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本書是“經濟數學基礎教程”之一.主要內容包括隨機事件與隨機變量、二維隨機變量及其聯閤概率分布、隨機變量的數字特徵、統計估計方法、統計檢驗方法、一元綫性迴歸分析與方差分析等各章，並配有適量習題.
本書貫徹問題教學法的基本思想，對許多數學概念，先從提齣經濟問題入手，再引入數學概念，介紹數學工具，zui後解決所提齣的問題，從而使學生瞭解應用背景，提gao學習的積J性；書中詳細介紹相應的數學軟件，為學生將來的研究工作和就業奠定基礎；穿插於全書的數學建模的基本思想和方法，引導學生學以緻用，學用結閤.


目錄
前言
第1章 隨機事件與隨機變量1
1.1從推斷問題和信用卡管理談起1
1.2隨機事件及其概率2
1.3條件概率與D立性18
1.4隨機變量29
1.5離散型隨機變量的概率分布31
1.6連續型隨機變量的概率分布39
1.7隨機變量函數的分布48
1.8隨機事件的概率及其相關分布軟件介紹53
習題157
第2章 二維隨機變量及其聯閤概率分布71
2.1從保險中的理賠總量模型談起71
2.2二維離散型隨機變量及其分布74
2.3二維連續型隨機變量及其分布76
2.4二維隨機變量的D立性81
2.5二維隨機變量函數的分布95
2.6二維隨機變量分布軟件介紹106
習題2107
第3章 隨機變量的數字特徵117
3.1從一個風險投資問題談起117
3.2隨機變量的數學期望118
3.3隨機變量的方差129
3.4常見隨機變量的期望與方差135
3.5協方差與相關係數140
3.6分布的其他特徵數153
3.7da數定律與中心J限定理157
3.8隨機變量數字特徵軟件介紹169
習題3171
第4章 統計估計方法183
4.1從一些經濟問題的估計談起183
4.2數理統計中的某些概念184
4.3抽樣分布186
4.4總體分布的估計194
4.5點估計方法與估計量的評價200
4.6區間估計211
4.7點估計與區間估計軟件介紹223
習題4226
第5章 統計檢驗方法234
5.1從一些經濟問題的檢驗談起234
5.2假設檢驗的有關概念235
5.3單正態總體期望與方差的檢驗240
5.4雙正態總體均值差與方差比的檢驗243
5.5置信區間與假設檢驗之間的關係246
5.6假設檢驗的兩類錯誤249
5.7非參數假設檢驗254
5.8參數的假設檢驗軟件介紹261
習題5263
第6章 一元綫性迴歸分析269
6.1從一個火災賠償問題談起269
6.2一元綫性迴歸模型273
6.3迴歸方程的顯著性檢驗與預測280
6.4一元綫性迴歸軟件介紹287
習題6289
參考答案.292
附錄1偶然問題的必然規律303
附錄2略談數理統計與計量經濟學308
附錄3數學傢與文學313
附錶1常用的概率分布錶.318
附錶2標準正態分布錶320
附錶3t分布錶.322
附錶4x2分布錶324
附錶5F分布錶327
附錶6二項分布錶336
附錶7Poisson分布錶348
參考文獻350




第1章 隨機事件與隨機變量
概率論是“生活真正的領路人”,如果沒有對概率的某種估計,那麼我們就寸步難移,無所作為.
——傑文斯(W.S.Jevons)
在自然界和人類的社會生活與生産實踐中存在著da量的隨機現象,雖然這些現象具有偶然性但因其存在規律性,使人們對它們的研究發生瞭興趣,概率論與數理統計就是一門以隨機現象及其規律性為研究對象的數學學科.人們希望以它為理論依據對現實生活中的某些事物進行統計推斷從而做齣正確的決策.
本章從實際問題齣發,介紹概率論中兩個zui基本的概念:隨機事件及其概率;進而討論兩類隨機變量及其概率分布;zui後舉例介紹所涉上述問題的軟件應用.本章內容是學習概率論的基礎.
1.1從推斷問題和信用卡管理談起
1.1.1推斷問題
某市政府信訪辦公室承諾在國慶節放假期間仍然安排值班人員接待來訪群眾.記者發現在10月1日至10月7日的七天內信訪辦接待瞭12名來訪者,記錄顯示他們是在10月2日和10月4日兩天來訪的,記者的疑問是這七天長假期間是否每天都有工作人員在值班.
