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本书是“经济数学基础教程”之一.主要内容包括随机事件与随机变量、二维随机变量及其联合概率分布、随机变量的数字特征、统计估计方法、统计检验方法、一元线性回归分析与方差分析等各章，并配有适量习题.
本书贯彻问题教学法的基本思想，对许多数学概念，先从提出经济问题入手，再引入数学概念，介绍数学工具，zui后解决所提出的问题，从而使学生了解应用背景，提gao学习的积J性；书中详细介绍相应的数学软件，为学生将来的研究工作和就业奠定基础；穿插于全书的数学建模的基本思想和方法，引导学生学以致用，学用结合.


目录
前言
第1章 随机事件与随机变量1
1.1从推断问题和信用卡管理谈起1
1.2随机事件及其概率2
1.3条件概率与D立性18
1.4随机变量29
1.5离散型随机变量的概率分布31
1.6连续型随机变量的概率分布39
1.7随机变量函数的分布48
1.8随机事件的概率及其相关分布软件介绍53
习题157
第2章 二维随机变量及其联合概率分布71
2.1从保险中的理赔总量模型谈起71
2.2二维离散型随机变量及其分布74
2.3二维连续型随机变量及其分布76
2.4二维随机变量的D立性81
2.5二维随机变量函数的分布95
2.6二维随机变量分布软件介绍106
习题2107
第3章 随机变量的数字特征117
3.1从一个风险投资问题谈起117
3.2随机变量的数学期望118
3.3随机变量的方差129
3.4常见随机变量的期望与方差135
3.5协方差与相关系数140
3.6分布的其他特征数153
3.7da数定律与中心J限定理157
3.8随机变量数字特征软件介绍169
习题3171
第4章 统计估计方法183
4.1从一些经济问题的估计谈起183
4.2数理统计中的某些概念184
4.3抽样分布186
4.4总体分布的估计194
4.5点估计方法与估计量的评价200
4.6区间估计211
4.7点估计与区间估计软件介绍223
习题4226
第5章 统计检验方法234
5.1从一些经济问题的检验谈起234
5.2假设检验的有关概念235
5.3单正态总体期望与方差的检验240
5.4双正态总体均值差与方差比的检验243
5.5置信区间与假设检验之间的关系246
5.6假设检验的两类错误249
5.7非参数假设检验254
5.8参数的假设检验软件介绍261
习题5263
第6章 一元线性回归分析269
6.1从一个火灾赔偿问题谈起269
6.2一元线性回归模型273
6.3回归方程的显著性检验与预测280
6.4一元线性回归软件介绍287
习题6289
参考答案.292
附录1偶然问题的必然规律303
附录2略谈数理统计与计量经济学308
附录3数学家与文学313
附表1常用的概率分布表.318
附表2标准正态分布表320
附表3t分布表.322
附表4x2分布表324
附表5F分布表327
附表6二项分布表336
附表7Poisson分布表348
参考文献350




第1章 随机事件与随机变量
概率论是“生活真正的领路人”,如果没有对概率的某种估计,那么我们就寸步难移,无所作为.
——杰文斯(W.S.Jevons)
在自然界和人类的社会生活与生产实践中存在着da量的随机现象,虽然这些现象具有偶然性但因其存在规律性,使人们对它们的研究发生了兴趣,概率论与数理统计就是一门以随机现象及其规律性为研究对象的数学学科.人们希望以它为理论依据对现实生活中的某些事物进行统计推断从而做出正确的决策.
本章从实际问题出发,介绍概率论中两个zui基本的概念:随机事件及其概率;进而讨论两类随机变量及其概率分布;zui后举例介绍所涉上述问题的软件应用.本章内容是学习概率论的基础.
1.1从推断问题和信用卡管理谈起
1.1.1推断问题
某市政府信访办公室承诺在国庆节放假期间仍然安排值班人员接待来访群众.记者发现在10月1日至10月7日的七天内信访办接待了12名来访者,记录显示他们是在10月2日和10月4日两天来访的,记者的疑问是这七天长假期间是否每天都有工作人员在值班.
