包邮 集合论基础 俄罗斯/韦列夏金 著 陈光还 译 高等教育出版社 大学生数学图书馆 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[俄罗斯] 沈 著

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出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040379143

商品编码：10124288599

包装：平装

出版时间：2013-09-01

   
 

好的，请看这份图书简介： --- 《数之源：现代数学的逻辑基石》 一部深入浅出、逻辑严谨的集合论入门读本，旨在为初学者构建稳固的数学思维框架。 图书核心内容聚焦于： 第一部分：朴素集合论的构建与直觉基础 本部分从历史脉络出发，探讨集合概念的自然起源及其在早期数学活动中的直观作用。我们首先介绍集合的直观理解，即对象聚集体的概念，并详细阐述集合的基本性质，如元素的归属关系、集合相等性的判定标准等。重点讨论了朴素集合论中两大基本操作：外延原理与内涵原理。 通过大量的实例和类比，我们剖析了如何利用集合的扩张与缩减来构造新的集合。例如，对有限集的明确定义与有限集合运算（并集、交集、差集、补集）的深入剖析，为后续的函数和关系奠定基础。本部分特别强调了维特根斯坦集合（Wittgenstein Set）和罗素悖论（Russell's Paradox）的引入，它们是驱动现代公理化集合论发展的关键历史事件。我们不仅叙述了悖论的表象，更深入探究了其逻辑矛盾的根源，为读者理解为何需要更严格的公理体系做好铺垫。 第二部分：关系的解析与函数的严谨定义 本章将集合论的工具性推向深入，专注于笛卡尔积（Cartesian Product）的定义及其重要性。笛卡尔积是构造二元关系的基础，我们将详尽阐述二元关系的概念、表示方法（如关系矩阵和图示法），以及关系上的重要性质：自反性、对称性、传递性。 在此基础上，我们构建了等价关系（Equivalence Relations）与偏序关系（Partial Orders）。等价关系的概念被用于集合的划分（Partitioning），这是理解抽象代数中商集结构的关键一步。偏序关系则通过格论（Lattice Theory）的初探，展现了集合论与序理论的紧密联系。 随后，函数作为一种特殊的二元关系被严格定义。我们详细讨论了函数的性质：单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective），以及函数的复合运算。通过这些严谨的定义，读者将能从集合论的高度重新审视微积分中极限、连续性等核心概念的逻辑基础。 第三部分：康托尔的无穷——基数理论的奠基 本部分是全书的理论高潮，集中讨论了无穷的概念及其大小的度量。康托尔（Georg Cantor）的开创性工作被系统地引入。我们首先通过双射的概念来定义集合的基数（Cardinality），并引入了良序定理（Well-Ordering Theorem）和选择公理（Axiom of Choice, AC）的讨论。 我们深入分析了可数无穷（Countable Infinity）的概念，并以自然数集 $mathbb{N}$ 为标准，证明了整数集 $mathbb{Z}$ 和有理数集 $mathbb{Q}$ 与 $mathbb{N}$ 具有相同的基数（记为 $aleph_0$）。这部分内容通过康托尔的对角线论法（Diagonal Argument）达到了激动人心的顶点：证明了实数集 $mathbb{R}$ 的基数严格大于自然数集的基数。 实数集的基数 $c$ 被定义为连续统的基数（Cardinality of the Continuum）。我们探讨了连续统假设（Continuum Hypothesis, CH）的提出及其在策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF/ZFC）中的地位——它既不能被证明，也不能被证伪，这一发现揭示了数学公理系统的内在局限性。 第四部分：公理化集合论的初步视野 为了解决朴素集合论中的悖论，现代数学转向了公理化体系。本章简要介绍了策梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）的核心思想。我们着重介绍了几个关键的公理，它们取代了直觉，为集合的构造划定了安全的边界： 1. 外延公理（Axiom of Extensionality）： 确定集合的同一性标准。 2. 空集公理（Axiom of Empty Set）： 确保了至少存在一个集合。 3. 配对公理（Axiom of Pairing）与并集公理（Axiom of Union）： 描述了如何从现有集合构造新集合。 4. 分离公理模式（Axiom Schema of Separation）： 解决了罗素悖论的核心问题，规定了集合的生成必须基于已有的集合，而非任意属性。 5. 幂集公理（Axiom of Power Set）： 保证了集合可以生成“更大”的集合。 本章不深入复杂的元数学证明，而是将这些公理视为构建稳定、无矛盾的数学宇宙的“宪法”。通过这些公理，读者将对现代数学的根基形成一个清晰、务实的认识。 适合读者群体： 本书面向所有对数学逻辑基础感兴趣的读者，尤其是大学数学、计算机科学、哲学逻辑等专业的本科生及研究生。它为学习代数拓扑、泛函分析、模型论以及高等离散数学提供了不可或缺的逻辑准备。阅读本书无需高深的预备知识，但需要对严谨的逻辑推理保持开放和热忱。通过本书的学习，读者将能够掌握集合论的精髓，理解现代数学语言的精确性与力量。 ---