假設每位來訪者可選擇1日至7日的任何一天來訪,則12名來訪者共有712種組閤方式來到信訪辦公室,而他們均在2日和4日來訪的組閤方式共有212種,由此可知12名來訪者都在這兩天來訪的可能性為,約為0.0000003.這麼小的可能性可推斷七天長假並不是每天均有人值班,記者的懷疑是有道理的.
1.1.2信用卡管理問題
信用卡發行是銀行重要的業務之一,一方麵銀行希望爭取盡量多的客戶,另一方麵卻是信用卡客戶透支問題,從而信用卡管理是一個重要問題.
某銀行將客戶分為(信用)hao和(信用)壞兩類,並通過分析曆史數據得到:在每個月都會有近1％的hao客戶和10％的壞客戶透支銀行賬戶.當一位xin客戶來銀行開辦現金賬戶時,信用處通過基本檢驗後認為這位客戶da概有70％的機會是一位hao客戶.問題是這位客戶在diyi個月內就透支,請問銀行對這位客戶的信用度有什麼改變?如果這位客戶在第二個月仍透支呢?
假設H=“信用hao”,T=“透支其賬戶”,銀行的曆史數據顯示:
P(T|H)=0.01,P.T|H.=0.1.
另一方麵,銀行關於這位客戶zui初的信用觀點是
P(H)=0.7.
由貝葉斯(Bayes)理論,有.
銀行認為他是hao客戶的可能性由70％降到不足20％.在這裏P(H)=0.7稱為先驗概率,稱為後驗概率.下麵我們來考慮第二個月,在第二個月內這位客戶透支,此時銀行不會再認為他是一位(信用)hao的客戶瞭.
通過上述兩個問題可以看到,人們對現實世界的種種認識很多情況下是對各種事件發生可能性da小的判斷.反過來,這些事件發生的可能性da小又影響著人們的行為,我們的生活離不開概率.以下從zui基本的內容開始討論.
1.2隨機事件及其概率
1.2.1樣本空間
在自然界和人類社會活動中存在著許多現象,其中有些現象隻要滿足一定的條件就必然發生.例如:“在標準da氣壓下,純水加熱到100.C時會沸騰”,“在沒有外力作用的條件下靜止的物體必然靜止”.這類現象稱為確定性現象.
自然界和人類社會活動中還廣泛存在著與確定性現象有著本質區彆的另一類現象,例如:擲一枚硬幣,可能正麵朝上也可能反麵朝上;某城市明天發生交通事故的次數;從生産綫下來的産品是否為閤格品,這種在同樣條件下進行同樣的觀測或實驗卻可能發生不同結果的現象稱為隨機現象.這種普遍存在的看起來hao像毫無規律的隨機現象後麵實際卻隱藏著某種規律性.例如,多次重復拋一枚硬幣得到正麵朝上da緻有一半,某城市明天發生交通事故的次數按照一定規律分布等等.這種在da量重復試驗或觀察中所呈現齣的固有規律性稱為統計規律性.概率論和數理統計就是研究隨機現象統計規律性的一門學科.
一般地,使隨機現象得以實現及對它觀察的全過程通稱為隨機試驗,簡稱試驗,記為E.要完成一個隨機試驗,主要是明確實現它的“一定條件”以及由它産生的一切可能的“基本結果”.這裏的“一定條件”可以是人為的也可以是客觀存在的;這裏的“基本結果”是指隨機實驗zui簡單的,不可(或不必)再細分的結果.
定義1.1隨機試驗的每一個基本結果稱為樣本點,記作,隨機試驗的所有樣本點組成的集閤稱為樣本空間,記作Ω,即
例1.1E:“擲一枚硬幣觀察其朝上的麵”;可能齣現的結果是正麵或反麵;Ω=.
例1.2E:“一個人進行射擊,記錄他直至擊中目標的射擊次數”;可能結果是1,2,···;Ω={1,2,···}.
例1.3E:“觀察一隻燈泡的使用壽命”;可能齣現的結果是任一非負正數;Ω={0,+∞}.
例1.4E:“觀測某市每日的zuigao氣溫和zuidi氣溫”;以x,y分彆錶示zuigao和zuidi氣溫,人們總可以確定此地氣溫的上界a和下界b,可能齣現的結果是坐標平麵中的一個三角形;Ω=.
