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内容介绍
本书是作者为中国科学院大学一年级本科生讲授线性代数课程时，根据作者本人授课的课堂录音和学生的课堂笔记整理修订完善而成的。作者吸收借鉴了柯斯特利金《代数学引论》的优点和框架，在内容的选取和组织，贯穿内容的观点等方面都有特色。本书分为三卷，本册为第二卷，主要内容包括：向量空间，线性算子，内积空间，仿射空间与欧几里得仿射空间，二次曲面，张量等，每章节附有适当的习题，可供读者巩固练习使用。

目录
目录
前言
第1章 向量空间 1
1.1 定义与例子 1
1.2 向量间的线性关系 5
1.3 基与维数 8
1.4 子空间 14
1.5 商空间 18
1.6 线性函数 19
1.7 双线性型和二次型 25
第2章 线性算子 44
2.1 向量空间的线性映射 44
2.2 线性算子代数 50
2.3 不变子空间和特征向量 58
2.4 商算子和对偶算子 67
2.5 约当标准形 71
第3章 内积空间 85
3.1 欧几里得向量空间 85
3.2 埃尔米特向量空间 99
3.3 内积空间上的线性算子，I——自伴随算子 109
3.4 内积空间上的线性算子，II——保距算子 119
3.5 内积空间上的线性算子，III——正规算子 126
3.6 复化与实化 131
3.7 正交展开 139
3.8 正交投影和*小二乘法 146
3.9 正交多项式 150
3.10 几个自伴随算子 156
第4章 仿射空间与欧几里得仿射空间 161
4.1 仿射空间 161
4.2 欧几里得仿射空间 176
4.3 群与几何 184
4.4 凸集 202
4.5 伪欧几里得空间和闵可夫斯基空间 207
第5章 二次曲面 216
5.1 二次函数 216
5.2 仿射空间和欧几里得空间中的二次曲面 224
5.3 射影空间 241
5.4 射影空间的二次曲面 258
第6章 张量 263
6.1 张量计算初步 263
6.2 向量空间的张量积 272
6.3 张量的收缩、对称化与交错化、张量代数 279
6.4 外代数 292
参考文献 312
附录 313

在线试读
第1章 向量空间
　　天地间的向量空间数不清，我们仅讨论了实数域上的行和列的向量空间Rn，它从线性方程组的系数中自然产生。对其他的域，也有线性方程组，所以可以考虑这个域上的行和列的向量空间。但这仍然有局限，而且这个局限是不必要的。注意到以前对Rn的讨论是基于两个运算：行(或列)向量之间的加法，纯量乘行 (或列) 向量及这两个运算的一些性质，可以知道这两个运算和那些性质才是本质的。把它们抽象出来，就得到一般的向量空间的定义，于是前面发展的若干概念和方法的适用范围大大扩展。本章和随后的五章将对一般的向量空间做一些讨论。
　　1.1 定义与例子
　　一 定义1.1 称集合V是域K上的向量空间(或线性空间)，如果V是加法 (交换) 群且K中的元素与V中的元素可以相乘得到V的元素，相乘具有以下性质：
　　(1) (ab)v=a(bv)；
　　(2) a(u+v)=au+av；
　　(3) (a+b)v=av+bv；
　　(4) 1v=v。
　　其中a，b是K中的任意元素，1是K中的乘法单位元，u，V是V中任意元素。向量空间中的元素称为向量，其中的零元常称为零向量。域K中的元素称为纯量，纯量与向量的相乘称为纯量乘。域K也常称为V的基域。
　　说明 在定义中加号+既表示V中的加法也表示K中的加法，这样做是方便的，且不会引起歧义。讨论抽象的 (或抽象地讨论) 向量空间时，向量空间的交换群运算一般用+表示，基域的元素与向量相乘的运算符号一般省略，或用小圆点表示。在讨论一些具体的向量空间时，可能需要用其他的记号表示向量空间的加法和基域的元素与向量相乘的运算，以避免混乱。例如，正实数全体 R+在数的乘法下是交换群，对，定义容易验证，在运算,下R+是实数域上的向量空间。
　　另一个例子更有意义。设V是复数域上的向量空间。我们定义复数域上一个新的向量空间 1V，称为V的复共轭向量空间。作为加法群，它和V是一样的，但纯量乘不一样，定义为，其中是复数的共轭。由于共轭运算是复数域的自同构，容易看出1V是复数域上的向量空间。要同时研究V和1V，纯量乘的符号就得有差别。
