高中数学竞赛专题讲座：代数变形 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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蔡小雄，陶平生，冯跃峰，边红平 著

图书标签:

• 高中数学
• 数学竞赛
• 代数
• 变形技巧
• 解题方法
• 进阶学习
• 竞赛辅导
• 函数与方程
• 不等式
• 高中生

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308060387

版次：1

商品编码：10082812

包装：平装

开本：16开

出版时间：2008-06-01

页数：115

正文语种：中文

编辑推荐

　　《高中数学竞赛专题讲座》（一辑）12种出版以来，反响强烈，深受广大读者喜爱，并收到了大量反馈信息。很多读者，包括一线竞赛辅导的教师和竞赛研究人员提出了许多宝贵的建设性意见，希望我们再组织出版一套以解题方法和解题策略为主的丛书。为了满足广大读者的需求，我们在全国范围‘内组织优秀的数学奥林匹克教练编写了《高中数学竞赛专题讲座》（第二辑）共8种：《图论方法》、《周期函数与周期数列》、《代数变形》、《极值问题》、《染色与染色方法》、《递推与递推方法》、《组合构造》；考虑到配套，把’一辑中《数学结构思想及解题方

内容简介

　　《代数变形》是《高中数学竞赛专题讲座》丛书之一，以高中数学竞赛大纲为依据，分四讲专题论述高中数学竞赛中代数变形中的热点专题。

内页插图

目录

写在前面

第1讲活用常数
方法点津
典型例题
习题精选1

第2讲配以对偶
方法点津
典型例题
习题精选2

第3讲合理代换
方法点津
典型例题
习题精选3

第4讲加强命题
方法点津
典型例题
习题精选4

第5讲逐步调整
方法点津
典型例题
习题精选5

第6讲分拆合项
方法点津
典型例题
习题精选6

第7讲和式变换
方法点津
典型例题
习题精选7

第8讲巧妙构造
方法点津
典型例题
习题精选8
习题解答
参考文献

前言/序言

高中数学竞赛专题讲座：解析几何的飞跃 本书并非专注于抽象的代数技巧，而是将目光投向了高中数学竞赛中同样至关重要且极具魅力的一个分支——解析几何。我们相信，对于每一位志在数学竞赛领域崭露头角的同学而言，熟练掌握并灵活运用解析几何的工具，是提升解题能力、拓展解题思路的绝佳途径。本书旨在系统性地梳理解析几何的核心概念、关键定理以及一系列实用的解题方法与技巧，力求为广大高中生提供一份详尽而深入的学习指南，助力大家在竞赛中实现解析几何部分的“飞跃”。 本书内容概览： 本书共分为五个专题，循序渐进地引导读者深入理解解析几何的精髓。 专题一：平面直角坐标系与基本方程的精耕细作 本专题将从最基础的平面直角坐标系入手，详细阐述点、线、圆之间的基本关系。我们不仅仅停留在公式的罗列，而是深入探讨点坐标的几何意义、两点间距离公式的推导与应用、线段中点公式的灵活运用，以及直线方程的各种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式）及其相互转化。更重要的是，我们将强调这些基本概念与几何图形的内在联系，例如，如何通过坐标表示向量，如何利用向量运算解决几何问题。 关于直线方程，本书将深入分析斜率的几何意义，特别是平行直线与垂直直线方程的判定及其系数关系。