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內容介紹
本書是作者為中國科學院大學一年級本科生講授綫性代數課程時，根據作者本人授課的課堂錄音和學生的課堂筆記整理修訂完善而成的。作者吸收藉鑒瞭柯斯特利金《代數學引論》的優點和框架，在內容的選取和組織，貫穿內容的觀點等方麵都有特色。本書分為三捲，本冊為第二捲，主要內容包括：嚮量空間，綫性算子，內積空間，仿射空間與歐幾裏得仿射空間，二次麯麵，張量等，每章節附有適當的習題，可供讀者鞏固練習使用。

目錄
目錄
前言
第1章 嚮量空間 1
1.1 定義與例子 1
1.2 嚮量間的綫性關係 5
1.3 基與維數 8
1.4 子空間 14
1.5 商空間 18
1.6 綫性函數 19
1.7 雙綫性型和二次型 25
第2章 綫性算子 44
2.1 嚮量空間的綫性映射 44
2.2 綫性算子代數 50
2.3 不變子空間和特徵嚮量 58
2.4 商算子和對偶算子 67
2.5 約當標準形 71
第3章 內積空間 85
3.1 歐幾裏得嚮量空間 85
3.2 埃爾米特嚮量空間 99
3.3 內積空間上的綫性算子，I——自伴隨算子 109
3.4 內積空間上的綫性算子，II——保距算子 119
3.5 內積空間上的綫性算子，III——正規算子 126
3.6 復化與實化 131
3.7 正交展開 139
3.8 正交投影和*小二乘法 146
3.9 正交多項式 150
3.10 幾個自伴隨算子 156
第4章 仿射空間與歐幾裏得仿射空間 161
4.1 仿射空間 161
4.2 歐幾裏得仿射空間 176
4.3 群與幾何 184
4.4 凸集 202
4.5 僞歐幾裏得空間和閔可夫斯基空間 207
第5章 二次麯麵 216
5.1 二次函數 216
5.2 仿射空間和歐幾裏得空間中的二次麯麵 224
5.3 射影空間 241
5.4 射影空間的二次麯麵 258
第6章 張量 263
6.1 張量計算初步 263
6.2 嚮量空間的張量積 272
6.3 張量的收縮、對稱化與交錯化、張量代數 279
6.4 外代數 292
參考文獻 312
附錄 313

在綫試讀
第1章 嚮量空間
　　天地間的嚮量空間數不清，我們僅討論瞭實數域上的行和列的嚮量空間Rn，它從綫性方程組的係數中自然産生。對其他的域，也有綫性方程組，所以可以考慮這個域上的行和列的嚮量空間。但這仍然有局限，而且這個局限是不必要的。注意到以前對Rn的討論是基於兩個運算：行(或列)嚮量之間的加法，純量乘行 (或列) 嚮量及這兩個運算的一些性質，可以知道這兩個運算和那些性質纔是本質的。把它們抽象齣來，就得到一般的嚮量空間的定義，於是前麵發展的若乾概念和方法的適用範圍大大擴展。本章和隨後的五章將對一般的嚮量空間做一些討論。
　　1.1 定義與例子
　　一 定義1.1 稱集閤V是域K上的嚮量空間(或綫性空間)，如果V是加法 (交換) 群且K中的元素與V中的元素可以相乘得到V的元素，相乘具有以下性質：
　　(1) (ab)v=a(bv)；
　　(2) a(u+v)=au+av；
　　(3) (a+b)v=av+bv；
　　(4) 1v=v。
　　其中a，b是K中的任意元素，1是K中的乘法單位元，u，V是V中任意元素。嚮量空間中的元素稱為嚮量，其中的零元常稱為零嚮量。域K中的元素稱為純量，純量與嚮量的相乘稱為純量乘。域K也常稱為V的基域。
　　說明 在定義中加號+既錶示V中的加法也錶示K中的加法，這樣做是方便的，且不會引起歧義。討論抽象的 (或抽象地討論) 嚮量空間時，嚮量空間的交換群運算一般用+錶示，基域的元素與嚮量相乘的運算符號一般省略，或用小圓點錶示。在討論一些具體的嚮量空間時，可能需要用其他的記號錶示嚮量空間的加法和基域的元素與嚮量相乘的運算，以避免混亂。例如，正實數全體 R+在數的乘法下是交換群，對，定義容易驗證，在運算,下R+是實數域上的嚮量空間。
　　另一個例子更有意義。設V是復數域上的嚮量空間。我們定義復數域上一個新的嚮量空間 1V，稱為V的復共軛嚮量空間。作為加法群，它和V是一樣的，但純量乘不一樣，定義為，其中是復數的共軛。由於共軛運算是復數域的自同構，容易看齣1V是復數域上的嚮量空間。要同時研究V和1V，純量乘的符號就得有差彆。
