现代数学专著系列：正算子理论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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杨长森 等 著

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• 数学
• 泛函分析
• 算子理论
• 正算子
• 谱理论
• 希尔伯特空间
• 数学分析
• 线性代数
• 数学专著
• 理论数学

出版社： 武汉大学出版社

ISBN：9787307072053

版次：1

商品编码：10158863

包装：平装

开本：16开

出版时间：2009-08-01

页数：199

正文语种：中文

内容简介

　　Hilbert空间上正算子理论是线性代数中正定矩阵理论向无穷维情形的推广，《正算子理论》介绍利用算子极分解理论研究Hilbert空间上正算子的若干性质，如不等式的保序性、算子函数的单调性和若干新的算子类等方面的知识和方法，全书共分五章：第一章介绍部分等距和极分解等预备知识，第二章介绍L-H不等式、Furuta不等式及Furuta型不等式，并研究具有负幂的Furuta型不等式的推广，第三章介绍L-H不等式和Furuta不等式条件的优性，并研究Fldruta型算子单调函数的佳单调区间，第四章介绍Furuta不等式在Ando定理、算子方程、算子广义相对熵、：Kantorovich型不等式等中的应用，并研究若干算子保序不等式，第五章利用Furuta不等式和算子单调函数研究F(p，r，g)，wF(p，r，g)，A(s，t)等算子类，指出这些类与其中参数的依赖性、它的谱性质和其中算子幂的性质等，《正算子理论》可作为基础数学专业泛函分析方向的研究生教材或参考书，也可供有关专业的教师和科研工作者参考。

内页插图

目录

前言
第一章 预备知识
1.1 正常算子与自伴算子的简单性质
1.2 投影算子与正算子的平方根
1.3 部分等距与极分解
1.4 降幂引理及比较引理
1.5 几种特殊的算子类

第二章 几个重要的算子不等式
2.1 L-H不等式及其等价命题
2.2 Furuta不等式
2.3 具有负幂指数的Furuta型不等式
2.4 关于负幂的Furuta型不等式的推广
2.5 Kantorovich不等式和Holder-McCarthy不等式

第三章 Furuta型不等式条件的最优性
3.1 L-H不等式及Furuta不等式的最优性
3.2 Furuta型算子单调函数的最佳单调区间
3.3 具有负指数Furuta型不等式外部指数的最优性

第四章 Furuta不等式与Furuta型不等式的应用
4.1 Ando定理
4.2 Furuta不等式应用于Ando定理和算子的广义相对熵
4.3 Furuta不等式应用于算子的保序不等式
4.4 Furuta不等式应用于算子方程
4.5 与广义Furuta不等式相应的算子单调函数
4.6 Furuta不等式在Kantorovich型不等式中的应用
4.7 Kantorovich型不等式应用于算子混序的一个特征

第五章 Furuta不等式应用于若干算子类
5.1 几个算子单调函数
5.2 wF(p，r，q)算子类
5.3 F(p，r，q)，wF(p，r，q)算子类与其中参数的依赖性
5.4 A(s，t)类算子的谱性质
5.5 wF(p，r，q)类算子的谱性质
5.6 p-亚正常算子及对数-亚正常算子的幂
索引
参考文献