　　二 设V是域K上的向量空间，用 0记K和V中的零元 (这样做是方便的，虽然刚开始不习惯)，用。v 记向量V的负元。对任意向量，定义u-v=u+(-v)。下面的等式是定义的简单推论，其中。
　　(1) 0v=0，(等式左边的0是域中的零元，右边的0是零向量。)
　　(2) a0=0，(等式两边的0都是零向量。)
　　(3) (-1)v=-v，
　　(4) a(-v)=-av，
　　(5) a(u-v)=au-av，
　　(6) (a-b)v=av-bv。
　　现给出*后一个等式的证明，其余的作为练习。从向量空间的定义知(a-b)v+bv=(a-b+b)v=av。于是av+(-bv)=(a-b)v+bv+(-bv)=(a-b)v，即av-bv=(a-b)v。
　　练习1.2 证明上面的等式(1)至(5)。
　　三 向量空间的例子是丰富的，如欧几里得平面几何或立体几何中的向量全体形成的集合在向量的加法和实数与向量的乘法下成为向量空间，分别记作 E2和E3。这是向量空间名称的来源。又如Rn是实数域上的向量空间。更一般地，域 K上长为n的行全体形成的集合Kn是K上的向量空间，加法和纯量乘是，它称为K上的一个坐标空间。类似地，域K上高为n的列全体形成的集合是K上的向量空间，也记作Kn，同样称为K上的一个坐标空间。
　　下面的几个例子也是常用的。
　　例1.3 平凡的交换群就是只含一个元素的群，如果用0记这个元素，定义纯量乘为a0=0，这个交换群就可以作为任何域的向量空间，称为零向量空间或零维空间，常记作0或0。
　　例1.4 如果F是域K的子域，通过域中的加法和乘法，K自然成为 F上的向量空间。如复数域C是实数域R上的向量空间，复数域和实数域都是有理数域上的向量空间。特别，K 上的向量空间自然成为 F上的向量空间，域K是它自身上的向量空间。
　　实数域 (或复数域) 上的向量空间常称为实向量空间(或复向量空间)。
　　例1.5 设U是域K上的向量空间。从集合 X 到 U的映射全体记作 UX。定义映射之间的加法和K中元素与映射的纯量乘如下：(f+g)(x)=f(x)+g(x)，对任意的，(af)(x)=a(f(x))，对任意的。易见在这些运算下UX成为域K上的向量空间。特别，KX 是域K上的向量空间。
　　例1.6 设 X 是实数集中的一个 (开，闭，或半开半闭) 区间，区间 X 上的所有连续函数全体 C(X) 在函数的加法和函数与实数的乘法下成为实向量空间。
　　例1.7 设K是域，则M元多项式环，是K上的向量空间，加法和纯量乘就是环中的加法和K中元素与多项式的乘法。同样，环中次数为n的齐次多项式添上零多项式是K上的向量空间，环中次数不超过n的多项式全体也是K上的向量空间。
　　例1.8 微分方程的解集是实向量空间，其中 a，b是给定常数。
　　例1.9 域K上的矩阵全体在矩阵的加法和K中元素与矩阵的乘法下成为K上的向量空间，记作。特别，方阵环是 K上的向量空间。
　　四 线性子空间 设 U 是向量空间V的子集，称 U为V的线性子空间(常简称为子空间)，如果 U 是V的加法子群且对任意的和任意的有。
　　每个向量空间都有两个平凡的子空间：它自身和只含零向量的子空间，后者也记作0或 0，称为向量空间的零子空间。显然，V 的子空间自身是一个向量空间。
　　例1.10 在向量空间 E3 中和一个给定向量平行的向量全体形成一个子空间。
　　例1.11 设 X 是实数集中的一个 (开，闭或半开半闭) 区间，区间V上的所有可微函数全体 C1(X) 是这个区间上连续函数空间 C(X) 的子空间。
　　例1.12 设V是定义在实数轴上的实函数全体，在函数的加法和实数与函数的乘法下成为实向量空间。V中的偶函数全体是子空间，以为周期的周期函数全体是子空间，形如的函数全体是子空间。
　　例1.13 设A是域K上的矩阵，那么齐次线性方程组 AX=0 的解集是Kn的子空间。
　　例1.14 R2上的直线 y=ax 是子空间，见图1.1。
　　图1.1
　　习题1.1
　　判断下列习题1-6中的集合是否为实向量空间，其中的函数都是以实数域为定义域的实值函数。
　　1. (1) 满足条件 f(1)=0的函数全体，(2) 满足条件 f(0)=1 的函数全体。
