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Robin Hartshorne & 著

图书标签:

• 代数几何
• 代数簇
• 射影几何
• 交换代数
• 同调代数
• 代数拓扑
• 数论几何
• birational geometry
• scheme theory
• Grothendieck topologies

店铺： 澜瑞外文Lanree图书专营店

出版社： Springer

ISBN：9781441928078

商品编码：1136667601

包装：平装

外文名称：Algebraic Geometry

出版时间：2010-11-02

页数：496

正文语种：英语

图书基本信息

Algebraic Geometry
作者： Robin Hartshorne;
ISBN13： 9781441928078
类型： 平装(简装书)
语种： 英语（English）
出版日期： 2010-11-02
出版社： Springer
页数： 496
重量（克）： 716
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 2.6416 cm

商品简介

Robin Hartshorne studied algebraic geometry with Oscar Zariski and David Mumford at Harvard, and with J.-P. Serre and A. Grothendieck in Paris. After receiving his Ph.D. from Princeton in 1963, Hartshorne became a Junior Fellow at Harvard, then taught there for several years. In 1972 he moved to California where he is now Professor at the University of California at Berkeley. He is the author of "Residues and Duality" (1966), "Foundations of Projective Geometry (1968), "Ample Subvarieties of Algebraic Varieties" (1970), and numerous research titles. His current research interest is the geometry of projective varieties and vector bundles. He has been a visiting professor at the College de France and at Kyoto University, where he gave lectures in French and in Japanese, respectively. Professor Hartshorne is married to Edie Churchill, educator and psychotherapist, and has two sons. He has travelled widely, speaks several foreign languages, and is an experienced mountain climber. He is also an accomplished amateur musician: he has played the flute for many years, and during his last visit to Kyoto he began studying the shakuhachi.

