自适应Fourier变换：一个贯穿复几何，调和分析及信号分析的数学方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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钱涛 编

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• 自适应傅里叶变换
• 傅里叶分析
• 复几何
• 调和分析
• 信号处理
• 数学方法
• 数值分析
• 时频分析
• 小波变换
• 滤波器设计

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030463876

版次：1

商品编码：11853103

包装：精装

丛书名： 信息与计算科学丛书

开本：16开

出版时间：2015-11-01

用纸：胶版纸

页数：268

正文语种：中文

内容简介

　　钱涛主编的《自适应Fourier变换——一个贯穿复几何调和分析及信号分析的数学方法》阐述自适应Fourier分解（AdaptiveFourierDecomposition，AFD）及单分量函数论的数学理论及应用。
　　按照理论发展的顺序，第3章单分量函数论应该在第2章AFD理论之先的，后者作为单分量函数分解的特殊情况尽管如此，我们选择优先讲述AFD的理论。
　　第3章基于单复变量几何分析全通滤波器，建立了单分量函数的理论。第4章讲述单分量函数论对数字信号处理的奠基}生的应用，其中包括由AFD引出的Dirac型时间—频率分布的理论，以及对经典Heisenberg型测不准原理的改进。在第5章中，应用调和分析及单复变量分析方法，我们发展了前移及后移不变子空间的理论，并将该研究用于频带保持、相位重构以及Bedrosian方程式的解。AFD与单分量函数的思想贯穿一维单复变结构下的两个典型流型，即圆与直线（第2章）；高维两种复结构（Clifford代数及多复变量）之下的Euclid空间、实球壳以及多环面（第6及第7章）。2-环面上的数学理论可直接用于图像处理。AFD在一维及高维空间以及它们的典型流形上的实现开拓了有关场合的有理函数逼近理论。单分量函数的理论止步于一维情况。然而在高维空间中存在有标量值相位导数的概念（第4章），后者在高维空间的信号分析理论，特别是在高维空间超强测不准原理的建立上起到关键的作用。AFD是应单分量函数分解稳定性要求的产物，其与贪婪算法的原则不约而同AFD不同于现存的任何一种贪婪算法。在第8章中我们证明，引入完备化字典的概念，正交贪婪算法可以被优化为预正交贪婪算法，后者在经典场合即化为AFD。预正交贪婪算法的诸多优越性揭开了贪婪算法研究的新篇章。
　　本书是为数学研究人员和工程技术人员两者而写的。如果偏重于应用，读者可以跳过某些数学证明，例如第1章的Plemelj定理的证明，而求直接理解及接受方法本身。

