现代极小曲面讲义 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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泽维尔（Frederico Xavier），潮小李 著

图书标签:

• 极小曲面
• 微分几何
• 现代数学
• 几何分析
• 变分法
• 拓扑学
• 数学讲义
• 表面理论
• Riemann几何
• 数学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040322811

版次：1

商品编码：10706658

包装：平装

丛书名： 现代数学基础

出版时间：2011-06-01

页数：152

正文语种：中文

内容简介

极小曲面广泛存在于自然界中，很多问题也源于自然界，其理论已经发展成为微分几何的一个内容十分丰富的分支。《现代极小曲面讲义》主要强调利用复分析的方法来研究极小曲面，重点讨论了极小曲面的Gauss映射、Calabi猜想以及Catalan定理的复分析证明，同时作：为《现代极小曲面讲义》的重要补充，在附录中也介绍了近年来由T，H，Coldinq和W P Minicozzill发展起来的一些新的理论和方法。
《现代极小曲面讲义》可作为微分几何专业的高年级本科生和研究生的教材或参考书，也可供数学和物理相关领域的研究人员参考。

内页插图

目录

中文序言
英文序言
第一章 基本知识
1.1曲线的曲率
1.2曲面的曲率

第二章 极小曲面的weierstrass表示
2.1等温坐标
2.2 weierstrass表示

第三章 完备性与极小曲面的gauss映射
3.1完备极小曲面
3.2完备极小曲面的gauss映射

第四章 calabi猜想
4.1 runge逼近定理
4.2calabi猜想
4.3 calabi猜想的最新进展

第五章 poisson积分及其在极小曲面理论中的应用
5.1poisson积分
5.2 poisson积分的边界行为
5.3 riesz定理
5.4局部fatou定理和privalov唯一性定理
5.5调和共轭的边界行为
5.6极小曲面的凸包
5.7具有有界曲率的嵌入极小曲面

第六章 catalan定理的复分析证明
6.1基本知识
6.2极小曲面的渐近线
6.3一类螺旋面
6.4 catalan定理的证明

第七章 未解决的问题
附录a螺旋面的唯一性
附录b极小曲面理论在poincare猜想证明中的应用
b.1宽度和有限消失定理
b.2能量减少映射
参考文献
名词索引

现代极小曲面讲义 本书旨在于深入探讨现代微分几何中的核心概念——极小曲面。 本书并非对该领域的传统综述，而是以一种现代、深入且注重直觉理解的方式，构建起从基础概念到前沿研究的知识桥梁。我们摒弃了繁琐的历史回溯，转而聚焦于那些定义了当代极小曲面理论的数学工具和核心洞察。 第一部分：基础的重塑与直觉的建立 本部分旨在为读者建立起理解复杂几何结构的坚实基础，尤其侧重于黎曼几何的语言和变分法的视角。 我们首先从度量空间和微分流形的基础概念出发，快速过渡到黎曼几何的核心工具：黎曼度量、联络（尤其是Levi-Civita联络）、测地线和曲率。不同于许多教科书的冗长铺垫，本书的重点在于如何利用这些工具来量化曲面的内在几何性质。我们详细分析了第一、第二基本形式，并着重讨论了它们在确定曲面局部形态中的关键作用。 随后，我们引入极小曲面的变分定义，即面积泛函的临界点。这要求读者对泛函分析有初步的了解，本书对此进行了必要的铺垫。我们将重点放在如何利用变分原理导出一个优雅的、基于曲率的偏微分方程——平均曲率方程。我们将详细推导平均曲率 $mathbf{H}$ 的表达式，并阐明其几何意义：极小曲面即局部面积泛函的零梯度曲面。 为增强几何直觉，我们引入了共形不变量的概念。我们讨论了如何将曲面嵌入到三维欧几里得空间中，并使用Willmore能量作为面积泛函的一种相关且更具稳定性的泛函，探讨其与极小曲面的关系。 第二部分：经典解的结构与拓扑约束 在建立了变分框架后，我们转向研究经典极小曲面的解析性质。 本部分的核心是高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的现代诠释，以及曲率与高斯曲率之间的深刻联系。我们将详细分析浸入（Immersion）和嵌入（Embedding）的区别，并引入Weierstrass-Enneper参数化。这是理解所有紧致、嵌入的极小曲面（如球体、环面等）在$mathbb{R}^3$中的结构的基石。我们将深入剖析复分析工具在此参数化中的作用，揭示极小曲面的生成机制与其共形结构之间的内在联系。 接着，我们探讨拓扑学对极小曲面解的强力约束。我们将介绍高斯-邦内定理在极小曲面上的应用，虽然它直接适用于曲率积分，但更重要的是，它为理解特定拓扑类型的曲面（如亏格$g$的曲面）是否能在给定环境中实现极小性提供了边界条件。 本部分的高潮是对Schur引理的深入剖析，并讨论了具有对称性的极小曲面，例如曲面锥和旋转曲面。 第三部分：现代工具与前沿课题 本部分将读者带入二十世纪后半叶至今的极小曲面研究领域，重点介绍那些推动该领域发展的先进数学技术。 3.1 极小曲面的外围几何与复分析 我们将详细讲解Harmonic Map（调和映射）与极小曲面的本质联系。极小曲面的共形嵌入问题可以转化为寻找特定的调和映射。我们利用Dirichlet能量与面积泛函的联系，展示如何通过椭圆方程的理论来研究极小曲面的存在性。 随后，我们引入Calabi-Yau流形上的极小曲面概念，即拉格朗日极小曲面。这需要对辛几何和Kähler几何的基础概念有所涉猎。我们将着重分析水平集流（Level Set Flow），特别是Mean Curvature Flow (MCF)。MCF是面积泛函梯度流的自然演化，它揭示了曲面如何“收缩”到其面积的极小值——即极小曲面。我们将讨论MCF在奇异性形成和曲面演化中的关键作用，这是现代几何分析中的一个热点。 3.2 整体性与紧致性 解析几何的关键在于全局解的存在性。本书将花费大量篇幅讨论紧致性理论。我们将引入Schoen-Yau的极大值原理和Colding-Minicozzi的紧致性定理，这些定理为理解极小曲面的局部形变空间提供了强大的拓扑和分析工具。我们将解释为什么在特定的曲率约束下，极小曲面的族是紧致的，这直接关系到是否存在“最坏的”极小曲面。 3.3 极小曲面的拓扑复杂度：高亏格与多重覆盖 对于高亏格（即具有多个“洞”）的极小曲面，参数化变得异常复杂。我们将讨论对偶共形嵌入的概念，以及如何利用代数几何的工具（如代数曲线）来构造和理解高亏格的极小曲面。这包括对复分析中单值性问题的探讨，以及如何通过Riemann曲面的理论来描述这些复杂的几何结构。 结语 本书旨在提供一个自洽且前沿的极小曲面理论框架。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数背景，并愿意投入精力理解微分形式和基础的偏微分方程理论。我们通过强调几何直觉、现代分析工具以及与拓扑学的交叉，力求让读者不仅学会计算极小曲面，更能洞察其背后的深刻结构。本书适合于几何分析、微分几何、拓扑学以及理论物理中需要处理弯曲空间几何的进阶研究生和研究人员。