《代数拓扑基础》简介 导言：空间的结构与形态 本书旨在为读者提供代数拓扑学这一迷人且深刻的数学分支的全面而扎实的入门。代数拓扑学，作为连接代数、几何与分析的桥梁，通过赋予拓扑空间代数不变量（如群、环或模），从而实现对空间“形状”的精确分类和研究。我们不再仅仅依赖直觉的几何图像，而是通过严格的代数工具来揭示空间的内在结构。 本书的结构设计旨在引导初学者逐步深入，从最基础的概念出发，直至接触到该领域的核心理论和经典结果。我们深知，理解代数拓扑的关键在于掌握其基本构造——奇异同调论（Singular Homology Theory）和基本群（Fundamental Group），并理解它们之间的深刻联系。 第一部分：拓扑空间的预备知识与基础 在正式进入代数结构之前，我们首先需要一个稳固的拓扑学基础。第一章回顾了度量空间、拓扑空间的基本定义、开闭集、连续映射、紧致性与连通性等核心概念。重点在于培养读者对拓扑结构保持直觉的同时，严格运用其代数定义。 第二章引入了拓扑空间的核心工具之一：基本群（The Fundamental Group）。我们定义了路径、路径同伦，并构建了基本群 $pi_1(X, x_0)$。这一部分详细探讨了基本群的性质，特别是对于圆周 $S^1$ 这一最基础的非平凡空间的计算。读者将看到，基本群如何有效地分辨一些看似相似但拓扑本质不同的空间，例如 $mathbb{R}^n$ 与 $S^1$。我们还会详细分析自由群、布尔群的结构，并引入覆盖空间（Covering Spaces）的概念，展示如何利用覆盖空间来计算基本群，包括布劳威尔不动点定理的覆盖空间证明。 第二部分：同调论的构建：从链复形到奇异同调 代数拓扑的真正威力体现在同调理论上。第三章是本书的基石，专注于链复形（Chain Complexes）和链映射（Chain Maps）的代数结构。我们定义了边界算子 $partial$ 及其关键性质 $partial^2 = 0$。通过定义群 $Z_n = ker(partial_n)$（圈群）和 $B_n = ext{Im}(partial_{n+1})$（边界群），我们自然地导出了同调群（Homology Groups） $H_n(C) = Z_n / B_n$ 的概念。 第四章将这些代数工具应用于几何空间，构建奇异同调群（Singular Homology Groups） $H_n(X)$。我们详细阐述了奇异单纯形、链群 $C_n(X)$ 的构造，以及由连续映射诱导出的链映射，进而得到同调群的同态 $f_: H_n(X) o H_n(Y)$。这一章的重点在于证明同调论的函子性（Functoriality），即同调群的构造与空间间的连续映射之间存在自然的对应关系。 第三部分：同调论的核心性质与应用 第五章探讨了同调论的关键性质，特别是精确性（Exactness）。我们引入了正合序列（Exact Sequences）的概念，并着重讨论了迈耶-维托里斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）。这个强大的工具允许我们将一个复杂的空间分解为其子空间的同调群，然后通过代数方法重新组合来计算整体的同调群。我们将利用迈耶-维托里斯序列来计算球面 $S^n$ 的同调群，这是理解更高维空间几何的关键一步。 第六章关注于同调理论如何处理空间间的形变，即同伦等价（Homotopy Equivalence）。我们证明了同调群是同伦不变量：如果两个空间是同伦等价的，则它们的同调群在同构意义上是相同的。这一章还包含了对截断（Wedge Sums）、积空间（Product Spaces）的同调计算，并详细讨论了欧拉示性数（Euler Characteristic）的定义及其与同调群的关系。 第四部分：同调论的深化与交叉 第七章将代数结构提升到新的层次：截积（Cross Products）和上同调（Cohomology）。我们首先介绍上链复形（CoChain Complexes），并构建上同调群 $H^n(X; G)$。上同调不仅在代数结构上更为“自然”（例如其自然地拥有环结构），而且在解决诸如流形上的微分形式积分问题时更为方便。 第八章深入探讨上同调环（The Cohomology Ring）的结构。通过定义庞加莱对偶性（Poincaré Duality）的初步概念，我们展示了如何利用上同调的乘法结构（特别是杯积/Cup Product）来研究空间的内在几何对称性。我们将详细分析球面 $S^n$ 和射影空间 $mathbb{R}P^n, mathbb{C}P^n$ 的上同调环结构，揭示它们在代数层面上深刻的差异。 结论：连接几何与代数的桥梁 本书的最后一部分将先前所学知识串联起来，展示代数拓扑如何作为研究高维几何和拓扑现象的强大框架。我们避免了对奇异同调的纯代数处理，而是始终将其置于几何背景之下，强调构造的直观动机。 本书的读者应具备群论、环论的基础知识，并对线性代数有扎实的理解。通过对基本群、奇异同调、迈耶-维托里斯序列以及上同调环的细致剖析，本书旨在使读者不仅能够计算出常见空间的拓扑不变量，更能深刻理解代数工具如何精确地捕捉和区分复杂的拓扑形态。本书的最终目标是为读者进入微分拓扑、代数几何的更高级课程奠定坚实的、富有洞察力的基础。

评分☆☆☆☆☆

我必须强调，这本书的价值远超出一个普通的教科书范畴，它更像是一部数学哲学的宣言。作者不仅展示了“如何做”计算，更重要的是，它深入探讨了“为什么”要采用这种方法。在回顾黎曼几何的早期思想，并将其过渡到现代微分代数结构时，可以看到一种深层的统一性思想在贯穿始终。它并非仅仅罗列定理，而是试图揭示隐藏在不同数学分支背后的共同语言和结构。对于那些对数学的统一性抱有强烈好奇心的读者来说，这本书会带来极大的满足感。它促使你反思基础，质疑假设，并以一种更加抽象和普适的眼光来看待数学世界。虽然有些地方的证明需要多花时间去消化，但这种投资是绝对值得的，因为它带来的思维层级的提升是持久而深刻的。