　　二 設V是域K上的嚮量空間，用 0記K和V中的零元 (這樣做是方便的，雖然剛開始不習慣)，用。v 記嚮量V的負元。對任意嚮量，定義u-v=u+(-v)。下麵的等式是定義的簡單推論，其中。
　　(1) 0v=0，(等式左邊的0是域中的零元，右邊的0是零嚮量。)
　　(2) a0=0，(等式兩邊的0都是零嚮量。)
　　(3) (-1)v=-v，
　　(4) a(-v)=-av，
　　(5) a(u-v)=au-av，
　　(6) (a-b)v=av-bv。
　　現給齣*後一個等式的證明，其餘的作為練習。從嚮量空間的定義知(a-b)v+bv=(a-b+b)v=av。於是av+(-bv)=(a-b)v+bv+(-bv)=(a-b)v，即av-bv=(a-b)v。
　　練習1.2 證明上麵的等式(1)至(5)。
　　三 嚮量空間的例子是豐富的，如歐幾裏得平麵幾何或立體幾何中的嚮量全體形成的集閤在嚮量的加法和實數與嚮量的乘法下成為嚮量空間，分彆記作 E2和E3。這是嚮量空間名稱的來源。又如Rn是實數域上的嚮量空間。更一般地，域 K上長為n的行全體形成的集閤Kn是K上的嚮量空間，加法和純量乘是，它稱為K上的一個坐標空間。類似地，域K上高為n的列全體形成的集閤是K上的嚮量空間，也記作Kn，同樣稱為K上的一個坐標空間。
　　下麵的幾個例子也是常用的。
　　例1.3 平凡的交換群就是隻含一個元素的群，如果用0記這個元素，定義純量乘為a0=0，這個交換群就可以作為任何域的嚮量空間，稱為零嚮量空間或零維空間，常記作0或0。
　　例1.4 如果F是域K的子域，通過域中的加法和乘法，K自然成為 F上的嚮量空間。如復數域C是實數域R上的嚮量空間，復數域和實數域都是有理數域上的嚮量空間。特彆，K 上的嚮量空間自然成為 F上的嚮量空間，域K是它自身上的嚮量空間。
　　實數域 (或復數域) 上的嚮量空間常稱為實嚮量空間(或復嚮量空間)。
　　例1.5 設U是域K上的嚮量空間。從集閤 X 到 U的映射全體記作 UX。定義映射之間的加法和K中元素與映射的純量乘如下：(f+g)(x)=f(x)+g(x)，對任意的，(af)(x)=a(f(x))，對任意的。易見在這些運算下UX成為域K上的嚮量空間。特彆，KX 是域K上的嚮量空間。
　　例1.6 設 X 是實數集中的一個 (開，閉，或半開半閉) 區間，區間 X 上的所有連續函數全體 C(X) 在函數的加法和函數與實數的乘法下成為實嚮量空間。
　　例1.7 設K是域，則M元多項式環，是K上的嚮量空間，加法和純量乘就是環中的加法和K中元素與多項式的乘法。同樣，環中次數為n的齊次多項式添上零多項式是K上的嚮量空間，環中次數不超過n的多項式全體也是K上的嚮量空間。
　　例1.8 微分方程的解集是實嚮量空間，其中 a，b是給定常數。
　　例1.9 域K上的矩陣全體在矩陣的加法和K中元素與矩陣的乘法下成為K上的嚮量空間，記作。特彆，方陣環是 K上的嚮量空間。
　　四 綫性子空間 設 U 是嚮量空間V的子集，稱 U為V的綫性子空間(常簡稱為子空間)，如果 U 是V的加法子群且對任意的和任意的有。
　　每個嚮量空間都有兩個平凡的子空間：它自身和隻含零嚮量的子空間，後者也記作0或 0，稱為嚮量空間的零子空間。顯然，V 的子空間自身是一個嚮量空間。
　　例1.10 在嚮量空間 E3 中和一個給定嚮量平行的嚮量全體形成一個子空間。
　　例1.11 設 X 是實數集中的一個 (開，閉或半開半閉) 區間，區間V上的所有可微函數全體 C1(X) 是這個區間上連續函數空間 C(X) 的子空間。
　　例1.12 設V是定義在實數軸上的實函數全體，在函數的加法和實數與函數的乘法下成為實嚮量空間。V中的偶函數全體是子空間，以為周期的周期函數全體是子空間，形如的函數全體是子空間。
　　例1.13 設A是域K上的矩陣，那麼齊次綫性方程組 AX=0 的解集是Kn的子空間。
　　例1.14 R2上的直綫 y=ax 是子空間，見圖1.1。
　　圖1.1
　　習題1.1
　　判斷下列習題1-6中的集閤是否為實嚮量空間，其中的函數都是以實數域為定義域的實值函數。
　　1. (1) 滿足條件 f(1)=0的函數全體，(2) 滿足條件 f(0)=1 的函數全體。
　　2. (1) 偶函數全體：f(x)=f(-x)，(2) 奇函數全體：f(-x)=-f(x)。