评分☆☆☆☆☆

作为一名致力于推动数学教育创新和课程体系改革的教育工作者，我一直在寻找能够启发学生思维、拓展教学视野的优质数学教材。《现代极小曲面讲义》这本书，虽然其内容可能偏向于高等数学领域，但我相信其潜在的教育价值不容忽视。我期待书中能够展现出极小曲面理论在几何直觉、逻辑推理和问题解决能力培养方面的独特优势。如果书中能够设计一些能够引导学生主动思考、探索证明过程的习题，或者通过一些富有启发性的案例来展示极小曲面在科学和工程领域中的实际应用，那将极大丰富我的教学内容。我特别关注书中是否能够体现出数学概念之间的内在联系，例如极小曲面与微分方程、拓扑学、甚至物理学中的某些基本原理之间的关联。一个优秀的教材，不应仅仅是知识的堆砌，更应是思维方法的启迪。我希望通过研读这本书，能够从中汲取教学灵感，设计出更具吸引力和挑战性的课程，帮助学生们更深入地理解数学的魅力，并培养他们成为具备批判性思维和创新能力的未来科学家和工程师。

评分☆☆☆☆☆

我是一位热衷于科技前沿信息和概念普及的科普作家。在我的工作中，我总是努力寻找那些既具有科学深度，又能以通俗易懂的方式展现给大众的数学和物理概念。《现代极小曲面讲义》这本书，虽然从书名上看，它似乎指向的是一个相对专业的数学领域，但其中蕴含的“极小”和“曲面”这两个关键词，本身就具有极强的吸引力。我设想，书中可能会包含一些关于自然界中为何会形成肥皂膜、水滴等具有最小表面张力的曲面的解释，这些都是能够引起普通读者共鸣的实例。同时，我也希望这本书能够提供一些关于数学家们如何通过抽象的数学工具来探索和描述这些自然现象的精彩故事。如果书中能够将一些复杂的数学概念，例如变分法、微分几何等，用形象的比喻、生动的图示，或者引人入胜的历史故事来呈现，那将是极大的成功。我期待这本书能够成为我创作素材的宝库，让我能够将极小曲面这个深奥的数学主题，以一种既严谨又不失趣味的方式，介绍给更广泛的读者群体，激发他们对数学和科学的兴趣。

