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内容简介

　　《信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用》以自封闭的形式系统介绍了线性不适定问题的正则化求解方法，以及在数学物理反问题研究中的一些应用。主要内容包括：不适定问题的基本概念和特点，研究不适定问题需要的基本数学工具和方法，求解不适定问题的标准的正则化方法及近年来的新发展，以及正则化方法在逆时热传导、数值微分、逆散射等领域中的应用。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用》的内容包含了作者和其他学者近几年来的有关工作。
　　《信息与计算科学丛书·典藏版（36）：不适定问题的正则化方法及应用》可作为数学专业、介质成像专业高年级本科生、研究生教材或相关专业科研人员的参考书。

内页插图

目录

《信息与计算科学丛书》序
前言

第1章 适定问题和不适定问题
1．1 物理问题的描述方法
1．2 问题适定性
1．3 反问题和不适定问题
1．4 反问题和气候数值预报
1．5 不适定问题的例子及难点

第2章 预备理论
2．1 赋范空间若干结果
2．2 有界算子和紧算子
2．3 Riesz理论和Fredholm理论
2．4 线性积分算子
2．5 紧算子的谱理论

第3章 线性问题解的正则化方法
3．1 一般的正则化理论
3．2 允许的α=α（δ）的取法
3．3 q（α，μ）的取法
3．4 Tikhonov正则化方法
3．5 拟解和相容性原理
3．6 Landweber迭代正则化
3．7 条件稳定性和正则化参数选取
3．8 线性反问题正则化参数的迭代选取
3．9 求正则化参数的模型函数方法
3．10 两类正则化方法的比较

第4章 离散化的正则化方法
4．1 一般的投影方法
4．2 Galerkin方法
4．3 配置方法
4．4 投影方法的应用
4．4．1 Laplace方程边值问题的势函数解法
4．4．2 Galerkin方法解Symm方程
4．4．3 配置方法解Symm方程
4．4．4 解Symm方程的数值实验

第5章 正则化方法应用
5．1 逆时热传导问题
5．1．1 逆时热传导问题不适定性
5．1．2 逆时问题的正则化方法
5．1．3 二维逆时问题数值结果
5．1．4 一维逆时问题数值结果
5．2 数值微分问题
5．2．1 样条插值方法
5．2．2 光滑化方法
5．2．3 积分算子方法
5．3 声波逆散射问题的正则化求解
5．3．1 波场的散射问题
5．3．2 由远场近似数据求散射波近场正则化方法
5．3．3 数值试验
5．3．4 求散射场的近似模型函数方法
5．4 基本解的Runge逼近
5．4．1 Helmholtz方程基本解的Runge逼近
5．4．2 逼近的数值实现

参考文献
《信息与计算科学丛书》已出版书目

前言/序言

　　数学物理反问题是一个新兴的研究领域。有别于传统的数学物理方程的定解问题（通常称为正问题，它由给定的数理方程和相应的定解条件来求定解问题的解），反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知量，如微分方程中的系数、定解问题的区域或者是某些定解条件，用系统论的语言来讲，正问题对应于给定系统在已知输入条件下求输出结果的问题，这些输出结果当然包含了系统的某些信息，而反问题则是由输出结果的部分信息来反求系统的某些结构特征，因此反问题在医学成像、无损探伤、气象预报等领域都有着广泛的应用，它对应于由介质外部可测量的间接信息来确定介质内部结构的问题。反问题的一个典型应用是医学诊断的CT成像，它根据X射线的投影来探测人体的内部结构，工程师Cormack用X射线沿不同角度照射人体，再由接收的穿透人体的射线信息来决定人体内器官的位置和形态，这就是人体的三维成像，该项技术现在已发展到了核磁共振成像（MRI）。
　　与正问题相比，数学物理反问题的发展历史相对较短，一直到20世纪60年代的中期，才成为一个真正的研究领域，引起数学家和应用科学家的广泛重视和深入研究，这种现象的原因来源于反问题大都具有不适定性的特点。该特点也是反问题研究的难点所在。一个问题如果其解存在并且连续依赖于输入数据，就称该问题是适定的（well-posed），否则称为不适定的（ill-posed）。自从著名数学家Hadamard在1923年引进“问题适定性”的概念并提出“只有适定的问题才是有物理意义的”这一断言以来，人们在很长时间内一直以为研究不适定的问题是没有实际意义的，至多是一种学术上的兴趣，相应的关于数学物理反问题的研究也很少，但是随着科学技术的发展，实际的应用领域渐渐提出了很多必须解决的不适定的问题、逐渐扭转了这种偏见，例如地质勘探部门在重力异常探矿中提出的地下波场的解析延拓问题，无线电工程上由有限频率区域上的频域信号确定时域信号的问题，雷达成像中由反射波信号确定散射体几何形状的问题，中长期数值天气预报的问题等，都是典型的不适定问题，基于实际应用问题的推动，以20世纪60年代中期苏联科学院院士吉洪诺夫（A.N.Tikhonov）提出的处理不适定问题的正则化方法（regularization method）为标志，不适定问题和反问题的研究进入了新的阶段，正则化方法的基本思想是利用具体问题的某些附加信息对不适定问题解的概念重新定义，进而引进镇定泛函来给出一个逼近原问题解的稳定的方法，数学物理反问题作为一个典型的不适定问题，在此基础上也得到了新的发展，正则化方法成为处理数学物理反问题的一个有力工具，为了求解各种类型的数学物理反问题，必须掌握微分方程解的定性理论、非线性分析和正则化方法的基本思想，从数值求解的角度而言，还必须掌握微（积）分方程数值解、逼近论、非线性优化、程序设计等数值方法和技术。因此可以说，数学物理反问题是横跨应用数学和计算数学两个学科的一个新的研究领域，无论是对数学学科本身的发展，还是对高等学校人才的培养，都是一门很重要的课程由于数学物理反问题的上述重要性，我国已故数学家冯康院士早在20世纪80年代就提出要开展反问题的解法研究，目前国内很多高校如北京大学、复旦大学、吉林大学、上海大学以及东南大学等也都从不同的角度、不同的层次开设了相关的课程，国家自然科学基金委员会也在2003年、2004年连续两年把数学物理反问题作为重点项目的选题之一，鼓励开展对该问题的深入的基础研究，但是对于这样一门比较重要的课程，由于发展历史较短，知识面覆盖范围较广，国内尚无相关的基础理论专著，尤其是适合研究生培养的教材。目前国内高校开设这门课程时，或是直接采用国外原版专著，或是结合具体问题写出专门的讲义。前者通常是作者在某个方向的非常深入的研究成果，后者也往往是侧重于一类具体问题的专门研究，它们都缺乏对数学物理反问题的系统的介绍和相关数学基础（如正则化理论、逼近论）的阐述，作为人才培养的教材是不合适的，难度较大。
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