直线与坐标轴的夹角、倾斜角等概念的精确定义和计算方法也将得到详细讲解。 圆的方程部分，我们将从圆的定义出发，推导出圆的标准方程和一般方程，并详细解析圆心坐标、半径与方程系数之间的对应关系。本书将特别强调参数方程在描述圆的运动轨迹以及解决与圆相关的周期性问题中的优势。此外，我们将深入探讨点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系（相切、相交、相离）的判定方法，以及如何通过判别式或几何意义来解决相关问题。 本专题的重点在于夯实基础，培养读者将几何问题转化为代数方程（组）的能力，并能从中提取有用的几何信息。我们将通过大量精心设计的例题，展示如何运用这些基本工具解决一类典型的直线与圆的综合性问题，例如求直线与圆的交点坐标、求圆的切线方程、求点到直线的距离、求两平行直线间的距离等。 专题二：圆锥曲线——探索对称与优美的几何轨迹 本专题将聚焦高中数学竞赛中常见的圆锥曲线：椭圆、双曲线与抛物线。我们将从几何定义出发，严格推导它们的标准方程，并深入剖析方程中各项系数的几何意义，例如椭圆的长短半轴、离心率，双曲线的实轴虚轴、渐近线，抛物线的焦点、准线等。 对于椭圆，我们将重点讲解其对称性、离心率的几何意义及其对椭圆形状的影响，以及焦点的性质。如何利用椭圆的定义（两焦点距离之和为常数）和方程来解决与椭圆相关的问题，例如求椭圆的弦长、求点与椭圆的位置关系等。 双曲线的讲解将强调其两条渐近线在刻画双曲线形状中的作用，以及离心率大于1的特性。我们将深入探讨双曲线的焦点性质，以及如何利用双曲线的定义（两焦点距离之差的绝对值为常数）来解决问题。 抛物线的讲解将集中于其焦点和准线的性质。我们将详细分析抛物线方程中参数对抛物线开口方向、形状的影响，以及如何利用抛物线的定义（点到焦点距离等于点到准线距离）来解决相关问题。 本书将特别注重圆锥曲线的几何性质与代数方程的联系。例如，如何通过代数方法（联立方程、韦达定理）来研究圆锥曲线的弦、切线问题，以及如何利用韦达定理处理弦的中点坐标、弦长公式等。此外，我们将介绍“点差法”等针对圆锥曲线问题的经典解题技巧。 专题三：向量在解析几何中的应用——简化与统一的视角 向量是连接代数与几何的桥梁，在解析几何中具有不可替代的作用。本专题将系统介绍向量的基本概念，包括向量的定义、模、方向、零向量、单位向量等。我们将详细讲解向量的线性运算（加法、减法、数乘），以及向量的几何表示和运算规则。 接着，我们将深入探讨向量的数量积（点积）及其几何意义，包括两个向量夹角的计算、向量的垂直判定、向量投影等。数量积在判断两直线垂直、计算图形面积等方面具有独特优势。 本书将重点讲解向量在解析几何中的具体应用，例如： 利用向量表示直线方程： 方向向量和点法向量在描述直线方向和垂直关系上的优势。 利用向量表示圆和圆锥曲线方程： 通过向量模长或数量积建立方程，提供一种不同于传统方法的视角。 利用向量解决距离问题： 点到直线距离、点到平面距离（在空间解析几何中也会涉及）等，向量方法往往更简洁。 利用向量解决角度问题： 计算异面直线夹角、线面角、二面角（涉及空间解析几何）。 利用向量处理共线、共面等几何关系。 通过大量例题，我们将展示向量方法如何简化复杂的解析几何问题，提供更统一、更具逻辑性的解题框架。 专题四：解析几何中的参数方程与相关方法 参数方程是描述运动轨迹、处理周期性问题以及简化某些复杂方程的有力工具。