目录

《信息与计算科学丛书》序
前言
各章关系图
第1章预备知识：函数的Hardy空间分解及有理正交系统
1.1单位圆上的Hardy空间分解
1.2实数轴上的Hardy空间分解
1.3有理正交系统
1.3.1单位圆周内的有理正交系
1.3.2上半复平面的有理正交系
第2章自适应Fourier分解
2.1单位圆上的自适应Fourier分解
2.1.1Hardy空间函数的AFD（coreAFD）
2.1.2借助于AFD逼近实值函数及其Hilbert变换
2.2自适应Fourier分解的逼近阶
2.3解绕AFD
2.3.1Hardy空间函数的Nevanlinna分解
2.3.2解绕AFD
2.3.3n阶最佳有理逼近
2.3.4Blaschke形式及最佳n—Blaschke逼近的存在性
2.3.5最佳n—Blaschke逼近与最佳n阶有理逼近
2.3.6最佳Blaschke逼近问题的循环AFD解
2.4实数轴上的AFD及其变种
2.5Fourier在平均意义下是最佳的
第3章单分量函数的理论
3.1问题的提出
3.2单分量函数
3.3物理可实现信号的单分量函数表示
3.4内函数与外函数
3.5单分量函数的刻画：Bedrosian及非：Bedrosian型
3.5.1Bedrosian型单分量函数
3.5.2非Bedrosian型（星形及边界星形函数型）单分量函数
第4章单分量函数理论在数字信号处理中的应用
4.1与频率均值及时间均值有关的经典关系式的推广
4.2Hardy—Sobolev导数
4.3超强测不准原理
4.3.1非光滑信号的强测不准原理
4.3.2H—S导数下的超强测不准原理
4.3.3相对于Hilbert空间中自共轭算子对的超强测不准原理
4.4最小相位物理可实现信号及全通滤波器
4.4.1离散信号
4.4.2上半及下半复平面
4.4.3连续信号
4.5基于AFD的Dirac型的时间一频率分布
4.5.1单分量信号的TFD（mono—componenttime—frequencyrdistribution，MTFD）
4.5.2多分量函数的Dirac型时间一频率分布（Diractypetimefrequencydistributionofmulti—component，MuTFD）
第5章前移及后移算子的不变子空间及其应用
5.1TM系统是它们所生成的闭子空间的Schauder基
5.2平方可积函数的理论
5.3Lp可积函数的理论
第6章四元数与Clifford代数框架下的自适应Fourier分解
6.1四元数空间中的AFD
6.1.1预备知识
6.1.2L2（S4）中函数的快速球调和分解
6.1.3函数定义在整个空间的情形
6.1.4四元数域上AFD的收敛阶
6.2函数定义域低于四维的情况
6.3函数定义域不低于三维的情况
6.3.1高维空间中标量值的相位导数
6.3.2上半空间的Clifford全纯信号及其相位导数
6.3.3用标量值相位导数表述的测不准原理
第7章多复变量框架下高维空间的自适应Fourier分解
7.1乘积TM系统的二维AFD理论
7.2乘积Szego字典型二维AFD
第8章复再生核Hilbert空间上的预正交贪婪算法与字典的完备化
8.1复再生核Hilbert空间上的预正交贪婪算法
8.2AFD与字典之完备化
参考文献
编后记
索引
《信息与计算科学丛书》已出版书目
彩图