前言/序言

现代数学专著系列：函数空间中的谱理论与非交换几何 本书是“现代数学专著系列”中的一部重要著作，专注于探讨函数空间中一个高度抽象且具有深远影响的领域：谱理论及其在非交换几何中的应用。本书面向具有扎实的泛函分析、算子理论和微分几何基础的研究人员、博士研究生以及对前沿数学理论有浓厚兴趣的学者。 本书的核心目标在于构建一个统一的数学框架，用以理解那些在经典黎曼几何中依赖于局部光滑结构的理论，如何在更广阔的、由谱数据而非传统几何对象描述的空间中得以推广。我们将深入分析经典谱理论的内在局限性，并展示如何通过引入非交换代数和C-代数等工具，将这些理论扩展到具有离散结构或内在拓扑不规则性的空间上。 第一部分：函数空间与拓扑结构的基础重构 本部分首先回顾并深化了希尔伯特空间上的有界与无界算子理论。我们将重点关注那些在特定函数空间（如$ ext{L}^p$空间、索博列夫空间以及更广义的Fréchet空间）上定义的自伴算子。这些算子是谱理论的基石，但其在无限维空间上的性质远比有限维情况复杂。 1.1 算子理论的拓扑视角： 详细讨论了紧算子和Fredholm算子的性质，引入了Weyl定理及其在非自伴算子上的推广。我们不再将谱视为一个孤立的点集，而是将其视为描述算子行为的拓扑不变量。 1.2 函数空间的选择与内积的意义： 深入探讨了不同函数空间（如$ ext{L}^2(mathcal{M})$，其中$mathcal{M}$是某种测度空间或更抽象的集合）如何影响谱的结构。特别关注了测度论的限制，并探讨了在缺乏经典测度时的替代方法，如Gelfand-Naimark-Segal (GNS)构造在重建局部结构中的作用。 1.3 算子代数的引入： 正式引入C-代数和von Neumann代数的概念。这些代数是处理无限维算子集合的自然语言。我们将展示如何利用这些代数的结构（如赤道子代数）来替代传统微分几何中的切丛和向量丛。 第二部分：谱理论的代数化与几何化 本部分是本书的理论核心，旨在将算子谱信息转化为几何信息。我们将沿着阿兰·孔涅（Alain Connes）开创的路径，探讨如何用迹公式（Trace Formulas）来替代曲率积分。 2.1 谱三角： 详细分析了库尔纳-福特（Krein-Folk）公式和Weyl定律在无穷维空间上的精确形式。我们将证明，在特定的正则条件下，算子的谱间距可以直接编码了空间的黎曼张量或其非交换类似物。 2.2 非交换黎曼几何的构建块： 引入非交换流形的概念，它不再是点的集合，而是由一个C-代数$mathcal{A}$及其上的一个导子（Derivation）$delta$来定义的。我们将重点研究如何从算子$ ext{D}$的谱中提取出非交换的拉普拉斯-贝特拉米算子$Delta_{mathcal{A}}$。 2.3 谱三重态： 详细阐述了谱三重态$(mathcal{A}, mathcal{H}, ext{D})$——一个C-代数、一个希尔伯特空间和一个狄拉克算子——如何成为非交换几何的基本构件。我们将展示狄拉克算子 $ ext{D}$ 的谱信息，特别是其零能模式，如何决定了非交换空间的拓扑K理论特征。 第三部分：应用与前沿探索 本书的最后一部分着眼于将前述的抽象理论应用于具体的数学和物理问题，展示了谱理论在超越传统微分几何边界时的强大威力。 3.1 非交换的特征类： 探讨如何利用Connes-Karoubi上同调来定义和计算非交换空间的特征类。这包括非交换的陈类和示性类，它们是通过对狄拉克算子$ ext{D}$的函数（如$ ext{sgn}( ext{D})$）取有限迹（或$ ext{L}^2$-迹）得到的。我们将展示这些迹如何对应于经典几何中的积分形式。 3.2 模空间与参数空间的谱稳定性： 分析了当几何结构（如度量或连接）发生微小形变时，算子谱的稳定性问题。这涉及谱扰动理论在非光滑背景下的推广，特别是对随机游走算子在图或分形结构上的谱分析。 3.3 与量子场论的接口： 简要讨论了非交换几何框架在规范场论中的潜在应用，特别是如何使用AdS/CFT对偶中的谱信息来理解引力理论的边界条件，以及在非交换空间时间上的量子场论的构造问题。 本书的写作风格严谨，逻辑推进层层递进，力求在高度抽象的理论与清晰的数学构造之间找到平衡。对于希望突破传统几何范式，运用代数工具解析复杂空间结构的研究者而言，本书提供了必要的理论深度和前沿视野。书中包含大量细节证明和贯穿全书的例证，旨在帮助读者掌握谱理论从经典到非交换领域的完整演化路径。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉就像是在攀登一座巍峨的山峰，虽然艰难，但每一步的攀登都让我离顶峰更近。作者的讲解方式非常独特，他并没有一股脑地将所有知识倾泻出来，而是循序渐进，恰到好处地引导读者思考。我常常会在阅读某个定理时，先停下来自己尝试推导，然后再对照书中的证明，这种互动式的学习方式极大地加深了我对知识的理解。有时候，我会因为一个小的细节而卡住，但书中的插图和例子总是能及时地帮助我跨越障碍，那种豁然开朗的感觉，是其他任何书籍都无法比拟的。我注意到书中包含了一些非常前沿的研究成果，这让我对数学的未来充满了期待。同时，书中也穿插了一些历史故事和数学家的轶事，这不仅增添了阅读的趣味性，也让我对数学这门学科有了更深层次的认识。我相信，这本书不仅仅是一本学术专著，更是一部能够激发读者对数学无限热情的杰作。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的震撼，如同在平静的湖面投下一颗石子，激起了层层涟漪，让我对数学的理解进入了一个全新的维度。我尤其欣赏作者在书中对于一些古老数学问题的现代诠释，这让我看到了数学的生命力和发展轨迹。书中对于一些定理的证明，并非简单地罗列公式，而是充满了智慧的闪光。我常常会反复阅读某一个证明，试图从中领悟作者的思路和技巧。书中的语言虽然专业，但并不晦涩，作者善于使用恰当的比喻和类比，将复杂的概念变得通俗易懂。我注意到，书中引用了大量最新的研究成果，这让我对正算子理论的最新进展有了初步的了解。我非常期待能在书中找到更多关于这个领域的未解之谜和研究方向，从而激发我进一步探索的欲望。这本书不仅仅是一本学术著作，更是一部能够启迪思想、激发创造力的艺术品，我将珍藏并反复研读。