本专题将从参数方程的定义和意义入手，详细讲解直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程形式及其相互转化。 我们将重点分析参数方程在解决以下问题中的优势： 求交点： 将两条曲线的参数方程联立，求解参数值，进而得到交点坐标，这种方法在处理复杂交点问题时尤为有效。 求解弦长、中点问题： 利用参数方程方便地表示弦的端点，进而计算弦长和中点坐标。 处理周期性问题： 在涉及圆的运动、周期性几何变换等问题中，参数方程能够清晰地展现运动的规律。 构造特殊点： 利用参数方程构造曲线上特定位置的点，例如椭圆上的“顶点”或“端点”，方便后续计算。 此外，本专题还将介绍与参数方程相关的其他重要思想方法，例如“代换法”、“消参法”等，以及如何灵活选择合适的参数来简化问题。 专题五：解析几何综合题与竞赛策略 本专题将汇集各类高中数学竞赛中常见的解析几何综合题型，涵盖了直线、圆、圆锥曲线之间的相互关系，以及与向量、参数方程等内容的融合。我们将通过对历年经典竞赛题的深入剖析，总结解题思路和常用技巧。 我们将重点讲解以下几类综合题的解题策略： 弦长、最值问题： 如何利用韦达定理、不等式、导数（在某些情况下）或几何意义求解弦长、距离等的最值。 轨迹问题： 如何根据已知条件，准确求解动点的轨迹方程，并分析其几何性质。 定值问题： 如何识别出问题中的不变量，并利用特殊情况或代数方法求解定值。 恒成立问题： 如何将几何问题转化为关于参数的不等式，并利用解析几何或代数方法求解参数范围。 几何证明问题： 利用解析几何的方法，将几何命题转化为代数恒等式，从而进行严格证明。 本书的每一章节都配有大量精选的例题和练习题，涵盖了从基础到拔高的各个层次。例题的解析力求详尽，不仅给出答案，更注重分析解题思路的形成过程、关键步骤的推导以及各种方法的比较。练习题旨在帮助读者巩固所学知识，熟练掌握解题技巧。 本书的最终目标，是帮助读者建立起严谨的数学思维，培养独立思考和解决复杂问题的能力，从而在高中数学竞赛的解析几何部分取得优异成绩。我们相信，通过本书的学习，每一位有志于此的同学，都能够自信地迎接解析几何的挑战，并在数学的广阔天地中，探寻更多的奥秘与精彩。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格实在是太吸引人了，读起来就像是在和一位经验丰富的数学导师对话。虽然我这次想了解的是关于数列的难题，但这本书里关于“数列的通项公式与递推关系”这一章节的讲解，让我大开眼界。作者并非直接给出一堆公式，而是从数列的本质出发，一步步引导读者去理解如何从递推关系中挖掘出通项公式的奥秘。尤其令我印象深刻的是，书中对于“特征方程法”的讲解，清晰地阐述了其适用条件和求解步骤，并配以了大量精心设计的例题，从简单的线性递推数列到稍微复杂的非线性递推数列，都进行了详细的剖析。我之前在处理像斐波那契数列的变种或者涉及参数的递推数列时，常常感到束手无策，而这本书提供的系统性方法，让我看到了突破瓶颈的可能。更重要的是，书中不仅仅局限于“解题”，更注重“解题思想”的传授。例如，作者反复强调“观察与猜想”在数列问题中的重要性，以及如何通过构造新的数列来简化问题，这些思想方法是通用的，甚至可以迁移到其他数学领域。即便我的目标是数列，这本书关于代数变形的基本功训练，也让我受益匪浅，感觉自己的数学思维更加严谨和灵活了。