前言/序言

自适应傅里叶变换：深入复几何、调和分析与信号分析的数学工具箱 本书旨在为读者呈现一种强大的数学框架——自适应傅里叶变换（Adaptive Fourier Transform, AFT），它不仅仅是一种信号处理技术，更是一种贯穿复几何、调和分析及信号分析等多个数学分支的深刻洞察。AFT的核心在于其能够根据信号自身的特性进行“自适应”，从而在分析和表征复杂信号方面展现出传统傅里叶分析所难以企及的优势。本书将深入剖析AFT的数学根基，并展示其在各个领域的广泛应用。 第一部分：数学基石——复几何与调和分析的交融 理解AFT，首先需要建立起对复几何和调和分析的扎实认知。本书将从复数域出发，构建对复几何的直观理解，探讨复函数的解析性质、共形映射等概念，并将其与傅里叶分析的数学语言相结合。 复数域中的傅里叶级数与积分： 我们将回顾经典的傅里叶级数和傅里叶变换，并将其置于复数域的框架下重新审视。通过理解复指数函数 $e^{i omega t}$ 的几何意义，即单位圆上的旋转，我们可以更深刻地把握信号的频率成分。 希尔伯特空间与傅里叶分析： 调和分析的强大力量很大程度上源于其对函数空间的研究。本书将介绍希尔伯特空间的理论，特别是 $L^2$ 空间的完备性，以及傅里叶级数在 $L^2$ 空间上的完备正交基性质。这将为理解信号的正交分解和能量谱分析奠定基础。 复几何在傅里叶分析中的体现： 复几何的许多概念，例如复平面上的点积、内积以及向量场的流，都可以被巧妙地映射到信号分析的范畴。例如，我们可以将信号视为复平面上的一个轨迹，其在不同频率下的“投影”则对应于其频谱分量。共形映射的思想，尽管在直接AFT构建中不常直接出现，但其保持角度不变的特性，启发了我们对信号局部特性进行分析的思路。 傅里叶变换的性质及其局限性： 我们将详细梳理傅里叶变换的线性性、时移不变性、频率移不变性、卷积定理等重要性质。同时，也将深入探讨其在处理非平稳信号、局部化特性差的信号时的局限性，这正是AFT的切入点。例如，当信号的频率随时间发生变化时，传统的傅里叶变换会“模糊”这些瞬时频率信息。 第二部分：自适应傅里叶变换的核心原理 在夯实了数学基础后，本书将正式引入自适应傅里叶变换（AFT）的概念。AFT的核心在于其“自适应性”，即变换本身的设计能够根据待分析信号的内在结构进行调整，从而实现更精确、更细致的信号表征。 从固定基底到自适应基底： 传统的傅里叶变换使用一组固定的正交基（如正弦和余弦函数）。AFT则打破了这一限制，它允许我们根据信号的特性，构建一套“定制”的、与信号局部特性相匹配的基底。 基于优化原则的基底构建： AFT的基底构建通常基于某种优化准则。例如，可以要求所选基底能够最大化地“捕捉”信号的主要能量，或者最小化信号在基底上的残差。这个过程可能涉及到迭代优化算法。 与短时傅里叶变换（STFT）和Wigner-Ville分布的比较： 为了凸显AFT的独特性，本书将将其与一些经典的信号分析技术进行对比。 短时傅里叶变换（STFT）： STFT通过引入一个窗函数，将信号分割成许多短段进行傅里叶变换，从而获得一定的时间-频率局部化能力。然而，STFT的时间-频率分辨率存在固定的权衡（海森堡不确定性原理），无法同时在高时间和高频率分辨率之间取得最优。 Wigner-Ville分布（WVD）： WVD是一种二次型时频分布，能够提供更高的时频分辨率，但其存在交叉项（cross-term）的问题，使得在多分量信号分析时会产生难以解释的伪信号。 AFT旨在克服STFT的固定分辨率限制，并可能在一定程度上避免WVD的交叉项问题，提供一种更清晰、更准确的时频表示。 AFT在复几何中的体现： AFT的自适应基底构建过程，可以在复几何的框架下进行更形象的理解。例如，将信号的局部特性映射到复平面上的一个区域，然后根据该区域的几何形状和“曲率”来构建与之匹配的复指数基底。这种“几何匹配”的思想是AFT的关键。 AFT的数学形式（示例）： 虽然具体的AFT算法可能多种多样，但本书将介绍一些代表性的数学形式，例如基于投影寻优的算法，或者基于稀疏表示的框架。我们将详细推导算法的步骤，并分析其收敛性。 第三部分：应用领域——信号分析的革新 自适应傅里叶变换凭借其强大的信号分析能力，在众多领域展现出巨大的应用潜力。本书将聚焦于几个核心领域，深入探讨AFT如何解决实际问题。 非平稳信号分析： 许多现实世界的信号，如语音、生物电信号（心电图、脑电图）、机械振动信号等，其频率成分都随时间发生变化。AFT能够实时地跟踪这些频率变化，提供比STFT更精细的时频分辨率，从而揭示信号的动态特性。 语音信号分析： AFT可以精确地捕捉语音信号的共振峰变化，为语音识别、说话人识别、语音合成等应用提供更好的基础。 生物信号分析： 分析脑电图（EEG）和心电图（ECG）中的瞬时频率变化，有助于诊断神经系统疾病和心脏疾病。 调频（FM）信号的精确解调： 调频信号的瞬时频率是其信息的载体。AFT能够准确地估计调频信号的瞬时频率，实现高精度的解调，这在通信和雷达系统中至关重要。 瞬态信号检测与识别： 瞬态信号，如冲击、脉冲等，其持续时间非常短，但携带重要信息。AFT能够高精度地定位和表征这些瞬态信号，即使它们在噪声背景下非常微弱。 故障诊断与健康监测： 在机械设备和工程结构中，异常的振动模式往往预示着潜在的故障。AFT可以有效地识别这些微小的、随时间变化的振动特征，实现早期故障预警。 复几何在信号表征中的应用： AFT的自适应基底构建过程，可以从复几何的角度进行理解。例如，信号的局部性质可以用复平面上的某个“几何形状”来描述，而AFT的基底则像是“精心雕刻”的几何元素，能够完美地“拟合”这些形状。这种几何直觉有助于我们更深入地理解AFT的内在机制。 与其他先进信号处理技术的结合： AFT可以与其他先进的信号处理技术，如小波变换、稀疏表示、机器学习等相结合，进一步提升信号分析的性能。例如，利用AFT提取的信号特征作为机器学习模型的输入，可以构建更强大的分类器或预测模型。 结论：AFT——连接数学理论与实际应用的桥梁 本书将通过严谨的数学推导、清晰的理论阐述以及丰富的实例分析，带领读者深入理解自适应傅里叶变换的数学魅力和应用价值。AFT不仅仅是一种信号分析工具，更是一种深刻理解和表征复杂信号的新视角，它在复几何、调和分析和信号分析之间架起了一座坚实的桥梁，为解决现实世界中的各种挑战提供了强大的数学支撑。掌握AFT，意味着掌握了一套能够洞察信号深层结构、揭示隐藏信息的高级数学方法。