评分☆☆☆☆☆

这本书让我对“空间”这个概念的理解发生了根本性的转变。我以前总觉得“几何”就是关于点、线、面的可视化研究，但这本书彻底颠覆了这种直觉。它教导我们如何用代数、用环、用理想来“描述”一个空间，甚至可以描述那些在传统欧几里得空间中无法想象的“广义空间”。书中对局部性质和整体性质之间关系的探讨尤其引人入胜。通过使用“胚”的概念，作者展示了如何像拼图一样，用大量的简单“局部”信息来重建一个复杂的“整体”结构，这比以往任何拓扑学教材中对紧凑性或连通性的处理都要来得深刻和强大。它提供的分析工具，比如对Sheaf的构造和应用，让我看到了数学家们如何精妙地处理“无限”和“无穷小”的细节，这是一种真正的智力上的解放。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的阅读体验更像是在攀登一座雄伟的山峰，而非在平坦的田野上散步。它的深度和广度都超出了我的预期，尤其是在涉及某些更深层次的同调理论和谱序列的应用时，需要极大的专注力。我必须承认，有好几处我不得不停下来，翻阅其他参考书来巩固基础知识，才能继续前进。然而，正是这种挑战性，才使得最终“顿悟”的时刻显得如此宝贵。它不迎合初学者，它假设读者已经对范畴论和一定的交换代数有扎实的理解，这使得内容可以快速切入核心。书中对阿贝尔范畴和函子的讨论，清晰地展示了数学家们如何使用范畴论的语言来统一不同领域的问题。我特别喜欢作者在证明的间隙穿插的那些简短的“几何洞察”，它们像灯塔一样，在密集的符号海洋中为我指明方向，提醒我我们究竟在研究什么。这本书更像是为研究生或研究人员准备的工具箱，而非入门教材，但其内容的丰富和深刻，绝对值得反复研读。

评分☆☆☆☆☆

这是一本让我爱不释手的关于抽象代数和拓扑学交织的杰作。作者的叙述方式极其优雅，仿佛在引导读者进行一次精神上的漫步，而非枯燥的公式堆砌。初读时，那些看似遥远的几何直觉是如何被严谨的代数工具所捕捉和量化的过程，着实令人惊叹。它没有急于抛出晦涩的定义，而是循序渐进地构建起一个宏大的理论框架。例如，在处理射影空间的概念时，作者巧妙地引入了齐次坐标，并用非常直观的例子展示了它们如何解决欧几里得空间中“无穷远点”的缺失感。这种教学上的细致入微，使得那些原本被认为是高不可攀的抽象概念，变得触手可及。尤其欣赏它在引入概形理论之前，对经典代数几何中曲线和曲面研究的深入回顾，这不仅是对历史的尊重，更是为了让读者理解为什么要发展出如此强大的新语言。读完相关章节，你会发现，那些困扰多年的几何直觉问题，在代数的精确描述下，找到了坚实的基础。对于任何想要真正理解现代数学如何运作的人来说，这本书提供的视角是无价的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和符号系统堪称典范。在处理涉及大量索引和复杂张量符号的证明时，清晰的排版是至关重要的，而本书在这方面做得无可挑剔。每一个定义、每一个定理都被赋予了清晰的编号和明确的上下文，这极大地减少了阅读时的认知负荷。从纯粹的编辑角度来看，这是一次成功的尝试，它使得长时间的阅读变得可以忍受。此外，作者在引入新的核心概念时，往往会提供一个简洁的“动机”段落，解释这个概念在解决什么旧问题或建立什么新联系。例如，在讲解德拉姆上同调与奇异上同调的关系时，那种将拓扑学的概念“翻译”成代数结构的操作，描述得异常流畅和富有启发性。这本书的书写风格是内敛而精准的，它相信读者的智力，不会过度解释，而是提供必要的工具，将证明的逻辑链条清晰地呈现出来。