评分☆☆☆☆☆

这本书在介绍“函数性质与构造”方面做得尤为出色，这正是我在解决函数类竞赛题目时最需要加强的部分。作者通过大量的实例，生动地展示了如何利用函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性来解决各种复杂的函数问题。我特别欣赏书中对于“构造辅助函数”这一方法的讲解，作者并没有简单地罗列技巧，而是深入剖析了构造辅助函数的逻辑和必要性，并通过一个个精心挑选的例子，展示了如何根据问题的特点，巧妙地构造出能够揭示函数性质的辅助函数。例如，在处理某些涉及函数方程的题目时，我常常会陷入无休止的尝试和验证，而这本书提供的构造法，能够直接指引我找到问题的关键点。此外，书中关于“函数图像的分析与应用”也让我受益匪浅。作者结合具体的函数图像，讲解了如何通过图像的形状、交点、斜率等信息来推断函数的性质，以及如何利用图像来直观地理解抽象的数学概念。虽然我这次的关注点是函数，但书中穿插的关于代数式的值域、最值问题，以及如何利用代数变形来简化函数表达式的讲解，也让我觉得非常有价值，为我理解更深层次的函数问题打下了基础。

评分☆☆☆☆☆

初次翻开这本《高中数学竞赛专题讲座：代数变形》，就被其精炼的排版和清晰的目录所吸引。虽然我目前主要关注的是几何部分的解题技巧，但出于对数学竞赛整体能力的提升需求，还是抱着学习和借鉴的心态来浏览这本书。书中开篇对代数变形的基本原则和常见套路进行了系统性的梳理，这一点非常到位。例如，在处理不等式证明时，作者通过引入“代数放缩”这一概念，并结合具体的例题，深入浅出地阐述了如何通过巧妙的变量替换和恒等变形来简化不等式结构，从而更容易找到证明思路。书中特别强调了“对称性”和“周期性”在代数变形中的应用，这对于我这种初学者来说，无疑是打开了一扇新的大门。我之前在做某些涉及高次多项式的题目时，常常感到无从下手，而这本书提供的思路，比如将多项式进行适当的配方或因式分解，利用韦达定理或根的判别式来分析其性质，让我看到了解决问题的希望。而且，书中穿插的一些竞赛真题解析，虽然重点在代数，但其中蕴含的数学思想，比如整体思想、化归思想，对于我解决几何问题同样具有启发意义。总而言之，尽管我尚未深入研究书中的每一道题目，但从其编排和介绍来看，这本书对于想要系统提升代数功底，为更高难度的数学竞赛打下坚实基础的读者来说，无疑是一本值得细细品读的宝藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书在“整体代换与降次”这一专题上的讲解，给我留下了深刻的印象。我之前在处理一些高次方程组或者涉及到复杂代数式方程的题目时，常常感到无从下手，而这本书提供的“整体代换”思想，就像为我打开了一扇新的大门。作者通过大量的实例，生动地展示了如何识别题目中的“整体”，并将其进行巧妙的替换，从而将复杂的问题转化为简单的方程或不等式。例如，在处理某些对称性极强的方程组时，书中提供的换元方法，能够迅速简化方程结构，并且容易找到解题思路。更让我感到惊喜的是，书中关于“降次”的思想，不仅仅局限于代数方程，其背后的数学思想，比如化繁为简，将复杂问题逐步分解，对于我理解其他数学领域的难题同样具有借鉴意义。我特别喜欢书中对“构造新变量”这一技巧的讲解，作者不仅给出了具体的例子，还深入剖析了构造新变量的逻辑和依据，让我明白了如何根据问题的特点，灵活运用这一技巧。虽然我本次关注的重点是代数变形，但书中关于“数形结合”的思想，在代数问题中的应用，也让我觉得非常精妙，为我解决其他领域的数学问题提供了新的思路。

评分☆☆☆☆☆

我一直对解析几何中的一些难题感到头疼，尤其是在处理直线与圆锥曲线的交点问题时，常常会因为计算量过大而望而却步。这本书的“方程的根的分布与范围”这一章节，恰好给了我非常大的启发。作者通过引入“判别式法”、“韦达定理法”以及“图像法”等多种解题工具，系统地讲解了如何分析二次方程的根的分布情况。我尤其欣赏书中关于“参数范围的确定”的讲解，作者通过将问题转化为参数与根的分布之间的关系，并结合图形进行直观分析，让我深刻理解了如何利用代数方法来解决几何问题中的参数限制。例如，在解决“直线与圆锥曲线相交且满足特定条件”这类问题时，书中提供的方法，能够帮助我快速确定参数的取值范围，避免了繁琐的分类讨论。虽然我本次的目标是解析几何，但书中关于代数式的化简、恒等变形以及不等式求解的内容，对于我准确求解韦达定理中的表达式，以及判断交点坐标的性质，都起到了至关重要的作用。感觉这本书就像一座桥梁，连接了代数和几何，让我看到了解决问题的全新视角。

评分☆☆☆☆☆

典型例题

评分☆☆☆☆☆

行文简洁，技巧性强，值得一读。

评分☆☆☆☆☆

正版，发货很快，很满意

评分☆☆☆☆☆

专门搞恒等变形，练内功用。

评分☆☆☆☆☆

是本不错的书哦，值得推荐给广大读者．

评分☆☆☆☆☆

10082723

评分☆☆☆☆☆

东西不错，便宜实惠方便

评分☆☆☆☆☆

习题精选5

评分☆☆☆☆☆

好评好评好评好评好评好评好评好评好评好评