　　2. (1) 偶函数全体：f(x)=f(-x)，(2) 奇函数全体：f(-x)=-f(x)。
　　3. 定义在实数域上的所有的递增函数。
　　4. 满足条件 f(x)=f(2-x) 所有函数。
　　5. 以为周期的函数全体：
　　6. (1) 满足条件的所有实值连续函数 f；
　　(2) 闭区间 [a，b] 上满足条件的所有实值连续函数 f；
　　(3) 满足条件的所有函数 f。
　　设K是域。判断习题7-9中的集合是否为原空间的线性子空间。
　　7. (1)Kn中坐标满足方程的所有向量形成的集合，(2) 坐标满足方程的所有向量形成的集合。
　　8.Mm,n(K) 中秩为1的矩阵全体。
　　9.(1) Mn(K) 中的对称矩阵全体 (tA=A)；
　　(2)Mn(K) 中的斜对称矩阵全体 (tA=-A)；
　　(3) Mn(K) 中行列式为0的矩阵全体；
　　(4)Mn(K) 中的迹为0的矩阵全体 (矩阵 A=(aij) 的迹定义为对角线中的元素之和：
　　10. 设V是向量空间。证明：V 的任意一组子空间的交仍是V的子空间。
　　11. 对复数域上的坐标空间 Cn，定义新的纯量乘为。在运算+和±下Cn是否为向量空间？
　　12. 设M是有限集，它的所有的子集形成的集合记作 2M。命定义 2M 中的加法和K与 2M 中元素的乘法如下：证明：在这两个运算下，2M 成为域 Z2 上的向量空间。
　　13. 交换群A能成为域 Zp上的向量空间当且仅当对任意的有px=0。
　　14. 交换群A能成为域 Q上的向量空间当且仅当A中的非零元都是无限阶的，且对任意的正整数n和，方程 nx=a 在A中有解。
　　15. 设K是有限域,问：坐标空间Kn有多少个元素。在Kn中方程，系数不全为0有多少个解？
　　1.2 向量间的线性关系
　　一 向量间的线性关系对于向量空间的讨论是基本的。第*个重要的概念是线性组合。设是向量，它们的线性组合是指形如的向量，其中，an 是纯量，称为这个线性组合的系数。
　　向量的所有线性组合形成的集合称为这些向量的线性包络，记作易见这个线性包络是V的子空间，且是包含，vn的*小的子空间，它也称为这些向量张成的(线性) 子空间。
　　一般地，向量空间V的任意子集M的线性包络定义为即,是M中的所有有限子集的线性包络的并集。易见，所以它是V的子空间，且是包含M的*小的子空间，也称它为由 M张成的(线性)子空间。
　　二 线性相关 向量空间V中的向量 (组)v1，vn称为线性相关如果在基域K中有不全为零的元素使得线性组合为零向量，称为线性无关如果只要纯量不全为零，线性组合就不是零向量 (即蕴含)。
　　例1.15 在函数空间中sin3t，sin t，sin3t线性相关，因为sin3t -3sin t +4sin3 t=0。
　　例1.16 在函数空间中sint，sin2t，sin3t线性无关。假设 asint+bsin2t +csin3t=0。分别取，得到线性方程组该方程组只有零解a=b=c=0。所以这些函数线性无关。更简单的方法是利用公式。从等式asint+bsin2t+csin3t=0得。取j=1，2，3，然后对等式在区间做定积分，即得
　　三 下面是一些关于线性相关和线性无关的简单性质，它们绝大部分在第*卷3.1节关于Rn的讨论中已经出现过。
　　定理1.17 含有零向量的向量组是线性相关的。至少有两个元素的向量组线性相关当且仅当其中有一个是其余的线性组合。如果一组向量的一部分线性相关,则这组向量线性相关，换句话说，如果一组向量线性无关，则这组向量的任何部分向量是线性无关的。
　　我们省略证明，因为直接从定义就可以看出，除第*个显然的结论外，其余结论的证明也是第*卷3.1节的相关证明的重复。下一个结论是经常用到的。
　　定理1.18 设向量都是向量的线性组合。
　　(1) 如果M>n，那么线性相关；
　　(2) 如果线性无关，那么。
　　证明 (1) 和 (2) 等价。现证 (2)。用反证法，假设M> n。
　　首先有：因为，所以线性组合中的系数不全为零，不妨设，那么vi1是的线性组合 (本证明中向量上带^的含义是在序列或集合中去掉这个向量)。于是有
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