评分☆☆☆☆☆

《自适应Fourier变换：一个贯穿复几何，调和分析及信号分析的数学方法》这个书名，给我一种“大道至简”又“包罗万象”的感觉。我一直对傅立叶变换的深层数学原理感到着迷，但很多时候觉得现有教材偏重于工程实现，对底层的数学逻辑介绍不够清晰。这本书将“复几何”和“调和分析”并列，让我看到了一个更纯粹、更数学化的角度来理解傅立叶变换。我希望书中能够详细地阐述复几何的语言如何帮助我们理解傅立叶变换的本质，比如它如何与信号的相位、幅值产生联系，以及在复平面上的几何意义。调和分析的部分，我期望能看到关于函数的傅立叶分析，以及其与泛函分析的关系，特别是如何通过一些积分变换和算子理论来严谨地定义和研究傅立叶变换。自适应方面，我希望能深入理解其“自适应”的原理，是基于信号的时频局部特性，还是其他更复杂的模型？对于信号分析，我希望这本书能展示自适应傅立叶变换如何克服传统方法的不足，在处理瞬态信号、奇异点或者多尺度信号时展现出独特的优势。如果有关于其在压缩感知、模式识别等现代信号处理技术中的应用，我会非常欣喜。

评分☆☆☆☆☆

这本书的题目——《自适应Fourier变换：一个贯穿复几何，调和分析及信号分析的数学方法》——让我感受到一种系统性和理论深度。我之前对傅立叶变换的理解主要停留在其时频分析的能力上，而“复几何”和“调和分析”这两个词汇，则预示着这本书将从一个更高维度的数学视角来审视这一工具。我非常期待书中能够详细讲解复几何如何为傅立叶变换提供直观的几何解释，例如相位旋转、复数域的展开式等，以及这些几何概念如何与信号的内在结构相呼应。调和分析部分，我希望能看到关于傅立叶级数和傅立叶积分的严谨数学推导，以及它们在不同函数空间中的性质，特别是如何在调和分析的框架下理解和发展自适应傅立叶变换。对于“自适应”的理念，我希望书中能够揭示其核心思想，即如何根据信号的局部特性动态地选择分析的基函数或窗口，从而实现更精细、更准确的时频分析。在信号分析的应用层面，我期待看到这本书能展示自适应傅立叶变换在现代信号处理领域，如谱估计、去噪、特征提取等方面，所展现出的强大威力，尤其是在处理复杂、非线性和非平稳信号时，其相对于传统方法的优越性。