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的数学书籍，不仅仅是知识的传授，更是一种思维方式的培养。这本《集合论基础》就做到了这一点。它没有简单地把数学当成一道道题目来解答，而是注重引导读者去理解数学的“为什么”。书中对集合论公理系统的介绍，不是死记硬背，而是让你去体会为什么需要这些公理，以及它们如何构成了整个数学大厦的基石。韦列夏金先生的讲解方式，注重逻辑的严密性和概念的精确性，但同时又不失启发性。陈光还先生的翻译，更是将这种风格原汁原味地呈现出来，使得阅读体验非常顺畅。我印象深刻的是书中关于序数和基数的讨论，这些概念初看起来可能有些晦涩，但通过书中一系列的例子和推导，我逐渐理解了它们在描述无穷大方面的精妙之处。这本书不仅仅是一本工具书，更是一次深入的数学哲学之旅。

评分☆☆☆☆☆

我必须得说，这本书的出版对于国内的数学爱好者和学习者来说，绝对是一个巨大的福音。在市面上，要找到一本既有深度又不失易懂的集合论入门书籍实属不易。而这本《集合论基础》恰恰做到了这一点。它并非一本简单罗列定理和证明的教科书，更像是一位经验丰富的导师，耐心地引导你探索抽象的数学世界。书中在讲解过程中，会时不时地插入一些历史背景的介绍，或者与其他数学分支的联系，这些都极大地丰富了阅读体验，让我感觉不只是在学习一套理论，而是在了解一个鲜活的数学体系的演变。我尤其欣赏书中关于可数性与不可数性的讨论，那种从直观到形式化的过渡处理得非常到位，让我对无穷的本质有了更深刻的体悟。而且，这本书的装帧也非常精美，作为“大学生数学图书馆”的一员，它的整体品质都非常高，拿在手里就有一种沉甸甸的知识感，这对于激励学习热情也是非常有帮助的。

评分☆☆☆☆☆

作为一名非数学专业的学生，我最初对集合论的印象就是一些抽象的符号和公式，感觉离自己的学习领域很远。但是，这本书彻底改变了我的看法。它不仅仅是数学专业学生的学习资料，对于任何希望理解现代科学和社会体系底层逻辑的人来说，都具有非常高的参考价值。书中对集合、关系、函数等基本概念的阐释，逻辑清晰，层层递进，让我逐渐看到了这些看似抽象的概念在各种领域中的应用基础。例如，书中对于集合运算的介绍，其背后的思想可以延伸到计算机科学中的数据结构，也可以理解社会学中的群体划分。我特别欣赏书中对于佐恩引理和选择公理等重要定理的推导过程，这些内容虽然有一定难度，但经过本书的细致讲解，变得相对容易理解，并且让我看到了数学逻辑的强大力量。

评分☆☆☆☆☆

这本书真的是一本宝藏！我一直对数学的严谨性非常着迷，而集合论作为一切数学的基石，其重要性不言而喻。这本书的译者陈光还先生的名声我早有耳闻，他的翻译功底那是没得说的，读起来既流畅又准确，完全没有那种生硬的学术翻译感，仿佛作者本人就在你耳边娓娓道来。韦列夏金先生的原文自然不必多言，俄罗斯数学家的严谨和深刻在这本书中体现得淋漓尽致。我尤其喜欢书中对一些基础概念的引入方式，不是那种枯燥的定义堆砌，而是循序渐进，用清晰的例子和巧妙的论证来引导读者一步步理解。特别是那些看似简单却蕴含深意的公理，书中给出了相当透彻的讲解，让我对公理化方法的精妙有了更深的认识。读这本书的过程，就像是在一座宏伟的数学宫殿里漫步，每一砖一瓦都经过精心打磨，每一条走廊都通向更开阔的视野。对于刚刚接触集合论的大学生来说，这本书绝对是首选，它能为你打下坚实的基础，让你在未来的数学学习道路上少走弯路，少一些畏惧，多一些自信。

评分☆☆☆☆☆

说实话，当初选择这本书，是被“俄罗斯数学”和“韦列夏金”这几个标签吸引的。毕竟，俄罗斯数学在逻辑和基础理论方面一直享有盛誉。拿到书后，发现果然名不虚传。韦列夏金先生的论证风格非常严谨，逻辑链条环环相扣，几乎没有模糊地带。陈光还先生的翻译也相当出色，准确地传达了原文的精髓，并且保持了学术论文应有的那种精确性，同时又不会让读者感到枯燥乏味。我尤其喜欢书中在引入某些概念时，会先给出一些具体的例子，让读者在感性上有所体会，然后再上升到抽象的定义和公理。这种“由浅入深”的方式，对于像我这样数学基础不是特别扎实的读者来说，简直是太友好了。书中对一些证明技巧的讲解也非常值得学习，它们不仅仅是集合论中的证明，更是通用的数学证明思想。