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內容簡介

　　《信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用》以自封閉的形式係統介紹瞭綫性不適定問題的正則化求解方法，以及在數學物理反問題研究中的一些應用。主要內容包括：不適定問題的基本概念和特點，研究不適定問題需要的基本數學工具和方法，求解不適定問題的標準的正則化方法及近年來的新發展，以及正則化方法在逆時熱傳導、數值微分、逆散射等領域中的應用。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用》的內容包含瞭作者和其他學者近幾年來的有關工作。
　　《信息與計算科學叢書·典藏版（36）：不適定問題的正則化方法及應用》可作為數學專業、介質成像專業高年級本科生、研究生教材或相關專業科研人員的參考書。

內頁插圖

目錄

《信息與計算科學叢書》序
前言

第1章 適定問題和不適定問題
1．1 物理問題的描述方法
1．2 問題適定性
1．3 反問題和不適定問題
1．4 反問題和氣候數值預報
1．5 不適定問題的例子及難點

第2章 預備理論
2．1 賦範空間若乾結果
2．2 有界算子和緊算子
2．3 Riesz理論和Fredholm理論
2．4 綫性積分算子
2．5 緊算子的譜理論

第3章 綫性問題解的正則化方法
3．1 一般的正則化理論
3．2 允許的α=α（δ）的取法
3．3 q（α，μ）的取法
3．4 Tikhonov正則化方法
3．5 擬解和相容性原理
3．6 Landweber迭代正則化
3．7 條件穩定性和正則化參數選取
3．8 綫性反問題正則化參數的迭代選取
3．9 求正則化參數的模型函數方法
3．10 兩類正則化方法的比較

第4章 離散化的正則化方法
4．1 一般的投影方法
4．2 Galerkin方法
4．3 配置方法
4．4 投影方法的應用
4．4．1 Laplace方程邊值問題的勢函數解法
4．4．2 Galerkin方法解Symm方程
4．4．3 配置方法解Symm方程
4．4．4 解Symm方程的數值實驗

第5章 正則化方法應用
5．1 逆時熱傳導問題
5．1．1 逆時熱傳導問題不適定性
5．1．2 逆時問題的正則化方法
5．1．3 二維逆時問題數值結果
5．1．4 一維逆時問題數值結果
5．2 數值微分問題
5．2．1 樣條插值方法
5．2．2 光滑化方法
5．2．3 積分算子方法
5．3 聲波逆散射問題的正則化求解
5．3．1 波場的散射問題
5．3．2 由遠場近似數據求散射波近場正則化方法
5．3．3 數值試驗
5．3．4 求散射場的近似模型函數方法
5．4 基本解的Runge逼近
5．4．1 Helmholtz方程基本解的Runge逼近
5．4．2 逼近的數值實現

參考文獻
《信息與計算科學叢書》已齣版書目

前言/序言

　　數學物理反問題是一個新興的研究領域。有彆於傳統的數學物理方程的定解問題（通常稱為正問題，它由給定的數理方程和相應的定解條件來求定解問題的解），反問題研究由解的部分已知信息來求定解問題中的某些未知量，如微分方程中的係數、定解問題的區域或者是某些定解條件，用係統論的語言來講，正問題對應於給定係統在已知輸入條件下求輸齣結果的問題，這些輸齣結果當然包含瞭係統的某些信息，而反問題則是由輸齣結果的部分信息來反求係統的某些結構特徵，因此反問題在醫學成像、無損探傷、氣象預報等領域都有著廣泛的應用，它對應於由介質外部可測量的間接信息來確定介質內部結構的問題。反問題的一個典型應用是醫學診斷的CT成像，它根據X射綫的投影來探測人體的內部結構，工程師Cormack用X射綫沿不同角度照射人體，再由接收的穿透人體的射綫信息來決定人體內器官的位置和形態，這就是人體的三維成像，該項技術現在已發展到瞭核磁共振成像（MRI）。
　　與正問題相比，數學物理反問題的發展曆史相對較短，一直到20世紀60年代的中期，纔成為一個真正的研究領域，引起數學傢和應用科學傢的廣泛重視和深入研究，這種現象的原因來源於反問題大都具有不適定性的特點。該特點也是反問題研究的難點所在。一個問題如果其解存在並且連續依賴於輸入數據，就稱該問題是適定的（well-posed），否則稱為不適定的（ill-posed）。自從著名數學傢Hadamard在1923年引進“問題適定性”的概念並提齣“隻有適定的問題纔是有物理意義的”這一斷言以來，人們在很長時間內一直以為研究不適定的問題是沒有實際意義的，至多是一種學術上的興趣，相應的關於數學物理反問題的研究也很少，但是隨著科學技術的發展，實際的應用領域漸漸提齣瞭很多必須解決的不適定的問題、逐漸扭轉瞭這種偏見，例如地質勘探部門在重力異常探礦中提齣的地下波場的解析延拓問題，無綫電工程上由有限頻率區域上的頻域信號確定時域信號的問題，雷達成像中由反射波信號確定散射體幾何形狀的問題，中長期數值天氣預報的問題等，都是典型的不適定問題，基於實際應用問題的推動，以20世紀60年代中期蘇聯科學院院士吉洪諾夫（A.N.Tikhonov）提齣的處理不適定問題的正則化方法（regularization method）為標誌，不適定問題和反問題的研究進入瞭新的階段，正則化方法的基本思想是利用具體問題的某些附加信息對不適定問題解的概念重新定義，進而引進鎮定泛函來給齣一個逼近原問題解的穩定的方法，數學物理反問題作為一個典型的不適定問題，在此基礎上也得到瞭新的發展，正則化方法成為處理數學物理反問題的一個有力工具，為瞭求解各種類型的數學物理反問題，必須掌握微分方程解的定性理論、非綫性分析和正則化方法的基本思想，從數值求解的角度而言，還必須掌握微（積）分方程數值解、逼近論、非綫性優化、程序設計等數值方法和技術。因此可以說，數學物理反問題是橫跨應用數學和計算數學兩個學科的一個新的研究領域，無論是對數學學科本身的發展，還是對高等學校人纔的培養，都是一門很重要的課程由於數學物理反問題的上述重要性，我國已故數學傢馮康院士早在20世紀80年代就提齣要開展反問題的解法研究，目前國內很多高校如北京大學、復旦大學、吉林大學、上海大學以及東南大學等也都從不同的角度、不同的層次開設瞭相關的課程，國傢自然科學基金委員會也在2003年、2004年連續兩年把數學物理反問題作為重點項目的選題之一，鼓勵開展對該問題的深入的基礎研究，但是對於這樣一門比較重要的課程，由於發展曆史較短，知識麵覆蓋範圍較廣，國內尚無相關的基礎理論專著，尤其是適閤研究生培養的教材。目前國內高校開設這門課程時，或是直接采用國外原版專著，或是結閤具體問題寫齣專門的講義。前者通常是作者在某個方嚮的非常深入的研究成果，後者也往往是側重於一類具體問題的專門研究，它們都缺乏對數學物理反問題的係統的介紹和相關數學基礎（如正則化理論、逼近論）的闡述，作為人纔培養的教材是不閤適的，難度較大。
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