评分☆☆☆☆☆

《现代极小曲面讲义》这本书，从我的角度来看，它预示着一场深刻的智力探索。我是一位对数学史和理论物理交叉领域有着浓厚兴趣的学术研究者，而极小曲面理论恰恰是连接这两个领域的绝佳桥梁。历史上，许多伟大的数学家，如欧拉、拉格朗日、高斯等，都曾对其进行过深入的研究，这些研究成果不仅推动了数学本身的发展，也为物理学的诸多分支，例如界面现象、广义相对论等，提供了重要的理论基础。这本书的出现，无疑为我提供了一个梳理和整合这些历史脉络，并深入理解现代研究前沿的宝贵机会。我特别关注书中可能涉及到的关于存在性定理、分类问题，以及极小曲面与调和映照、共形几何等概念的联系。这些都是当前研究热点，也是我希望深入挖掘的方向。我相信，本书的作者必定具备深厚的学术造诣和广阔的视野，能够将复杂的理论以清晰、系统的方式呈现出来，从而帮助我更好地理解和掌握这一领域的最新进展，并可能启发新的研究思路。

评分☆☆☆☆☆

刚拿到这本《现代极小曲面讲义》，还没来得及细读，但仅凭前几章的触感和初步翻阅，便已然被其严谨又不失优雅的数学语言所吸引。作为一名对几何拓扑领域颇感兴趣的在读博士生，我一直在寻找能够系统性梳理极小曲面理论发展脉络，并深入剖析其核心思想的著作。市面上关于这一题材的书籍并不少见，但很多要么过于侧重某个特定方向，要么篇幅过短，难以提供全面的视角。这本《现代极小曲面讲义》在目录和索引的设计上，就显得颇具野心，似乎力求将从古典到现代的种种重要概念、定理和研究方法一一囊括。我特别留意到其中关于曲面嵌入、曲率、以及与微分方程联系的部分，这些都是理解极小曲面精髓的关键。作者在数学推导上的详略得当，既保留了定理证明的严谨性，又适时地用一些直观的几何描述来辅助理解，这对于我在攻克难题时无疑是巨大的帮助。我相信，即使是对于初次接触极小曲面理论的研究者，也能通过这本书建立起扎实的基础。我期待着在接下来的阅读中，能够更深入地领略作者的洞见，并从中汲取更多灵感，用于我自己的研究课题。这本书给我的第一印象是，它不仅仅是一本教材，更像是一位经验丰富的向导，引领读者踏入迷人的极小曲面世界。

评分☆☆☆☆☆

作为一名业余爱好数学的爱好者，偶然间得知《现代极小曲面讲义》这本书，便被其标题深深吸引。虽然我并非科班出身，数学功底相对有限，但我对那些能够展现自然规律之美的数学概念总是有着强烈的好奇心。极小曲面，这个词本身就带着一种宁静与平衡的意境，仿佛是大自然在不经意间勾勒出的最经济、最省力的形态。我尤其被书中可能探讨的那些“最少”或“最优化”的几何原理所打动，这与我日常生活中对效率和精简的追求不谋而合。尽管我预见到其中可能会包含一些令我望而生畏的数学符号和公式，但我相信作者会以一种相对易于理解的方式来呈现这些内容。我希望这本书能够让我不仅仅是“看到”数学，更能“体会”到数学的美，理解为何这些抽象的符号能够描述出如此优美的几何形状。或许，通过这本书，我能窥见数学的深邃与优雅，甚至能将这种理性之美融入到我的思考方式中。我期待着这本书能够成为我探索数学世界的一扇窗户，尽管前路可能充满挑战，但我愿意为这份好奇心和求知欲付出努力。

评分☆☆☆☆☆

非常好的书，买了一整套。棒棒

评分☆☆☆☆☆

经典教材就没什么好说的了吧，搞机器学习，数学先要过关，普通高数的自然延伸

评分☆☆☆☆☆

这个系列系列书，内容编写，排版，印刷，质量很高，非常值得推荐！

评分☆☆☆☆☆

的最后区域作为太阳系边界。测量这一边界在哪里，正是“旅行者1号”的使命。在经过反复测量和模型推演后，NASA于2013年9月宣布“旅行者1号”探测到太阳风粒子浓度急剧下降，探测器进入了星际空间。

评分☆☆☆☆☆

好好好好好好好好好好好好好好好

评分☆☆☆☆☆

EMMM……印刷质量很好，书看上去简朴有质感。内容……还没看呢！

评分☆☆☆☆☆

的最后区域作为太阳系边界。测量这一边界在哪里，正是“旅行者1号”的使命。在经过反复测量和模型推演后，NASA于2013年9月宣布“旅行者1号”探测到太阳风粒子浓度急剧下降，探测器进入了星际空间。

评分☆☆☆☆☆

这个系列系列书，内容编写，排版，印刷，质量很高，非常值得推荐！

评分☆☆☆☆☆

书很不错，下次还会来买的。