典几何学的重建与深化 本书伊始，我们并未停留在欧几里得几何的平面或三维空间范畴，而是着手于对几何学基本概念进行更深层次的哲学与代数化重构。 第一章：仿射几何与射影几何的代数基础 本章将抛弃依赖直觉的绘图方法，转而采用线性代数工具来严格定义仿射空间和射影空间。我们详细阐述了齐次坐标系在处理无穷远点和对偶性问题上的威力。内容涵盖： 向量空间到仿射空间的映射： 明确点（Point）与向量（Vector）的区别与联系。 射影平面上的对偶原理： 阐释“点集”与“线集”之间完美对称性的内在逻辑。 二次曲线的射影分类： 利用矩阵的行列式和特征值，对椭圆、双曲线、抛物线进行统一的几何描述与代数判据。 第二章：微分几何入门——曲线与曲面的局部分析 本部分是连接代数与几何的枢纽，引入了微积分和张量分析的观点来研究光滑结构。重点关注于局部性质的精确计算。 空间曲线的内蕴几何： 深入探讨挠率（Torsion）和曲率（Curvature）的概念及其几何意义，通过弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）标架，揭示曲线在三维空间中的“扭曲”和“弯曲”程度。 曲面的基本形式理论： 详细推导第一、第二基本形式，它们是描述曲面度量的核心工具。 高斯曲率与平均曲率： 阐明高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的深远意义，即高斯曲率是曲面的一个内蕴量，不依赖于曲面嵌入的三维空间。这为后续的拓扑学研究埋下了伏笔。 第二部分：拓扑学：研究“可形变性”的科学 拓扑学是现代几何学的核心领域之一，本书用大量篇幅来介绍其抽象美感和强大的分类能力。拓扑学关注的是在连续形变（拉伸、挤压，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质。 第三章：点集拓扑学的严谨基石 为理解更高级的结构，必须先建立稳固的点集拓扑基础。本章侧重于抽象空间的构建和性质的刻画。 拓扑空间的定义与例子： 从度量空间出发，逐步过渡到一般拓扑空间，介绍开集、闭集、邻域、紧致性、连通性的严格定义。 连续函数的拓扑视角： 重新审视连续性，将其视为保持拓扑结构的映射。 商拓扑的构造： 介绍如何通过“粘合”一个空间的子集来构造新的拓扑空间，这是理解流形的关键步骤。 第四章：代数拓扑的几何应用——同调论导引 本章是本书的难点与精华所在，旨在用代数工具来区分本质上不同的几何对象。我们关注的是“洞”的数量与类型。 基本群（Fundamental Group）： 定义回路空间和路径积分，讲解如何利用基本群来判断一个空间是否具有“洞”（如圆环与实心圆盘的区别）。我们详细分析了圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群 $mathbb{Z}$，并探讨布劳威尔不动点定理的拓扑证明思路。 同调群（Homology Groups）简介： 引入链复形、边界算子和链复形，教授读者如何计算更复杂的拓扑不变量，如霍莫洛伊群（Hole counts）。 欧拉示性数： 讨论它是如何作为重要的拓扑不变量，将曲面的组合结构与几何性质联系起来的（如球面 $chi=2$，环面 $chi=0$）。 第三部分：前沿展望与应用模型 最后一部分将视野投向当代数学研究的热点领域，展示几何与拓扑如何渗透到其他科学分支。 第五章：流形理论的构建 流形是现代微分几何和拓扑学的基本研究对象，它局部看起来像欧几里得空间，但整体结构可能极其复杂。 拓扑流形与光滑流形： 明确区分这两种流形，并介绍坐标图、转移函数和光滑结构的建立过程。 切空间与张量场： 在流形上引入微积分的概念，定义切向量空间，为研究向量场和微分形式做准备。 第六章：几何学的交叉领域 本章简要介绍了当前几何拓扑学的几个活跃研究方向，这些内容超越了本科基础教学范围，但对于有志于从事研究的读者具有极高的参考价值。 纽结理论（Knot Theory）： 探讨纽结不变量（如琼斯多项式），以及它们在分子生物学和统计物理学中的潜在应用。 黎曼几何概述： 引入度量张量的概念，探讨曲率的全局效应，为广义相对论的数学基础做铺垫。 辛几何与可积系统： 介绍泊松括号结构在保守系统中的重要性，这在经典力学和量子场论中占据核心地位。 --- 本书特色与目标读者 专业深度与严谨性： 本书的证明详实而严谨，拒绝依赖直觉和“不言自明”的断言，所有结论均基于明确的公理体系推导。 思维的抽象化训练： 读者将学会如何将具象的几何问题转化为抽象的代数或组合问题进行求解，培养处理高维、非欧几里得空间的思维能力。 目标读者： 1. 数学专业本科生（高年级）及研究生，作为进阶学习和研究的参考书目。 2. 物理学、计算机图形学、工程学领域中需要深入理解空间结构和几何不变性的研究人员。 3. 具有坚实微积分和线性代数基础，渴望挑战高等抽象数学的自学者。 本书并非侧重于解题技巧的速成手册，而是侧重于建立对空间结构本质的深刻理解，是通往纯粹数学殿堂的里程碑式著作。