评分☆☆☆☆☆

我承认，在拿起这本书之前，我对“正算子理论”这个领域几乎是一无所知，甚至对“算子”这个词都感到陌生。然而，这本书以一种令人难以置信的包容性和耐心，将我从零基础引导至能够理解一些相对复杂的概念。作者的写作风格非常擅长从最基本的问题出发，一步步构建起严谨的理论体系。我喜欢书中对每一个新概念的引入都伴随着清晰的定义和恰当的例子，这使得原本可能枯燥的概念变得生动易懂。在学习过程中，我最大的收获之一就是学会了如何批判性地思考数学问题，不再仅仅是机械地记忆公式和定理，而是去理解它们背后的逻辑和意义。我发现，这本书并没有追求华丽的辞藻，而是将重点放在了知识本身的清晰传达上。对于我这样的初学者来说，这种务实的风格正是最需要的。我非常感激作者能够为我们提供这样一本高质量的学习资源，它无疑为我打开了通往更广阔数学领域的大门。

评分☆☆☆☆☆

这本书就像是一扇通往全新数学世界的窗口，虽然我才刚刚开始探索，但已经能感受到其中蕴含的深邃与美妙。初次翻阅，就被作者严谨的逻辑和清晰的表述所吸引。数学的世界常常让人望而生畏，但这本书却用一种令人舒适的方式引导读者一步步深入。那些看似抽象的概念，在作者的笔下变得生动起来，仿佛触手可及。我尤其喜欢书中对于一些关键定理的证明过程，每一个步骤都经过了精心的设计，让我在理解的同时，也学会了如何去思考和构建数学证明。虽然我并非科班出身，但通过这本书，我仿佛能够窥见数学家们思考问题的视角，体验到那种在逻辑的海洋中遨游的乐趣。我期待着能在这本书的指引下，不断提升自己的数学素养，发现更多隐藏在数字背后的奥秘。这本书的出版，无疑是数学界的一件盛事，相信它会成为无数热爱数学的读者宝贵的精神食粮。

评分☆☆☆☆☆

我一直对抽象数学有着浓厚的兴趣，但总觉得缺少一本能够真正引导我深入理解其精髓的书籍。直到我遇到了这本《现代数学专著系列：正算子理论》，我才找到了我一直在寻找的东西。这本书的结构非常精巧，从基础概念的引入到复杂理论的探讨，层层递进，逻辑严谨。我特别欣赏作者在解释抽象概念时所采用的类比和几何直观，这极大地帮助我理解了那些看似难以捉摸的数学思想。书中大量的习题也是我学习过程中不可或缺的一部分，它们不仅巩固了我所学的知识，更教会了我如何将理论应用于实践。我发现，这本书的深度和广度都令人印象深刻，它涵盖了正算子理论的许多重要方面，而且对每一个分支都进行了深入的剖析。我常常会在阅读过程中，因为某个巧妙的证明或者深刻的见解而感到惊叹。我相信，这本书一定会成为许多数学爱好者和研究者的宝贵财富。