　　3. 定義在實數域上的所有的遞增函數。
　　4. 滿足條件 f(x)=f(2-x) 所有函數。
　　5. 以為周期的函數全體：
　　6. (1) 滿足條件的所有實值連續函數 f；
　　(2) 閉區間 [a，b] 上滿足條件的所有實值連續函數 f；
　　(3) 滿足條件的所有函數 f。
　　設K是域。判斷習題7-9中的集閤是否為原空間的綫性子空間。
　　7. (1)Kn中坐標滿足方程的所有嚮量形成的集閤，(2) 坐標滿足方程的所有嚮量形成的集閤。
　　8.Mm,n(K) 中秩為1的矩陣全體。
　　9.(1) Mn(K) 中的對稱矩陣全體 (tA=A)；
　　(2)Mn(K) 中的斜對稱矩陣全體 (tA=-A)；
　　(3) Mn(K) 中行列式為0的矩陣全體；
　　(4)Mn(K) 中的跡為0的矩陣全體 (矩陣 A=(aij) 的跡定義為對角綫中的元素之和：
　　10. 設V是嚮量空間。證明：V 的任意一組子空間的交仍是V的子空間。
　　11. 對復數域上的坐標空間 Cn，定義新的純量乘為。在運算+和±下Cn是否為嚮量空間？
　　12. 設M是有限集，它的所有的子集形成的集閤記作 2M。命定義 2M 中的加法和K與 2M 中元素的乘法如下：證明：在這兩個運算下，2M 成為域 Z2 上的嚮量空間。
　　13. 交換群A能成為域 Zp上的嚮量空間當且僅當對任意的有px=0。
　　14. 交換群A能成為域 Q上的嚮量空間當且僅當A中的非零元都是無限階的，且對任意的正整數n和，方程 nx=a 在A中有解。
　　15. 設K是有限域,問：坐標空間Kn有多少個元素。在Kn中方程，係數不全為0有多少個解？
　　1.2 嚮量間的綫性關係
　　一 嚮量間的綫性關係對於嚮量空間的討論是基本的。第*個重要的概念是綫性組閤。設是嚮量，它們的綫性組閤是指形如的嚮量，其中，an 是純量，稱為這個綫性組閤的係數。
　　嚮量的所有綫性組閤形成的集閤稱為這些嚮量的綫性包絡，記作易見這個綫性包絡是V的子空間，且是包含，vn的*小的子空間，它也稱為這些嚮量張成的(綫性) 子空間。
　　一般地，嚮量空間V的任意子集M的綫性包絡定義為即,是M中的所有有限子集的綫性包絡的並集。易見，所以它是V的子空間，且是包含M的*小的子空間，也稱它為由 M張成的(綫性)子空間。
　　二 綫性相關 嚮量空間V中的嚮量 (組)v1，vn稱為綫性相關如果在基域K中有不全為零的元素使得綫性組閤為零嚮量，稱為綫性無關如果隻要純量不全為零，綫性組閤就不是零嚮量 (即蘊含)。
　　例1.15 在函數空間中sin3t，sin t，sin3t綫性相關，因為sin3t -3sin t +4sin3 t=0。
　　例1.16 在函數空間中sint，sin2t，sin3t綫性無關。假設 asint+bsin2t +csin3t=0。分彆取，得到綫性方程組該方程組隻有零解a=b=c=0。所以這些函數綫性無關。更簡單的方法是利用公式。從等式asint+bsin2t+csin3t=0得。取j=1，2，3，然後對等式在區間做定積分，即得
　　三 下麵是一些關於綫性相關和綫性無關的簡單性質，它們絕大部分在第*捲3.1節關於Rn的討論中已經齣現過。
　　定理1.17 含有零嚮量的嚮量組是綫性相關的。至少有兩個元素的嚮量組綫性相關當且僅當其中有一個是其餘的綫性組閤。如果一組嚮量的一部分綫性相關,則這組嚮量綫性相關，換句話說，如果一組嚮量綫性無關，則這組嚮量的任何部分嚮量是綫性無關的。
　　我們省略證明，因為直接從定義就可以看齣，除第*個顯然的結論外，其餘結論的證明也是第*捲3.1節的相關證明的重復。下一個結論是經常用到的。
　　定理1.18 設嚮量都是嚮量的綫性組閤。
　　(1) 如果M>n，那麼綫性相關；
　　(2) 如果綫性無關，那麼。
　　證明 (1) 和 (2) 等價。現證 (2)。用反證法，假設M> n。
　　首先有：因為，所以綫性組閤中的係數不全為零，不妨設，那麼vi1是的綫性組閤 (本證明中嚮量上帶^的含義是在序列或集閤中去掉這個嚮量)。於是有
基礎代數（第二捲） 席南華 下載 mobi epub pdf txt 電子書

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