评分☆☆☆☆☆

收到这本《自适应Fourier变换：一个贯穿复几何，调和分析及信号分析的数学方法》真是让我眼前一亮，书名本身就散发着一种学术的严谨和内容的深度。我尤其对“复几何”这个角度很感兴趣，因为我总觉得傅立叶变换背后隐藏着更丰富的几何直观，而我之前接触的资料大多集中在代数推导上，很少能真正从几何的视角去理解。我希望这本书能详细阐述复数域中的几何解释，比如如何通过旋转、映射等几何操作来理解傅立叶变换的原理。此外，“调和分析”更是我一直想深入学习的方向，这本书能够将自适应傅立叶变换置于这个宏大的理论框架下，对我来说无疑是极大的吸引力。我期望书中能详细讲解调和分析中的一些核心概念，例如希尔伯特空间、傅立叶级数、傅立叶变换的积分表示等，并清晰地展示自适应傅立叶变换如何在这之中找到自己的位置，以及它如何扩展或修正了这些经典理论。如果能有关于卷积、相关等基本操作在复几何和调和分析中的推广和应用，我会觉得收获良多。这本书的厚度和给人的感觉，预示着它将是一本能让我沉下心来，系统性地构建知识体系的读物，而非浅尝辄止的科普。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字《自适应Fourier变换：一个贯穿复几何，调和分析及信号分析的数学方法》给我一种非常扎实和全面的感觉。我一直觉得傅立叶变换是信号分析的基石，但传统傅立叶变换在处理非平稳信号时存在局限性，而“自适应”二字正点出了我一直以来寻找的突破口。我对书中如何具体阐述“自适应”的机制非常好奇，比如它是如何根据信号本身的特性来动态调整分析窗口或者基函数的。而且，将“复几何”和“调和分析”作为贯穿的数学方法，这让我看到了一个非常高级和系统性的视角。我希望书中能够详细介绍复几何在构建傅立叶变换理论中的作用，是否涉及到一些群论或者更抽象的代数结构。同时，调和分析部分，我希望能够深入理解其在信号分解、重构等方面的强大能力，以及自适应傅立叶变换如何在此基础上提供更精细、更灵活的分析工具。对于信号分析的应用，我期待看到更具体、更前沿的实例，例如如何利用自适应傅立叶变换来解决一些棘手的工程问题，或者在科研领域开辟新的研究方向。如果书中包含对不同自适应傅立叶变换算法的比较和分析，那就更具参考价值了。

评分☆☆☆☆☆

我一直对信号处理领域充满好奇，特别是那些能够深入理解信号本质的数学工具。《自适应Fourier变换：一个贯穿复几何，调和分析及信号分析的数学方法》这个书名一下就抓住了我的眼球，尤其是“复几何”和“调和分析”这些词汇，让我感觉这本书不仅仅是停留在表面的信号处理技巧，而是会带我进入一个更深邃的数学世界。我期待这本书能帮我理清傅立叶变换在不同数学分支中的联系，比如它如何与复数的几何表示相结合，又如何在调和分析的框架下得到更普适的解释。我希望作者能够清晰地讲解自适应傅立叶变换的核心思想，特别是它与传统傅立叶变换在处理非平稳信号时的优势，并且通过严谨的数学推导，展示其理论基础的坚实性。我也好奇这本书会如何联系到信号分析的实际应用，比如在图像识别、语音处理或者生物医学信号分析中，自适应傅立叶变换的具体作用和价值。如果这本书能提供一些经典的例子或者算法的伪代码，那就更好了，这样我就可以尝试着去理解和实现。总的来说，我希望这本书能成为我深入理解和掌握傅立叶变换及其在信号分析中强大应用的敲门砖，开启我对这个领域更进一步的探索。