不難看齣,樣本空間Ω可以是數集,也可以是任何抽象的集閤;可以是有限集,可列集,也可以是不可列的無窮集閤;可以是一維的也可以是多維的集閤.所以,正確地確定不同隨機試驗的樣本點和樣本空間是非常重要的.
1.2.2隨機事件及其運算
在一次隨機試驗中,我們通常關心的是帶有某些特徵的那些樣本點所組成的集閤.例如:例1.2中“3次以內擊中目標”;例1.3中的“一隻燈泡的壽命超過500小時”.這種帶有某種特徵的樣本點組成的集閤稱為隨機事件,通常用da寫字母A,B,C,等錶示.因此,可記.
A={一個人射擊,3次以內擊中目標}={1,2,3},
B={一隻燈泡的壽命超過500小時}=(500,+∞).
隨機事件是樣本空間Ω的一個子集,在試驗中,如果事件A包含的某一個樣本點ω齣現瞭,則稱A發生,記為ω∈A.由樣本空間Ω中的單個元素組成的子集稱為基本事件,而樣本空間Ω的zuida子集Ω稱為必然事件,樣本空間Ω的zui小子集空集.稱為不可能事件.
一個樣本空間Ω中,可以有很多隨機事件,人們通常研究這些事件的關係及運算,以便通過較簡單的事件的統計規律去研究較復雜事件的統計規律.下麵介紹事件間的關係及運算,它們與集閤論中集閤之間的關係及運算是一緻的.
(1)包含
如果事件A發生必然導緻事件B發生,則稱事件B包含事件A,記作或對任一事件A,有.如果且,則稱事件A與事件B相等,記作A=B.
(2)和
兩個事件A與B中至少有一個發生,稱為事件A與事件B的和,記作A+B或A∪B.
錶示n個事件A1,A2,,An中至少有一個發生.
(3)積
兩個事件A與B同時發生,稱為事件A與B的積,記作AB或A∩B.
Ai=A1A2...An錶示n個事件A1,A2,,An...同時發生;
(4)互不相容
如果事件A與B不能同時發生,則稱事件A與B互不相容或互斥,此時必有AB=.基本事件是互不相容的.
如果n個事件A1,A2,,An中任意兩個事件都互不相容,即.
則稱這n個事件是互不相容的或互斥的.
Ai=A1A2...An錶示可列個事件A1,A2,,An...同時發生.
(5)對立(逆)如果兩個事件A與B滿足A+B=Ω,AB=.,則稱事件A是事件B的對立事件或逆事件；此時事件B也是事件A的逆事件，所以A與B事件是互逆事件，記作或，顯然.
（6）差
如果事件A發生且事件B不發生，稱為事件A與B的差，記為A-B.顯然.
圖1-1
對於事件的運算有如下的運算規律.
事件的運算律
(1)交換律:A+B=B+A,AB=BA;
(2)結閤律:(A+B)+C=A+(B+C),(AB)C=A(BC);
(3)分配律:(A+B)C=AC+BC;
(4)對偶原理:
對於n個事件,甚至對於可列個事件,對偶原理也成立.
例1.5證明
證法一
證法二即
且
因此.
例1.6設A,B是隨機事件,若滿足A+B=,證明:A,B相互對立.
證明我們隻要證明A+B=Ω且AB=.即可.
記C=A+B,D=AB,則由等式
可得
即A,B相互對立.
由對偶原理同樣可以證明:若AB=,則A、B相互對立.
例1.7小王下班後開車迴傢,途經4個交通信號燈.Ai錶示第i個路口遇上紅燈(i=1,2,3,4),試用Ai錶示下列事件:
(1)一路綠燈;
(2)至少遇到一次紅燈;
(3)隻遇到一次紅燈;
(4)至少遇到3次紅燈;
(5)至多遇到3次紅燈.
解(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
例1.8擲一枚骰子(6個麵),觀察其朝上麵的數字.設事件A={齣現奇數點},事件B={齣現偶數點},C={小於4點},求:事件A+C,BC,A.C,AB,A+B,並問A,B,C中哪兩個事件是對立的?
解因為Ω={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3},所以A+C={1,2,3,5},BC={2},A.C={5},AB=.,A+B=Ω.
因此,A與B是對立事件.


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