用户评价
评分
这本书在语言表达上，保持了一种恰到好处的平衡感，既有学术的严谨性，又不失为高中生的可读性。我遇到过一些数学参考书，要么就是晦涩难懂的术语堆砌，要么就是过于口语化而显得不够正式。这本书的作者显然深谙此道，在讲解复杂的定理或技巧时，措辞精准到位，逻辑链条清晰到几乎不需要读者去主动思考“然后呢？”下一步是什么。它用词非常讲究，比如在描述一个关键步骤时，会使用“巧妙地构造出”、“等价地转化为”这类富有引导性的词汇，引导读者的注意力。而且，在总结性的评论部分，语言充满了鼓励和启发性，让人感觉作者不是一个高高在上的指导者，而是一个耐心的引路人，这种亲和力在技术类书籍中是难能可贵的，极大地提升了阅读的沉浸感和学习的积极性。
评分作为一名正在备考的学生，我最看重的是知识点的覆盖面和实用性。这本书在这两方面表现得极其出色。它不仅仅停留在基础的代数、几何和解析几何这些传统强项上，对于概率统计、函数与导数这些近年来比重逐年加大的模块，也给予了充分的篇幅和深入的技巧讲解。我特别留意了它对不同数学分支之间知识融会贯通的提示，比如如何用代数的思想去解决几何问题，或者如何利用微积分的概念来辅助解决最值问题。这种跨学科的思维导图构建，对于应对现在越来越综合化的考试题型至关重要。这本书的使用，让我感觉像是拥有了一位全科的数学私教，它系统性地帮我梳理了知识体系的脉络，并针对性地打磨了我的应试能力，感觉我的解题工具箱瞬间丰富了许多，信心也随之大增。
评分这本书的装帧设计和印刷质量真是没话说，拿到手里就感觉分量十足，很有质感。封面设计简约又不失大气，那种深蓝色调配上金色的字体，透着一股沉稳和专业感。内页纸张选得也特别好，不反光，长时间阅读眼睛也不会觉得累，这对于需要长时间面对数学公式和例题的读者来说简直是福音。排版布局也十分清晰，章节划分逻辑性强，让人一目了然。特别是那些复杂的数学符号和图形，印制得非常锐利清晰，没有丝毫模糊不清的情况，这在很多同类书籍中是很难得的。我注意到一些关键概念的定义和定理的表述部分，都用了不同的字体或加粗来突出显示，这对于快速抓住核心知识点非常有帮助。整体来看，这本书在硬件上的投入绝对是下足了功夫，光是拿在手上摩挲，就能感受到出版方对读者的尊重和用心，让人在学习之余也能享受到一种良好的阅读体验。
评分我个人对这本书的“典例分析”部分给予最高的评价，这绝对是本书的灵魂所在。它挑选的例题绝对不是那种一眼就能看出解法的普通习题，而是那些带着陷阱、需要巧妙转化的“拦路虎”。更绝的是，作者对于每一个典例，都进行了详尽的、庖丁解牛式的拆解。它不仅展示了正确的解题路径，更重要的是，还探讨了其他可能的错误解法以及为什么会出错，这种“反例教学”的方式极大地拓宽了我的思维边界。我发现自己过去很多时候不是不会做，而是思维定势了。通过阅读这些典例分析，我学会了在面对陌生问题时，如何进行有效的联想和转化，如何从题目的已知条件中挖掘出隐藏的约束或隐含信息。这种对解题艺术的精雕细琢，让我感觉自己不仅仅是在刷题，而是在接受一种高水平的数学思维训练，收获远超于一本书本身的价值。
评分这本书的内容组织结构实在是太值得称赞了，完全没有那种东拼西凑的感觉，而是像一个经验丰富的老教师精心铺设的知识阶梯。它不是简单地罗列公式和习题，而是真正做到了“解题方法与技巧”的深度挖掘。每一章的引入都非常自然，从基础概念的温故知新开始，然后逐步过渡到各种题型的典型分析，这一点让我感觉特别受用，因为它完美地衔接了我们高中数学的知识体系，避免了因为基础不牢而导致的后续学习障碍。特别是对那些标志性的、每年都会在高考或重要考试中出现的题型，作者都会用好几个不同的角度去剖析解题的思路和背后的数学思想，这比死记硬背解题步骤要高明得多。对于我这种在某些特定难点上总是卡壳的同学来说，这种多维度、深层次的解析简直是醍醐灌顶，让人茅塞顿开，真正理解了“为什么这么做”而不是仅仅学会了“怎么做”。
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