假设每位来访者可选择1日至7日的任何一天来访,则12名来访者共有712种组合方式来到信访办公室,而他们均在2日和4日来访的组合方式共有212种,由此可知12名来访者都在这两天来访的可能性为,约为0.0000003.这么小的可能性可推断七天长假并不是每天均有人值班,记者的怀疑是有道理的.
1.1.2信用卡管理问题
信用卡发行是银行重要的业务之一,一方面银行希望争取尽量多的客户,另一方面却是信用卡客户透支问题,从而信用卡管理是一个重要问题.
某银行将客户分为(信用)hao和(信用)坏两类,并通过分析历史数据得到:在每个月都会有近1％的hao客户和10％的坏客户透支银行账户.当一位xin客户来银行开办现金账户时,信用处通过基本检验后认为这位客户da概有70％的机会是一位hao客户.问题是这位客户在diyi个月内就透支,请问银行对这位客户的信用度有什么改变?如果这位客户在第二个月仍透支呢?
假设H=“信用hao”,T=“透支其账户”,银行的历史数据显示:
P(T|H)=0.01,P.T|H.=0.1.
另一方面,银行关于这位客户zui初的信用观点是
P(H)=0.7.
由贝叶斯(Bayes)理论,有.
银行认为他是hao客户的可能性由70％降到不足20％.在这里P(H)=0.7称为先验概率,称为后验概率.下面我们来考虑第二个月,在第二个月内这位客户透支,此时银行不会再认为他是一位(信用)hao的客户了.
通过上述两个问题可以看到,人们对现实世界的种种认识很多情况下是对各种事件发生可能性da小的判断.反过来,这些事件发生的可能性da小又影响着人们的行为,我们的生活离不开概率.以下从zui基本的内容开始讨论.
1.2随机事件及其概率
1.2.1样本空间
在自然界和人类社会活动中存在着许多现象,其中有些现象只要满足一定的条件就必然发生.例如:“在标准da气压下,纯水加热到100.C时会沸腾”,“在没有外力作用的条件下静止的物体必然静止”.这类现象称为确定性现象.
自然界和人类社会活动中还广泛存在着与确定性现象有着本质区别的另一类现象,例如:掷一枚硬币,可能正面朝上也可能反面朝上;某城市明天发生交通事故的次数;从生产线下来的产品是否为合格品,这种在同样条件下进行同样的观测或实验却可能发生不同结果的现象称为随机现象.这种普遍存在的看起来hao像毫无规律的随机现象后面实际却隐藏着某种规律性.例如,多次重复抛一枚硬币得到正面朝上da致有一半,某城市明天发生交通事故的次数按照一定规律分布等等.这种在da量重复试验或观察中所呈现出的固有规律性称为统计规律性.概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科.
一般地,使随机现象得以实现及对它观察的全过程通称为随机试验,简称试验,记为E.要完成一个随机试验,主要是明确实现它的“一定条件”以及由它产生的一切可能的“基本结果”.这里的“一定条件”可以是人为的也可以是客观存在的;这里的“基本结果”是指随机实验zui简单的,不可(或不必)再细分的结果.
定义1.1随机试验的每一个基本结果称为样本点,记作,随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间,记作Ω,即
例1.1E:“掷一枚硬币观察其朝上的面”;可能出现的结果是正面或反面;Ω=.
例1.2E:“一个人进行射击,记录他直至击中目标的射击次数”;可能结果是1,2,···;Ω={1,2,···}.
例1.3E:“观察一只灯泡的使用寿命”;可能出现的结果是任一非负正数;Ω={0,+∞}.
例1.4E:“观测某市每日的zuigao气温和zuidi气温”;以x,y分别表示zuigao和zuidi气温,人们总可以确定此地气温的上界a和下界b,可能出现的结果是坐标平面中的一个三角形;Ω=.
不难看出,样本空间Ω可以是数集,也可以是任何抽象的集合;可以是有限集,可列集,也可以是不可列的无穷集合;可以是一维的也可以是多维的集合.所以,正确地确定不同随机试验的样本点和样本空间是非常重要的.
1.2.2随机事件及其运算
在一次随机试验中,我们通常关心的是带有某些特征的那些样本点所组成的集合.例如:例1.2中“3次以内击中目标”;例1.3中的“一只灯泡的寿命超过500小时”.这种带有某种特征的样本点组成的集合称为随机事件,通常用da写字母A,B,C,等表示.因此,可记.
A={一个人射击,3次以内击中目标}={1,2,3},
B={一只灯泡的寿命超过500小时}=(500,+∞).
随机事件是样本空间Ω的一个子集,在试验中,如果事件A包含的某一个样本点ω出现了,则称A发生,记为ω∈A.由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件,而样本空间Ω的zuida子集Ω称为必然事件,样本空间Ω的zui小子集空集.称为不可能事件.
一个样本空间Ω中,可以有很多随机事件,人们通常研究这些事件的关系及运算,以便通过较简单的事件的统计规律去研究较复杂事件的统计规律.下面介绍事件间的关系及运算,它们与集合论中集合之间的关系及运算是一致的.
(1)包含
如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含事件A,记作或对任一事件A,有.如果且,则称事件A与事件B相等,记作A=B.
(2)和
两个事件A与B中至少有一个发生,称为事件A与事件B的和,记作A+B或A∪B.
表示n个事件A1,A2,,An中至少有一个发生.
(3)积
两个事件A与B同时发生,称为事件A与B的积,记作AB或A∩B.
Ai=A1A2...An表示n个事件A1,A2,,An...同时发生;
(4)互不相容
如果事件A与B不能同时发生,则称事件A与B互不相容或互斥,此时必有AB=.基本事件是互不相容的.
如果n个事件A1,A2,,An中任意两个事件都互不相容,即.
则称这n个事件是互不相容的或互斥的.
Ai=A1A2...An表示可列个事件A1,A2,,An...同时发生.
(5)对立(逆)如果两个事件A与B满足A+B=Ω,AB=.,则称事件A是事件B的对立事件或逆事件；此时事件B也是事件A的逆事件，所以A与B事件是互逆事件，记作或，显然.
（6）差
如果事件A发生且事件B不发生，称为事件A与B的差，记为A-B.显然.
图1-1
对于事件的运算有如下的运算规律.
事件的运算律
(1)交换律:A+B=B+A,AB=BA;
(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC);
(3)分配律:(A+B)C=AC+BC;
(4)对偶原理:
对于n个事件,甚至对于可列个事件,对偶原理也成立.
例1.5证明
证法一
证法二即
且
因此.
例1.6设A,B是随机事件,若满足A+B=,证明:A,B相互对立.
证明我们只要证明A+B=Ω且AB=.即可.
记C=A+B,D=AB,则由等式
可得
即A,B相互对立.
由对偶原理同样可以证明:若AB=,则A、B相互对立.
例1.7小王下班后开车回家,途经4个交通信号灯.Ai表示第i个路口遇上红灯(i=1,2,3,4),试用Ai表示下列事件:
(1)一路绿灯;
(2)至少遇到一次红灯;
(3)只遇到一次红灯;
(4)至少遇到3次红灯;
(5)至多遇到3次红灯.
解(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
例1.8掷一枚骰子(6个面),观察其朝上面的数字.设事件A={出现奇数点},事件B={出现偶数点},C={小于4点},求:事件A+C,BC,A.C,AB,A+B,并问A,B,C中哪两个事件是对立的?
解因为Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3},所以A+C={1,2,3,5},BC={2},A.C={5},AB=.,A+B=Ω.
因此,A与B是对立事件.


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